Sabe-se que os babilonios, povo que habitava a Mesopotamia, desenvolveram um considerável conhecimento geometrico desde 2000 a.C
Também no Egito aproximadamente 1300 anos a.C. a Geometria era desenvolvida: agrimensores usavam-na para medir terrenos, construtores recorriam a ela para suas
edificações, tanto que as grandes pirâmides próximas ao rio Nilo demonstraram que os egípcios conheciam e sabiam usar muito bem a Geometria.
Por volta de 600 a.C. filósofos e matemáticos gregos entre os quais podemos incluir Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época. É voz corrente que a Geometria, antes dos gregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquer cuidado com os princípios matemáticos que regiam os conhecimentos geométricos. Foram então os gregos os primeiros a introduzir O RACIOCÍNIO DEDUTIVO.
Porém foi com o matemático grego Euclides que a Geometria realmente se desenvolveu, fazendo da cidade egípcia de Alexandria, onde vivia Euclides, o centro mundial da Geometria por volta de 300 anos a. C.
Sistematizando os conhecimentos que outros povos antigos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo, Euclides deu ordem lógica a esses conhecimentos, estudando a fundo as propriedades das figuras geométricas,as áreas e os volumes.
Para Euclides a Geometria era uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: OS AXIOMAS ou POSTULADOS. O grande trabalho de Euclides foi reunir 13 volumes, sob o título " ELEMENTOS , " tudo o que se sabia sobre a Geometria em seu tempo. "Elementos " tornou-se um clássico logo após sua publicação .
Tales de Mileto: Demonstrou entre outros trabalhos Semelhança ; Feixe de paralelas e uma transversal
Teorema de Tales:
Um feixe de paralelas determina em duas transversais, quaisquer, seguimentos proporcionais
Teorema da bissetriz interna de um triangulo
Triangulos semelhantes e suas três propriedades
a - Se dois triangulos são semelhantes, então, os lados de um são proporcionais aos lados homólogos do outro.
b- (teorema fundamental de semelhança) Todas as retas paralelas a um lado de um triangulo, e que encontra os outros dois lados em pontos, distintos, determina com esses lados um triangulo semelhante ao primeiro
c- As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras aplica-se a triângulo retângulo e é utilizado nas relações métricas de um triângulo retângulo
Num triângulo retângulo em A, temos AB cateto (c): AC cateto (b): BC hipotenusa (a), AH altura relativa a hipotenusa (h) HC projeção de b, HC projeção de c
Para triângulos retângulos são válidadas as relações
c² = a.n ( n= projeção Bh)
b²= am ( m= projeção Hc)
b,c=a.h
h² =m.n
a² = b²+c²
Exemplo - Num triangulo retângulo seus cstetos medem respectivamente 3 e 4 centímetros. Calcule sua hipotenusa
a² = b²+ c² portanto a²= 3² + 4²
a²= 9 + 16
a² = 25
a = 5 cm.
Aplicações importantes do teorema de Pitágoras
Cálculo da diagonal de um quadrado , Cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero.
Estas duas citações não é tudo em geometria plana, pois nela podemos estudar as áreas , os perimetros da figuras geometricas planas e ainda dos solidos geométricos .
Figuras geométricas planas: Área
triângulo qualquer = sua área é base X altura dividido por 2.
triângulo equilátero = sua área L² vezes raiz de 3 dividido por 4.
quadrado = L X L
retângulo = bXa
trapézio (Base maior +base menor ) : 2 X altura
losango=( diagonal maior X diagonal menor) : 2
Circulo = r² x 3,14 ( pi )
Obs- A área é sempre indicada com medida ao quadrado ex 5 m²
Perímetro - é sempre a soma dos lados . e indicado com metro linear, isto é, m, ou dm, ou cm, etc
A circunferência tem fórmula especial - Raio X 2 X 3,14 (pi).= comprimento da circunferência
1 - SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
- Denomina-se sólidos geometricos as figuras geometricas do espaço.
Entre os sólidos geométricos, destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos.
São objetos que lembram poliedros :
tijolo, caixa de fósforo, dado, lápis sextavado, piramides do Egito, um cano, o corpo de um funil, uma bola.
2 = POLIEDROS
- Poliedro é um sólido geométrico limitado por regiões poligonais.
- Os elementos de um poliedro são: faces, arestas, e vértices
- Tipos de poliedros - convexos em relação a qualquer de suas faces, ele está todo situado num mesmo semi-espaço determinado por essa face.
- Quanto ao número de faces temos os seguintes poliedros:
de 4 faces - tetraedro
de 5 faces - pentaedro
de 6 faces - hexaedro
de 8 faces - octaedro
de 20 faces- icosaedro.
- Os poliedros podem se classificar ainda em : regulares e não regulares
Um poliedro diz-se regular quando todas as suas faces são polígonos regulares iguais, e cujos ângulos sólidos são iguais entre sí.
Dentre os polígonos não regulares citaremos o prisma, pirâmide , troncos de prisma e de pírâmides .
LEMA
-Em toda superfície poliédrica convexa aberta, o número de arestas aumentado de um é igual ao número de faces mais o número dos vertices. Isto é : A+1= F+V
A igualdade ( 1) é evidentemente satisfeita para uma superfície poliédrica de uma face, pois, nesse caso, temos um polígono plano.
Então FR=1 e A=V portanto F+V= A+1 ou F+V-A=1
TEOREMA de EULER
- Em todo poliédro convexo , o número de arestas mais dois é igual ao número de faces mais o número de vértices.
Quanto a superfície : As superfícies são classificadas de acôrdo com o seu modo de geração, a qual depende da natureza da geratriz, das suas condições de movimento e do número e da forma da diretriz ou diretrizes em que se apoia a geratriz.
Dentro dessas idéias o matemático francês Monge classificou as superfícies em famílias ao conjunto de superfícies, que possuem a mesma geratriz e a mesma lei de geração, diferindo apenas pela diretriz.
Categoria de família de superfície : 1 - Superfície retilíneas
2 - Superfície curvilineas
Superfícies 1-retilínea - Desenvolvíveis que são as cilindricas e as cônicas
- Reversas = Hiperbolóide uma folha, Cone reverso , Cilindróides
2 - Curvilíneas - Circulares, parabólica etc
Superfície de revolução = Cilindricas, cônicas, esféricas, tora, elipsóide, hiperbolóide de uma folha, parabolóide de revolução.
Superfície prismática -
PRISMAS
Prisma é um poliedro convexo em que duas faces são polígonos quaisquer iguais e paralelos chamados bases, e todas as outras faces são paralelogramos, chamados faces laterais.
A soma dessas faces laterais, chama-se superfície lateral do prisma e a soma desta com as duas faces chama-se superfície total do prisma.
CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS
:
Um prisma diz-se reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares as bases.
Em todo prisma reto as bases são secções retas, as faces laterais são retangulos ou quadrados e as arestas laterais são iguais a altura.
Dois prismas retos dizem-se iguais quando possuem as bases e as alturas iguais.
Todo prisma reto cujas bases sejam polígonos regulares chama-se prisma regular.
Um prisma regular não é necessariamente um poliedro regular. Em particular , o cubo é o único prisma regular que é também poliedro regular.
Um prisma denomina-se triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal etc. , conforme suas bases sejam triangulo, quadrado etc.
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
- Superfície lateral : é formada pelas faces laterais
- ÁREA LATERAL -é a Área da superfície lateral ( Sl)
-Superfície total, é formada pelas bases e pelas faces laterais
- AREA TOTAL - é a área da superfície total ( St )
Exemplo - Cálculo da AREA DA BASE ( Sb)
Suponhamos que se trata de um prisma hexagonal
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triangulos equiláteros, de lado igual ao raio da circunferencia
S( triangulo ) = a² raiz de 3 dividido por 4 = 6.raiz de 3 m²
Cálculo da área lateral
Num prisma regular , sabemos que as faces laterais são retangulos.
Como temos 6 retangulos são 6X a área do retangulo ( base 2cm e altura raiz de 3 cm)
Cálculo da área total = área lateral + 2 vezes a área da base
Se o prisma tinha 2 cm de raio sua área total será 40,8 cm²
VOLUME DO PRISMA = área da base X altura
PARALELEPÍPEDOS
Chama-se paralelepípedo, a todo prisma cujas bases são paralelogramo.
Um paralelepípedo é reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares as bases.
CUBO
Cubo é um poliedro regular de seis faces quadrangulares
Propriedades dos paralelogramos:
1- As faces opostas de um paralelepípedo são iguais e paralelas.
2- Um paralelepípedo pode ser considerado como um prisma de 3 modos diferentes, tomando por bases duas faces opostas quaisquer.
3- Dois paralelepípedos retangulos de mesmas dimensões são iguais.
4- Toda secção plana que encontra quatro arestas de um paralelepípedo é um paralelogramo.
5- Um paralelepípedo possui 4 diagonais que se cortam ao meio em um mesmo ponto chamado CENTRO DO PARALELEPÌPEDO.
6- Em um paralelepípedo retangulo as diagonais são iguais.
7-O quadrado da diagonal de um paralelepípedo retangulo é a soma dos quadrados de suas três dimensões.
8- A diagonal do cubo é igual ao produto da aresta pela raíz de 3, .isto é,
D = aX raiz de 3
9- Dois paralelepípedos de mesmas bases e mesma altura são equivalentes.
10- àrea total de um paralelepípedo = 2 ( ab+ ac+bc )( cujas dimensões são comp.a, largura b , altura c )
11- Volume = a.b.c
12-No cubo área total = 6a²
13- volume = a³
PIRÂMIDE
- Chamam-se arestas laterais da piramide as arestas que concorrem ao seu vertice. As outras aresta são as arestas da base.
A Soma de todas as faces da pirâmide chama-se superfície lateral da pirâmide.
Chama-se altura de uma piramide a distância do seu vertice ao plano de sua base.
Uma pirâmide diz-se regular quando sua base é um polígono regular e sua altura tem para extremos o vertice da pirâmide e o centro da base.
As faces laterais de uma piramide regular são triângulos isósceles e a altura desses triangulos isósceles é também o apótema da pirâmide.
Área lateral da piramide é a soma das n áreas dos triângulos laterais da pirâmide
àrea total = Área lateral + área da base.
VOLUME da Pirâmide
àrea da base X altura dividido por 3
VOLUME DO TRONCO de uma pirâmide = V = K/3 [ B + ( Raiz quadrada B.b ) +b ]
# B = área da base maior
# b = área da base menor
# K= altura do tronco.
ESTUDO DO CILINDRO
Denomina-se cilindro reto ou de revolução o solido obtido quando giramos
em torno de uma reta , uma região retangular,
exemplo 0 reco-reco.
Notamos que as bases de um cilindro são regiões circulares congruentes de raio r, o segmento de reta que une os centros das bases chama-se eixo.
A distancia entre as bases chama-se altura do cilindro
Todo segmento paralelo ao eixo que tem suas extremidades nas circunferencias das bases chama-se GERATRIZ do cilindro.;
OBS- quando o eixo é obliquo à\s bases , o cilindro se diz obliquo
ÁREAS E VOLUME DO CILINDRO
recordemos da geometria plana -
Comprimento de circunferencia- 2.R.(pi)
Área da circunferencia - R² . (pi)
ÁREA LATERAL -(Sl)
A lateral do cilindro é um retangulo ou um quadrado depende da altura. largura = h comprimento = 2(pi)r
base . altura = 2(pi)rh.
Área total ( St)
área da base .2 + Sl St = 2(pi)rh + 2(pi)r² ou St= 2(pi)r {h+r}
VOLUME - = Sb . h - V= (pi)r².h
ESTUDO DO CONE-
Definição - denomina-se cone de revolução ou cone reto o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região triangular cujo contorno é um triangulo retangulo.
Descrevendo um cone - tem a forma de uma " piramide" de base redonda
O circulo é a base do cone - o seu raio é chamado raio do cone
A distancia entre o vertice V e o plano é a altura do cone e a sua medida é expressa por h.
Se o cone é reto essa altura é perpendicular do ponto V ao centro do circulo da base, mas se ele for obliquo a altura é a perpendicular que sai do V a um ponto periférico ao circulo e seu eixo tambem é obliquo a base
No cone reto, alem de ser a altura h também é o eixo do cone.
As laterais do cone, isto é, o segmento que vai do ponto V ao ponto P que pertence ao circulo é chamado de geratriz do cone.
g²= h² + r²
ÀREAS E VOLUME DO CONE CIRCULAR RETO
Área da base - (Sb)- Como a base é um círculo temos : r² . (pi)
Área lateral -( Sl ) - Aberto o cone ele representa g como sendo o raio e o comprimento é o comprimento da circunferencia pois forma um arco daí termos
Sl = (comprimento X raio) : 2 ou {2 (pi) rX g} : 2
Área total -
St = Sl + Sb
VOLUME - O volume de um cone circular reto é dado por:
1/3 ( área da base) . ( medida da altura )
1º -Exemplo:
Seja um cone circular reto de raio 8 cm e altura 6cm . Calcular a área lateral , a área total do cone
Resolução :
dados - h= 6cm
r= 8cm
Calculo da geratriz (g)
g²= h²+r² g²= 6²+8² = 100 g=10
Calculo da área lateral
Sl= (pi).r.g Sl=(pi) .8.10 Sl =151,20 cm²
Cálculo da área da base
Sb= (pi)r² = 3,14 X 64 200,96 cm²
Cálculo da área total ( St)
St = Sl + Sb 151,20 + 200,96 = 352,16 cm²
2º - Exemplo:
Cáculo do volume
Um cone circular reto cuja geratriz mede 10 cm, e sua altura é igual ao triplo da base. Qual é seu volume.
Dados : g=10 cm
h= 3r
Cálculo do raio da base e da altura h
g² = h²+r² 10² = (3r)² + r² =100 =9r²+r² =10r² = 100
r² = 100: 10
r²= 10
r = 3,16 cm
Como h é 3r temos h= 9,48
Cálculo do volume
(Área da base X h ) : 3 = (r² X 3.14 X h) : 3
(10X3.14X9,48) : 3 =99,224
TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO DE BASES PARALELAS
Consideremos um cone circular reto de vertice V e altura h; a uma distância d do vertice , traçando um plano paralelo às bases, obtendo uma secção transversal do cone.
Consideremos , agora, o solido constituido pela reunião dos seguintes conjuntos:
a) base do cone
b) secção transversal
c) pontos do cone compreendidos entre a base e a secção transversal.
Esse sólido é denominado TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS, onde destacamos:
- as bases do tronco são a base do cone e a secção ;
- a distância entre as bases do cone chama-se altura do tronco e sua medida é expressa por k. e a lateral g ( geratriz do tronco)
ÁREA LATERAL (Sl) = 3,14 XgX( r + R )
VOLUME = 3,14.k/3[ r² + r.R+R²]
onde r= medida do raio da base
R=medida do raio da secção
k=medida da altura do tronco.
ÁREA total do tronco do cone é dada por
St=Sl+Sb=SB
ESTUDO DA ESFERA
Superfície esférica e esfera. São dados um ponto O e um nº real r positivo
O conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distancias ao ponto O são iguais a r é denominado superfície esférica de centro O e raio r.
O sólido limitado por uma superfície esférica chama-se esfera. Desse modo, a esfera de centro O e raio r, é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a r
De uma forma bastante simples , podemos dizer que a superfície esférica é " a casca " enquanto a es
fera é o" miolo".
ÁREA de uma superfície esférica - S = 4 r² X 3,14 (3,14=pi)
VOLUME da Esfera - 4/3 r³ X 3,14
POSIÇÔES RELATIVAS DE UMA ESFERA E UM PLANO-
Consideremos uma esfera de centro O e raio R e seja d a distancia do centro O a um plano alfa
Esse plano diz-se exterior, tangente ou secante à esfera de centro O, conforme se tenha, respectivamente
d>R , d=R ou d<R.
Se o plano é exterior à esfera O d>R, todos os pontos do plano são exteriores à esfera
Se o plano é tangente à esfera O (d=R), tem um único ponto P chamado de ponto de tangência em comum com a esfera.. Esse ponto pertence ao contorno da esfera e é fácil concluir que o plano tangente a uma esfera é perpendicular que ao raio une o centro O ao ponto de tangência P
Se o plano é secante a esfera ele irá cortar a esfera em dois pontos formando um circulo .Se o plano secante tem d=O o plano alfa diz-se plano diametral.
Se o plano é diametral seu circulo é menor que a esfera e tem o seu raio menor que o raio de esfera.
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