quinta-feira, 27 de dezembro de 2012

TRIANGULO tipos mediana bissetriz altura congruencia

Triangulo ou trilatero é o polígono de três lados.Pode-se dizer que triangulo é a figura constituida por três seguimentos cujas extremidades são três pontos não alinhados.
Os vértices do triangulo são A B C ou  B C A    ou C B A .
Os Angulos  , ^B, ^C são ângulos internos do triangulo.


    













Um triangulo separa os pontos de um plano em duas regiões:
Uma convexa de pontos internos ( isto é ) a parte de dentro do triangulo
Outra convexa de pontos externos  do triangulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIANGULOS:

Quanto aos lados ; O triangulo pode ser: escaleno, isósceles  e equilátero.
Escaleno - Os três lados tem medidas diferentes .
Isósceles - Tem dois lados de medidas iguais .e a base diferente
Equilátero - os três lados têm medidas iguais

Quanto aos ângulos : acutângulo , obtusângulo, equiângulo retângulo
acutângulo - Os três angulos são agudos
obtusângulo- um angulo obtuso e outros dois agudos
equiângulo - os três ângulos são iguais
retângulo - um angulo reto  e os outros dois agudos.

OUTROS ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
MEDIANA - Mediana de um triangulo é o segmento cujas  extremidades são um vertice e o ponto médio do lado oposto.
Todas as três medianas do triangulo encontram-se num mesmo ponto O  chamado BARICENTRO

P ponto médio de AC = mediana
N ponto médio de BC = mediana
M ponto médio de AB = mediana










ALTURA - A altura é a perpendicular que sai do vértice em direção ao lado oposto formando naturalmente um angulo de 90º ao se interceptar a esse lado ,o triangulo tem 3 alturas e o encontro delas chama-se ortocentro






































TRIANGULOS CONGRUENTES - Se dois triangulos ABC e A'B'C' são tais que os lados sejam respectivamente congruentes , dizemos então que os triangulos são congruentes.

Os lados do triangulos possuem respectivamente
medidas iguais. e os angulos internos são res-
pectivamente iguais.






PROPRIEDADES DE CONGRUENCIA -1- Se dois triangulos são congruentes , então , são congruentes os angulos opostos a lados congruentes e os lados opostos a angulos congruentes.
 Na figura acima o angulo A é oposto ao lado BC        angulo B oposto  a AC      Angulo C oposto a AB.
2- A congruencia é uma relação de equivalencia , isto é, valem as propriedades : Reflexiva , Simetrica e Transitiva.
Reflexiva - Todo triangulo é congruente a si mesmo.
Simétrica - Se um triangulo é congruente a um segundo , este é congruente ao primeiro.
Transitiva - Se um triangulo é congruente a um segundo e este é congruente a um terceiro, então o primeiro é congruente ao terceiro.

CASOS DE CONGRUENCIA
Nas verificações intuitivas ou racionais ( demonstrações) há necessidade de decidir se dois triangulos são ou não são congruentes, mas não se conhecem as medidas de todos os lados desses triangulos.
vejamos , então , os casos que podem ocorrer .
1° Caso - Se dois triângulos possuem dois lados e angulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes , então , são congruentes - L A L  ( lado angulo e lado )













AC congruente a DF       AB congruente DE         Angulo A   e Angulo D compreendidos ....

2º Caso- Se dois triangulos têm um lado e os angulos adjacentes a esses lados respectivamente congruentes, então , são congruentes - A LA ( angulo, lado e angulo )
            

 congruente  a ^D
^B congruente a  Ê

Lado AB congruente a DE  Portanto
A B C congruente D E F ( A L A )



3º Caso - Se dois triangulos têm  um lado , um angulo adjacente e o angulo oposto a esse lado respectivamente congruentes , então , são congruentes. L.  A .Ao   ( Ao= angulo oposto )
A|PLICAÇÕES DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS-Os angulos da base de um triangulo isosceles são congruentes



















Em todo triangulo isósceles , a mediana relativa a base é altura e bissetriz relativa à base.

RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS DE UM TRIANGULO

1- Um angulo,externo de um triangulo é maior que cada um dos angulos internos não adjacentes.
 
















Demonstração Construção auxiliar = Por B traço BE // AC
asserção                                        razão
1- C=x                                       1.BE //AC e BC transversal , angulos alternos internos
2-  b>x                                       2.BE semi-reta interna ao angulo b como se vê intuitivamente
3- b>C                                       3.Propriedade transitiva
4-A=y                                        4.BE ??AC e AB transversal, angulos correspondentes
5-b> y                                        5. BE é semi-reta interna ao angulo b
6-b>A                                        6.Consequências de 4  e 5

2- Se num triangulo dois lados são de medidas diferentes, então ao maior lado opõe-se o angulo de maior medida      














3- A soma dos angulos internos de um triângulo = 180°
              r// AB (A alterno ^x )
                         (B alterno ^y) sendo,
 A=x      B=y    ( x + C+y = 180°)
r
Portanto A  +  B   +  C  = 180°

                         





Exemplo em aplicação -






















segunda-feira, 17 de dezembro de 2012

POLIGONAIS _ POLÍGONOS-DIAGONAIS ( 7° série)

POLIGONAIS- Consideremos no plano um conjunto finito de segmentos sucessivamente consecutivos e com dois consecutivos não colineares (não na mesma reta)

























Nas figuras C   e  D vê-se que a origem da poligonal coincide com a sua extremidade ,tem-se então as poligonais fechadas ou POLIGONOS. As demais são chamadas poligonais abertas.
REGIÕES:  externa    e região interna



























PERÍMETRO - Numa poligonal ou num polígono a reunião dos lados chama-se perímetro.E a soma das medidas dos lados recebe o nome de medida do perímetro da poligonal ou do polígono.
POLÍGONO CONVEXO - possui vertices, angulos internos, angulos externos e diagonais.



















CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS - Os polígonos se classificam segundo o numero de lados ou de angulos ( num poligono o numero de lados = numero de vertices= nº de angulos.
                                                                  octógono =8 lados
triangulo = 3 lados                                        eneágono = 9 lados    
quadrilátero= 4 lados                                     decágono = 10 lados
pentágono = 5 lados                                       undecágono = 11 lados  
hexágono = 6 lados                                         dodecágono = 12 lados
                                                                     pentadecágono = 15 lados
                                                                     icoságono   = 20 lados
NUMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO  - Para descobrir quantas diagonais tem um polígono usamos a seguinte fórmula      d= n(n-3): 2           d=diagonal     n=numero de lado
 assim um icoságono tem :     170 diagonais          

d = n ( n - 3 ) : 2                   d= 20( 20 - 3) : 2           d= 170

Se voce tem o numero de diagonais e quer saber qual é o polígono  substitua   (d ) pelo numero de diagonais e resolva a equação.
 exemplo       d=170                170 = n (n-3) : 2
                                           170.2 = n(n-3)
                                            340 = n² - 3n                 -n² +3n + 340 = 0   n'= -17      n''= 20      

Portanto 20 é o numero de lados do polígono                           V= 20