Números complexos

Existe a raiz de um número negativo?
Antes de chegar ao estudo dos números complexos, estudamos os conjunto os conjuntos N, Z, Q, e R.Cada um, por sua vez resultou de uma ampliação do conjunto anterior. O conjunto C dos números complexos é uma ampliação do conjunto R ( números reais ). Com ele são resolvidos muitos problemas até então sem solução no conjunto dos números reais.Os números impossíveis ou imaginários, como também são conhecidos hoje, inauguraram um extenso de estudos na matemática, em particular nas equações algébricas. Eles permitem, por exemplo, que possamos extrair a raiz quadrada de um número negativo ou resolver equações do tipo x² + a =0 ( a maior que zéro)

A unidade imaginária

Se tivessemos que resolver a equação   x²+4=0  por exemplo, diriamos que é impossivel porque número negativo não tem raíz no campo real ,e está certo para o campo Real, para os números complexos basta dar um significado para -1 e teremos a  solução. Esta solução foi encontrada pelo cientísta Carl Friedrich Gauss e muito utilizado pelo matemático Leonhard Euler.
Para Eule, este novo número, chamado de unidade imaginária, será representado pela letra i
e a equação x²+4=0 ficará
x²= -4            x=+2i          x= -2i
Chamamos de números complexos os números da forma  ( a+bi) sendo a   e    b  números reais e    i unidade imaginária.

Representação geométricados números complexos

O cientista alemão Carl Friedrich ( 1777 a 1855) foi o primeiro matemático a dar uma interpretação geométrica dos números complexos.
Representamos os números reais sobre a reta na qual fixamos uma orígem e uma unidade.
Como todo ponto da reta corresponde a um número real, fica claro que não podemos representar os números complexos na reta real.  Podemos, porém, fazer uma interpretação geométrica, representando os números complexos no plano.

Para tanto,desenhamos  um  sistema de coordenadas.
Sobre o eixo horizontal dispomos os números reais e sobre o eixo vertical, os números imaginários puros
Este plano é conhecido como plano de Argand-Gaus.

Conjunto dos Numeros Complexos

Dados dois pares ordenados (a,b) e (c,d) do produto Cartesiano  RXR = { (x,y) | x E  R e y  E  R}
onde  R é o conjunto dos números reais, podemos definir :
# igualdade de pares ordenados :  dois pares ordenados (a,b) e (c,d)são iguais se e somente  se , a=c, b=d
#Adição de pares ordenados (a,b)+ (c,d) é igual ao par ao par ordenado (a+c),( b+d)
# multiplicação de pares ordenados (a,b) . (c,d ) é o par ordenado (ac-bc,ad+bc).
Considerando as definições acima, chamamos de conjun to dos números complexos  C ao conjunto de todos os páres ordenados de numeros reais, para os quais essas definições são válidas.

Forma Algébrica

Sejam  m e n  números reais quaisquer . Temos :

*(m,0)=(n,0) se, e somente se m = n

*(m,0 ) + ( n,0 )= (m+n,0+o) = ( m + n, 0)

*( m ,0 ) .( n,o ) = (m.n -0.0, m.0 +0.n ) = (m.n.0)

Notamos que nos pares onde o segundo elemento é zero, tanto a igualdade quanto a adiçâo e a multiplicação dependem só dos primeiros elementos , que são numeros reais. Por isso, podemos "identificar" um número ( m,0) com o número real m, ou seja (m,0) = m

Potencia da unidade imaginária

Observe
*  i° =1      * i¹ = i          * i² = -1              * i³ =-i
Portanto são somente quastro posíveis  potencias, porém se  encontrarmos por  exemplo  i elevado a um expoente  maior que três  resolvemos da seguinte forma   por exemplo       expoente 95
95 :4=23 com resto3         neste caso sendo o resto =3 faremos i³ =-i
esplicando melhor: A potencia  i elevado a K sendo K  E Z, é obtida dividindo o expoente  K por 4  e considerando o resto r ( 0 < r<4 ) da divisão como o novo expoente de i.

Exemplos = i com expoente 137 =    137 : 4  quociente 34  e resto 1  portanto o número 1 será o expoente de i        i¹ = i

Características de um número complexo  z= a+bi

O número complexo  z= a+bi é denominado :

Real quando b=0         ex . z = 3+0i  ou  z= 3
Imaginário puro quando a+ 0 e b  é diferente de zero  ex .  z= 0 + 2i    ou z= 2i


Operação com número complexo
Adição   subtração   multiplicação 

Na adição e subtração trabalhamos com se fosse na álgebra , isto é, somamos  a com a   e bi com bi

Exemplo : ( 2 + 3i) + ( 3-4i) = ( 2+3 ) +(3i-4i)  = (5+i)

                 ( 2+ 3i ) - (3 - 4i ) = ( 2+3i) + ( -3+4i) = 2-3  e (3+4) i    = -1 -7i
 

Multiplicação -Obteremos o produto aplicando a propriedade distributiva e substituindo os is do produto pelo seus respectivos valores

z1 . z2              z1= (a + bi )        z2 = ( c + di)
(a+bi ). (c+di) = ac+ adi +cbi +bdi²  Como i² = -1 teremos
                         ac+adi+cbi- bd    ficando     (ac-bd) parte real      e  (ad +bc)i   parte imaginária.

Exemplo : ( 2+3i) (1-4i) = 2 -8i+3i-12i²     = 2-8i+3i-12.(-1)     = 2+12 -8i+3i    = 14 -5i

Conjugado de um número complexo :

Denomina-se conjugado de um número complexo  z= a+bi ao número complexo ¨¨z¨  = a-bi

Ex : o conjugado de 2+5i   é  2-5i           de  1-7i  é 1+7i           z+3  o conjugado também é 3

Propriedades do Conjugado
O conjugado da soma é igual a soma dos conjugados
O conjugado do produto é igual ao produto do conjugado
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um  número real não negativo.

exemplo (a + bi ) . o seu conjugado   (a-bi)  é o mesmo que o produto da soma pela diferença, isto é,
a² + b²   porque  a.bi = - abi      e bi.a = + abi      cancela-se     e    -b²i² = +b² portanto sobra mesmo a²+b²   números positivos    E    R.

Divisão de números complexos

Para efetuar a divisão basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e substituir as potencias dos  is.

exemplo - (2+3i ) : (1+2i)

Forma trigonometrica de um número complexo

Pelo plano de Gauss vimos que sen ô= a/p  e o cos de ô = b/p

então a = p . cos de ô            e   b= p. sen ô   substituindo as relações obtidas I   e    II    em z = a+bi obtemos a forma trigonométrica do nº complexo z 

z= p.cos ô + i . p sen ô

                Z = P.( Cos ô + i Sen ô )          .                                                        

a.q.d



Algumas questões do Enem

Observe nas questões 1  e  2 o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta

1 - Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais, tendo assim empregado
a) 100 bolinhas        b) 300 bolinhas        c ) 1000 bolinhas      d)2000 bolinhas    e) 10000 bolinhas

2 - Uma segunda  pessoa procurou encontrar outra maneira de arrumar as bolinhas na caixa achando que seria uma boa idéia organiza-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela conseguiu colocar na caixa
a) 729 bolinhas      b)984          c)1000              d)1086           e) 1200 bolinhas

3 - A sombra de uma pessoa de 1, 80 m de altura mede 60 cm. No mesmo tempo, a seu lado, a sombra projetada de um poste de 2,00mi Se mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir
a) 30 cm        b) 45 cm        c)50 cm     d)80 cm      e)90 cm

4 - Um estudo sobre o problema de desemprego, na Grande São Paulo, no período,  1985 a 1996, realizado pelo Seade-Dieese, apresentou as seguintes taxas de desemprego;
1985 -12%      86-10%   87-9%    88-10%   89-8,5%    90-10,3%      91-12%    92-16%   93-14,5%      94-13,9%   95-14%     96-16%
Faça  um histograma com os dados, e veja se podemos afirmar que, no período considerado:
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%
b)A taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período
c)A partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescendo
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 a 1991

5) Um armazém recebe sacos de açucar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem era uma balança de 2 pratos, sem os pesos metálicos.
Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de
a) 3Kg        b)4Kg       c)6Kg        d) 8 Kg        e) 12 Kg

6- realizando exatamente duas pesagens, os pacotes que podem ser feitos são os de;
a-3Kg e 6 Kg
b-3, 6 e 12 Kg
c)6, 12  e   18 Kg
d) 4  e   8Kg
e) 4 Kg, 6Kg  e 8 kg.

Em um concurso de televisão apresentou-se ao participante três fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas, T, V e E. As fichas encontran-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$200,00

7-A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a;
a) 0        b)1/3      c)1/4        d)1/2       1/6

8) A probabilidade de o participante ganhar exatamente R$ 400,00  é igual  a ;
a)0   b) 1/3       c) 1/2     d) 2/3       e)  1/6

No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor à pagar, cada conta mostra como calcula-´lo, em função do consumo de água ( em m³) e de eletricidade (emKWh). Observe que na conta de luz, o valor a pagar é  igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água existe uma tarífa minima e diferentes taxas de tarifação

Companhia de eletricidade
fornecimento                            valor R$
-----------------------------------------
401  Kwh                                 53,23
                                                                        

Compamhia de saneamento
Tarifa de agua por m³

Faixas   de
Consumo                tarifa          consumo          valor R$
até  10...................5,50............tarifa mínima........5,50
11 a 20..................0,85.....................................  5.95
21 a 30..................2,13
31 a 50................. 2,13
cima de 50.............2,36
...................................................................................

                                              total                   11,45

9) Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de ;
a) R$    55,23
b)       106,46
c)       102,00
d)       100,00
e)         22,90

10- Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de água. O novo valor da conta será de;
a) R$ 22,90
b)    106,46
c)      43,82
d)      17,40
e)      22,52

12- As bicicletas possuem uma corrente dentada que liga uma coroa dianteira, movimentada pelos dois pedais , a uma coroa localizada na roda trazeira.  Cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.
~Em que opção abaixo a roda trazeira dá o maior número de voltas  por pedalada;
a)Coroa trazeira 10 cm    e  coroa dianteira      20cm   de diâmetro
b) coroa trazeira  do mesmo tamanho que a dianteira
c) coroa trazeira 20 cm de diâmetro e dianteira  25 cm
d) coroa trazeira maior que a dianteira

13- Numa bicicleta onde o raio da catraca trazeira mede 5cm , a roda da bicicleta mede 80 cm de diâmetro e o raio da coroa dianteira mede 15 cm e sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2rX 3,14         obs- substituir 3,14 por  3. Qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta , quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta?

14- Uma escola de ensino médio tem 250 alunos matriculados na 1º, 2º, 3ª série.  32% dos alunos são homens e 40 % dos homens estão na 1ª série. 20% dos alunos mariculados estão na 3ª série, sendo 10 alunos homens.Dentre os alunos da 2ª série, o número de mulheres é igual o número de homens.
O valor de  ( a ) correspondente a mulheres é;

a)40        b)48         c)92       d)102       e)120

Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20 e 21 horas,durante uma determinada noite.
os resultados obtidos foram;

             30              28                 20                100      20  
         TV A          TV B           TV  C             TVD      nenhum
..         
Faça um gráfico de barra e responda;
15-   O número de residências atingidas  nessa pesquisa foi aproximadamente
a) 100          b)135         c) 150       d)200          e)220.

16- A porcentqagem de entrevistados que declararam estar assistindo a TVB é aproximadamente igual a;
a)15%      b)20%    c)22%    d)80%

17-Vinte anos depois da formatura cinco colegas resolveram marcar um encontro de turma. Para ma\rcar o dia e o local da confraternização precisam comunicar-se por telefone.
Cada um conhece o telefone de alguns e desconhece o de outros. No quadro abaixo , o número 1 indica que o colega da linha correspondente conhece o telefone do colega da coluna correspondente ; o número zéro indica que o colega da linha não conhece o telefone do colega da coluna. Ex Beto conhece o telefone de Dino que não conhece o telefone de Aldo.

             Aldo          Beto         Carlos      Dino        Enio                                  
Aldo         1              1                0            1           0
Beto         0              1                0            1           0
Carlos      1               0               1            1           0 
Dino         0               0               0            1           1
Enio         1              1                1            1           1

O número mínimo de telefonemas que Aldo deve fazer para se comunicar com Carlos é;
a) 1    b)2     c)3          d)4        e)5

A forma decimal de representar números racionais

A representação fracionária foi criada há quase 3000 anos.
Um matemático frances do século XVI, chamado VIÈTE, estabeleceu uma forma especial de escrever frações com potência de 10 no denominador.   Essa forma, um pouco modificada pela introdução de uma virgula, é usada até hoje: são os números decimais . Nas máquinas de calcular, os números sempre aparecem na forma decimal. Exemplo de fração com potência de 10 no denominador
5/ 10= 0,5     5/100= 0,05   5/1000= 0,005    (10' ): (10 ²):(10³)  etc...
Números racionais na forma decimal     17/10= 1,7  um inteiro  e sete décimos  ( um zero, uma casa virgula, contando da direita para e esquerda)
249/100  =     2,49  2 inteiros e quarenta e nove centésimos.
Propriedades do número decimal:
1 - Quando acrescentamos ou suprimimos um ou mais zéros à direita da parte decimal de um número de
cimal, esse número não se altera
ex. 0,7 = 0,70 = 0,700 etc..
2 - Deslocando-se a virgula para à direita de um,dois, três, etc... do algarismo, o número decimal fica multiplicado por 10, 100, 1000 etc...

Operação com números decimais- ADIÇÃO    e  SUBTRAÇÃO
.Escrevem-se os números decimais uns sob os outros de modo que as virgulas se correspondam;somam-se ou subtraem-se como se fossem números inteiros
Se for adição, coloca-se a virgula em correspondência com as das parcelas. Se for subtraçâo coloca-se a virgula no resultado em correspondência com as dos têrmos.ex de cada uma

13,8+0,052+ 2,9            13,8                          5,08 - 3,4852 = 1,5948
                                   +   0,052
                                        2,9
                         total --  16,752                 OBS:. colocar zéros a direita não altera o valor do número,
                                                                por isso também poderiamos completar com zéros as lacunas.
MULTIPLICAÇÃO:-Multiplicam-se com se fossem inteiros e separam-se no resultado, a partir da direita tantas casas decimais quantos forem os algarismos decimais dos números decimais dos números dados.
    
 ex.          5,32 X 3,8 = 20,216                      

(contamos do fim para o começo o nº de algarismos decimais 2,3,8 portanto 3 casas)
OBS - O cálculo da ´potência de um nº decimal, que é um caso particular de produto, pode ser efetuado transformando-o em fraçâo decimal   ex.
                               (0,9)³ = ( 9/10 )³  = 9x9x9=729
                                                             10x10x10=1000       ficando 729/1000   = 0,729
DIVISÃO - Reduzem-se o dividendo e divisor ao mesmo número de casas decimais; desprezam-se as virgulas de ambos ,e, efetuam -se a divisão como se fossem inteiros.
Supondo-se que a divisão não é exata coloca-se um zéro ao lado direito do resto e uma virgula no quociente

da divisão, continuando a dividir quantas casas você desejar.

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Problemas para serem resolvidos

1-Achar três números tais que: a soma do primeiro com o segundo seja 200, a do primeiro com o terceiro seja 208,e a do segundo com o terceiro seja 216.
2-A soma de dois números é 366 e a sua diferença é 86. Determinar esses números.
3-Antonio comprou dois frangos pagando pelo primeiro R$ 6,00 mais que pelo segundo. Dizer quanto custou cada frango, sabendo-se que duas vezes o preço do segundo,menos uma vez o preço do primeiro é igual R$22,00.
4-Uma pessoa comprou galinhas e coelhos num total de 48  cabeças e 130 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos comprou?
5-A soma das idades de três pessoas é 75 anos Juntando-se 6 anos à idade da primeira, 12 anos à idade da da terceira e tirando-se 3 anos da idade da segunda, obtem-se três números iguais.Qual é a idade de cada pessoa? .   .
6-Um negociante comprou um certo número de metros de fazenda contando revendê-la à R$ 156,00 o metro, a fim de ganhar R$ 6120,00. Como foi possível revender por R$ 138,00 o metro, ficou ganhando nessa transação R$ 3960,00. Quantos metros comprou esse negociante ?
7-Multiplicando um número por  8 e aumentado esse produto de 1215, obtem-se 1575. Qual é esse número ?
8-Tem-se 4 números: a soma dos três primeiros é 843; a soma dos três útimos é 1217; a soma dos dois primeiros e o último 941 e a soma dos dois útimos e o primeiro é 1028. Quais são os numeros?.
9-Com vinho de R$ 15,00 o litro e vinho de R$ 20,00 o litro, encheu-se uma pipa de 50 litros Quantos litros há de cada espécie se a pipa cheia de vinho vale R$ 900,00 ?
10-Um barbeiro cortou 13 cabelos e fez 21 barba num dia. Cada barba custou R$10,00 e sabe-se que ele recebeu ainda nesse dia R$ 90,00 de gorgeta. Tendo ganho no fim do dia a quantia total de R$560,00 ,
Pergunta-se o prêço do corte de cabelo.
11-Qual é o produto de dois números se o mdc é 8 e o mmc é 48 ?
12- Numa República o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados  3 anos . Se houve eleições para os três cargos em 1929 que ano deverão se realizar novamente as eleições para esses cargos?
13-Duas rodas de uma engrenagem tem  14 e 21 dentes respectivamente.
    Cada roda tem um dente estragado. Se num dado momento  estão em contato os dois dentes estragados, depois de quantas voltas repete-se novamente esse encontro ?

Respostas - 1) (96,104,112); 2) (216 e 140) ; 3) (34,00 e 28,00 ); 4) (31 gal. e 17 coe ); 5) (24,33  e 18  anos ) ; 6) (120 m ); 7) (45); 8) ( 126,315,402,500) ;9) ( 20  litro e 30 litros); 10)  (R$20,00) 11) (384
 12) ( 1941 ) ; 13) ( duas voltas a maior ou 3 voltas a menor).

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Estudando Matemática: mmc, mdc,nº primos, e nº composto, e a forma fracionaria de representar o númrero racional

Sabemos que o mmc é o menor múltiplo capaz de dividir outros dois sem deixar resto ex o m.m.c. entre 2,3,e4 é 12
Propriedade- Quando o m.d.c.de dois ou mais números é igual a um, o m.m.c. entre eles é o produto deles.
Quando temos dois ou mais números diferentes de zero,se um deles for múltiplo de todos ,ele será o m.m.c.
O produto de dois números naturais, diferentes de zero é igual ao produto do m.m.c.pelo m.d.c. dos mesmos números.
Exercite:
1- O produto de dois números naturais é 180. O m.d.c. desses números é 3.
Determine o m.m.c. dos números
2-São dados m.d.c.(a,b)= 8 e m.m.c.(a,b)= 360 Se o número (a) vale 40, determine o número (b).
3- O número natural (a) é igual a 120 e um número natural (b) é igual a 140. Sem determinar o m.d.c. e o m.m.c., determine m.d.c.(a,b) X m.m.c.(a,b).
É comum encontrar um problema como este , sendo pedido em concurso:
Três onibus saem juntos às 7 horas da manhã do ponto de partida. O primeiro leva 20 minutos para fazer o seu percurso e voltar para o ponto de partida. O 2º leva 25 minutos, o 3º 30 minutos.A que horas coincidirá dos três saírem juntos novamente?
Solução - ACHA-SE O M.M.C. DOS TRÊS PERÍODOS DE DURAÇÃO , TRANSFORMA EM HORA E SOMA-SE COM 7 HORAS.

NÚMEROS PRIMOS -PRIMOS é uma palavra de origem latina que significa primeiro e único. Ela foi escolhida para denominar o grupo dos números inteiros apenas divisíveis por eles mesmos e por um.
Se é inteiro e não é primo, trata-se de um nº COMPOSTO, isto é, um número capaz de dividir outros números além dele mesmo e um.
Como reconhecer um número primo:
1º - dividir o número dado sucessivamente pelos números que compõem a tabela de números primos, até encontrar um quociente menor ou igual o divisor. Se nenhuma dessas divisões fôr exata o número dado é primo.        ex. 173       173: 2,    por 3,     por 5,      por 7,   por 11,     por 13=13 com resto 4 .Neste caso 173 é primo
2º - enquanto o divisor vai aumentando os quocientes vão diminuindo quando o quociente for menor que o divisor e ainda tiver resto o número dado é primo ex
641:13=49 com resto     641:17=37 com resto   641:23=27 com resto     641:29 =22 com resto (o divisor é maior que o quaciente portanto o 641 é um número primo
Você sabia que a 1º tábua de números primos foi feita por um grego ERATÓSTENES ( 276-194 a.C ) ?
Que o número 1 não é primo pois tem apenas um divisor que é ele mesmo?
Que o único número par que é primo é o número dois?

NÚMEROS FRACIONÁRIOS -Os números fracionários surgiram assim que o homem sentiu necessidade de medir
Se ele dividia um pedaço de corda em duas partes iguais, cada pedaço da corda passa a ter a metade da medida da corda inicial.
Se ele necessitava de três canecas de água para encher um recipiente, cada caneca continha um terço da quantidade de água do recipiente.
Assim, o homem começou a usar os números fracionários , trabalhando inicialmente com frações de numerador um.
No Egito antigo um importante documento matemático, O PAPIRO de RHIND (século XVII antes de Cristo)apresenta algumas regras sobre operações com frações.
Nele os egípcios mostram como usar as frações da UNIDADE para representar outras frações como: cinco sextos = um meio + um terço
quinze vinte quatro avos = um meio + um oitavos.
A forma de representa fração,por meio de uma barra separando o numerador do denominador, data do século XVI depois de Cristo
Na Roma Antiga, aprendia-se a trabalhar inicialmente com frações com denominadores 12
Por volta do século V depois de Cristo  surgem na Índia as SIDDHÃNTA ou ensinamentos que apresentavam a circunferência dividida em 360 partes iguais.
Como se vê os números fracionários estão ligados à necessidade de o homem operar com quantidades menores que a unidade, e, assim como os números naturais eles fazem parte do nosso dia-a-dia.
ATENÇÃO:
Para adicionar ou subtrair frações com os mesmos denominadores basta copiar o denominado e somar se estiver adicionando ou subtrair se estiver subtraindo os numeradores

Mas se os denominadores forem diferentes é necessário achar o m.m.c. dos denominadores e este será o novo denominador cada numerador novo nascerá da divisão m.m.c pelo denominador antigo X o numerador antigo formando uma nova fração, substituindo as antigas frações. Assim teremos novas frações com o mesmo denominador em seguida agir como as anteriores de mesmos denominadores.

A simplificação a extração dos inteiros é muito importante se você estiver prestando um concurso

Caso seja uma conta de multiplicação, você pode simplificar no meio da conta, lembrando que podemos simplificar qualquer numerados com qualquer denominador, desde que eles sejam múltiplos de um mesmo número.

Na conta de dividir você copia a primeira fração e multiplica pela segunda INVERTIDA.

PENSE - Certa fundação oferece 768 vagas para seus cursos. 5 mil candidatos se inscreveram para os variados cursos.
Língua Portuguesa (30) biologia (5)
Matemática(25) história (10)
física (5) geografia (10)
química(5) Língua estrangeira (10)
e uma redação
1-No total quantos são os testes a serem respondidos ( )
2-Um aluno que acerte a metade dessa prova, quantos testes terá acertado? ,
3-Um aluno que tenha acertado todos os testes de português e matemática e apenas eles, que fração da prova ele acertou?
4-Um aluno acertou acertou um quinto dos testes dessa prova, quantos testes ele acertou?

                                          PROBLEMAS REFERENTES AS  4 OPERAÇÕES

Neste espaço vou mostrar alguns processos de resolução de problemas de aritmética que envolvam as quatro operações. São esses problemas que dão aos estudantes a ginástica mental  indispensável aos estudos que virão. Existem uma série de problemas chamados típicos , cujos processos de resolução se aplicam para a solução de outros problemas de aritmética.
Vejamos alguns deles:
     1º - A soma de dois números é 76 e o maior deles é 18 vezes o menor. Quais são os dois números?
Digamos que o menor seja 1     e o maior 18 x 1
A soma dos dois =19          ( Valendo a soma 76  que representa a soma dos dois), dividimos 76 por 19,
teremos 4 ( o menor deles) o maior será 4x18= 72
    2º - Dois chapéus custaram R$366,00. Um dêles custou R$36,00 mais que o outro. Qual o preço de cada um ?
Se do total 366,00 subtrairmos 36,00 que é a diferença entre os preços obteremos 330,00, que representa ria o preço dos dois chepéus , caso custassem o mesmo preço, isto é, 330,00:2 = 165,00 cada um.
Logo um custa R$ 165,00 e o outro 165,00 +36,00 =R$ 201,00
   3º - Repartir R$ 4317,00 entre 3 pessoas de modo que a segunda receba R$ 528,00 mais que a primeira e a terceira R$315,00 mais que a segunda.
Fazemos a seguinte representação:
a 1º - A
a 2º -A+528,00
a 3º -A +528,00+315
Isto siguinifica que : A + A + A 528,00+528,00+ 315,00 = 4317,00
                                        3XA + 1371,00 = 4317,00
                                        3XA = 4317,00 -1371,00
                                        3XA = 2946,00
                                             A = 2946,00 :3 =982,00
Logo a 1º receberá   R$ 982,00
            2º                      982,00 + 528,00 =   R$  1510,00
            3º                      1510,00+315,00 =   R$  1825,00
             
  4º -Um aluno recebe R$ 3,00 por problema que acerta e paga R$2,00 por problema que erra. Fez 50 problema e recebeu R$ 85,00. Quantos acertou?

Se o aluno acertasse todos os 50 problemas ele teria recebido R$ 150,00. Como só recebeu R$ 85,00,a diferença de 65,00 representa quantia que o aluno deixou de receber por ter errado alguns problemas.
Cada problema errado acarreta um preejuizo de R$5,00 , pois deixou de receber 3,00 e ainda tem que pagar 2,00. Logo dividindo 65,00 por 5,00 teremos o nº de problemas errados =13. Portanto se errou 13 acertou 37.

  5º -Um negociante pouco escrupuloso compra 450 litros de vinho a R$ 15,00 cada litro. Junta ao vinho 50 litros de água e quer ganhar na venda R$ 6750,00 . Por quanto deve vender o litro?

O vinho custou para êsse comerciante 450 x 15,00=R$6 750,00 para ter um lucro de R$ 3250,00 o cáculo será feito sobre            6.750,00 + 3250,00 = 10 000,00

tendo acrescentado 50 litros de água, para se saber o preço do litro da mistura (500) litros , basta dividir os 10 000,00 por 500 litros = 20,00   o litro para ter o lucro que desejava.

  6º - Tenho que distribuir entre alguns pobres uma certa quantia. Se der R$2,00 a cada pobre ficarei com R$25, 00 e se der R$3,00 a cada pobre faltam-me R$15,00. Quantos são os pobres e qual a quantia que tenho?

A diferença das quantias que devo dar nesse caso, é R$1,00. A soma  das quantias que sobram e que faltam são R$40,00.
Dividindo 40,00 por 1.00 temos 40 pobres
A quantia que tenho será dada pelo produto:
nº de pobres X 2,00 + 25,00 = 105,00

7º Uma pessoa tem R$4679,00 e outra R$ 3415,00. A primeira economiza R$438,00 e a segunda R$ 754,00 por mês. No fim de quantos meses terão, essas pessoas quantias  iguas?

Difereça das quantias 4679,00-3415,00=1264,00
Diferença das economias 754,oo-438,00=316,00
Dividindo 1264,00 por 316,00 = 4 que representa  o número de meses necessários para que as quantias sejam iguais.
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Estudando matemática

Quando afirmamos que o homem vive cercado pelos números, não estamos exagerando, pois Platão filósofo grego dizia " os números governam o mundo.

Como surgiram os números?

Surgiu da necessidade dos homens de contar seus objetos. No princípio o homem fazia comparação entre duas grandezas. Ex O pastor soltava suas ovelhas no pasto. Para contá-las, fazia o seguinte: A cada ovelha do seu rebanho que ele soltava, associava a uma pedrinha que ele guardava num saquinho.Quando recolhia as ovelhas ele retirava uma pedrinha para cada ovelha que recolhia. No final da contagem, se houvesse sobrado pedrinha era porque alguma ovelha havia se extraviado.
Com o passar do tempo o homem aprendeu a contar daí surgiu o número que era a ideia comum entre os dois conjuntos { ovelhas} e { pedrinhas}.
Esse numero que era a ideia de quantidade, deveria ser representado por algum algarismo para ser identificado quanto.
Temos então entre muitos algarismos, o romano, o hindu-arábico, o egípcio ,o grego, o maia e outros.
Ex o número dez pode ser;
X em algarismo  Romano
10 em hindu- arábico
< em Babilonio
I em grego
= em maia
U virado para baixo como o sinal de intersecção é como os egípcios indicavam o nº 10
Em seguida da invenção dos números surgiram as operações com eles ,os problemas para serem resolvidos,
a assim  foram  aperfeiçoando o uso dos números a medida das necessidades do homem.
Muitos estudiosos , como  Matemáticos ,Filósofos .. se dedicaram muito para o desenvolvimento do seu uso
Nos dias de hoje, em que a operação com os números se tornou uma coisa simples, onde as escolas se multiplicaram , cada uma melhor que a outra, onde as oportunidades;são as mais diversa, encontramos pessoas que não sabem fazer uma conta de; dividir, de multiplicar ou até mesmo de mesmo de somar. Não estou me referindo a aqueles que não tiveram oportunidade por questão de localidade de moradia, ou aqueles que foram criados com condições diversas de dificuldades; não, estou me referindo a aqueles alunos que não levam a sério o estudo.
São alunos que não exercitam seu raciocínio.Que não sabem tabuada, que lêem sem prestar a atenção.
Muitos alunos dizem que não gostam da; Matemática; mas, como sabem que não gostam de alguma coisa que não aprenderam a estudar.
A Matemática é uma ciência que exige do aluno muita dedicação, muita atenção, muita paciência, muita vontade de vencer obstáculos.
Muitas vezes vemos alunos dizendo "onde vou usar isso. "É importante que os alunos saibam que assim como a matemática, todas as disciplinas,não devem ser vistas sob o ponto de vista da utilidade imediata, mas com um meio de desenvolvimento intectual, e que lhes serão úteis para sempre.
O aluno deve se dedicar, se esforçar mais e vencer obstáculos , O esforçado sempre vence, o sossegado se atraza tanto que fica impossivel acompanhar o rendimento da classe. Isso atrapalha tanto a vida dele como a de todos.
-Como vencer isso?
1º se dedicando ao estudo lendo muito,para desenvolver bastante o seu raciocinio
2º prestar muito atenção naquilo que está lendo, para conhecer bem as palavras e não escrever errado, além disso conhecer bem o significado delas
-Porque conhecer o seu significado é importante.?
Tive um aluno que dizia " eu sei a matéria, eu só vou mal na prova, porque eu não sei o que o professor está perguntando...Eu resolvo as questões até uma parte eu não sei terminar.
Também tem aqueles alunos que só estudam um dia antes da prova. Está errado ,o estudo deve ser diário, pois este é o trabalho dele, assim como seu pai e sua mãe vão ao trabalho todos os dias.

Concluindo
Dado o problema, este deve ser lido com muita atenção e analizado para podermos entender o que é dado e identificar o que é pedido
A solução do problema virá quando aplicarmos nossos conhecimentos sobre as operações e raciocinarmos
sobre as questões do problema
O bom aluno, é aquele que alem de ler muito é curioso.
Resultado :
entende melhor
se expressa melhor
escreve sem erros

Desafio     1} Descubra como obter o número 1000 , usando 8  X o algarismo 8
                2} Observe o quadro abaixo e encontre uma sequencia de números.cuja soma seja 100,
              na diagonal, na vertical, na horizontal começando por 1 e terminando no 9
                                  
               9512174
               3725730
               4696859
               7124226               começando   97512.........
               0865179
               1594651  
               3}Uma andorinha come em média 2000 moscas por dia . A partir deste dado calcule:
                a) Quantas moscas serão comidas por um bando de 43 andorinhas durante uma semana?
                b) Se uma cobra comer 5 andorinhas do bando, quantas moscas ela estaria salvando por
                uma  semana?
               4} Dividindo um número por 7 , obtive 11+ a, dividindo um número por 7 obtive 14-b. Prove que a+b   divide exatamente 7
.
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