TRIANGULO DE PASCAL- BINÔMIO DE NEWTON

 deterinação dos numeros binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prático chamado  triangulo de Pascal, que é constituido com base na teoria e propriedade dos numeros binomiais ( numeros binomiais estão descritos junto a pestagem de Analise Combinatória ).

Verifique no Triangulo de Pascal as seguintes propriedades:

1ª  - Um cateto e uma hipotenusa do triangulo são formados  por  1
2ª - Em cada linha  os termos equidistantes  dos extremos são iguais.
3ª - A soma de dois elementos consecutivos de uma linha  é igual ao elemento da linha seguinte, imediatamente abaixo da segunda parcela da soma.

4ª- A soma dos elementos de cada linha do triangulo é uma potencia de dois, cujo expoente é o numero da linha.

Comentário - O triangulo de Pascal tem aplicação no desenvolvimento do binomio (x + a ) com o expoente n, que denominamos Binomio de Newton, com    a    pertencente a  R    e    n     pertencente ao grupo dos numeros  Naturais..

(  x+ a )²  = os coeficientes   1   2   1     com   n=2,  portanto, fica   1 x² + 2. ax + 1 a²
( x+ 2 )³      os coeficientes são  1 (1+2)= 3  2+1 = 3   e  1          1  3  3  1   portanto teremos
    1.  (x³) + 3(x².2²)+3(x.2) +1  . 2³
resposta=     x³+12 x² + 6 x +8

                      BINÔMIO DE NEWTON - TERMO GERAL DO BINÔMIO  e LEI DE FORMAÇÂO
                DE PRODUTO DE BINÔMIOS DISTINTOS

Resumo : B inômios distintos com 4 elementos ex:  (x+a) ( x+b)  ( x+c) (x+d )
 Neste caso o 1º termo  é   x a quarta potencia + (a+b+c+d) x³ + (ab +ac+ad+bc+bd)x²+(abc+abd+bcd+acd) x + O termo independente (abcd).

Binomio distinto cao 3 elementos ex ( x+a) (x+b)(x+c)
 O 1 º   termo é   x³+ ( a+b+c )x² + (ab+ac+bd)x + (abc)      que é o termo independente.

Observando esses produtos obtidos, podemos estabelecer a seguinte lei de formação dos seus termos :
1º ) O produto de dois ou mais  desses binômios é um polinômio ordenado e completo em relação a  x
com tantos termos quantos forem os binômios mais um.
2º ) O expoente de x  decresce sucessivamente  de uma unidade em cada termo, a partir do primeiro , que é igual ao numero de binômios , até o último, em que é nulo ( termo independente )
3º) O coeficiente do primeiro termo é a unidade ; o coeficiente do segundo termo é a soma dos segundos termos dos binomioas ; o coeficiente do terceiro termo é a soma das combinaçôes ternárias dos segundos termos dos binômios e assim sucessivamante até o penultimo termo ; o último termo é o produto dos segundos termos.        

Obs- Sempre a soma dos coeficientes do desenvolvimento é uma potencia de  dois .
ex  (x+a ) a 7ª potência = 128  isto é 2 a 7ª potência       (x+a)³ = 2³ = 8

 

 (000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

ANÁLISE COMBINATÓRIA - FATORIAL, ARRANJOS, PERMUTAÇÕES

 A Análise Combinatória - é a parte da Matemática que visa desenvolver métodos de raciocínio que nos permitam estabelecer formulas para calcular o número de determinados agrupamentos, formados com elementos de um dado conjunto.
 A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dadoas, jogos de carta etc...
 Atualmente usa-se em loteria esportiva, loto, loteria federal etc. além de aplicações mais específicas , como confecções de horários , de planos de produção, de número de placa de automóveis etc.

Fatorial - introduziremos inicialmente o conceito de fatorial, que será de grande utilidade nos exercícios de Análise Combinatória.

n! = n.(n-1) . (n-2) ...3 .2. 1 para n  Pertencente  \o conjunto dos números   N e n > 1

O simbolo n! lê -se fatorial de n  ou n fatorial.
exemplos:

   2! = 2.1 =2
   5! = 5.4.3.2.1 = 120
   0! = 1
   1! = 1
   n! = n. ( n-1 )      (n>1)

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO - ENUNCIADO ;

Se tivermos dois acontecimentos , A e B, sendo que a ocorrência de um deles independe da ocorrencia do outro,A acontecendo de m maneiras diferentes e B de n maneiras diferentes, o total de possibilidades da ocorrencia de A seguida da ocorrencia de B, será  m X n .
ex.      Quantos numeros de dois algarismos podemos formar no sistema de numeração decimal -

'   Solução : escolha de um algarismo para a casa da dezena 9 possibilidades ( 0 zero nâo pode para essa colocação)
                  escolha de um algarismo para a casa das unidades 10
                    9  X  10 = 90

OBS - Esse princípio pode ser generalizado para mais de dois eventos
ex. Quantos são os resultados possíveis para um teste da loteria esportiva com 16 jogos?
Para cada um dos 16 jogos teremos a possibilidade de tres resultados possíveis ( coluna 1, coluna do meio e coluna 2 )  Portanto sempre três possibilidades
Como são 16 jogos   teremos 3 elevado a 16 ( 3x3x3x3x3x3x3... ) = 43046721 resultados distintos

ARRANJOS SIMPLES
Nele não há repetição de elementos ; a ordem dos elementos é considerada.



   
  COMBINAÇÃO SIMPLES -

 Considerando o conjunto  A { a, a,, ,a,,, , a ...  } e uma combinação  de    p   elementos de A, podemops fazer as permutações desses elementos, e encontrar p! sequencias ou seja, os arranjos dos   n   elementos de A tomados p  a p.  Portanto temos o produto   P! Cnp  = Anp ou seja  Cnp = Anp /P!

Problemas envolvendo Arranjo e Combinações

Uma  Câmara Municipal é composta de vereadores de 3 partidos - A  B   C - assim distribuidos 3 partido A , 6 partido B , 9 do C

1- Qual é a menor comissão ( em nº de vereadores ) que se pode formar nessa Câmara , mantendo-se a mesma proporcionalidade partidária ?

2- Quantas comissões diferentes com essa caracteristica podem ser formadas ?

1- A menor distribuição que mantem a proporcionalidade partidária é - Part. A -1  :  Part.  B-2, Part. C -3

2- ( C 3,1) x ( C6, 2) x ( C9,3 ) = 3.  15.   84  = 3780 comissões.


PERMUTAÇÃO SIMPLES                     

Permutação simples de n elementos distintos é qualquer grupo ordenado dsesses n elementos.
Permutando os 3 elementos distintos de A =  (x, y, z) por exemplo, temos:

(x,y,z), (x, z, y), ( y, z, x ), ( y, x, z ), (z, x, y ), (z, y, x )
.
 Obtivemos o numero de permutação simples igual a 6
Note que para a primeira posição há três possibilidades ( qualquer das letras )
Para a segundas posição sobram duas letras  ( 2 possibilidades ) e para a terceira posição temos só uma letra ainda não usada .

Para  cálculo do numero de permutação simples, usamos

Pn = N! ou seja, Pn= n.( n-1). (n-2 ). (n-3)...-1

Portanto o número de permutações simples de  n   elementos distintos é igual a  n fatorial.

Exemplo - Vamos calcular o número de anagramas da palavra   LÁPIS, lembrando que um anagrama é uma palavra formada com as mesmas letras da palavra dada, podendo ter ou não sentido na linguagem oral.

Como a palavra LAPIS possui 5 letras, basyta calcular :
P5 = 5! = 5.4.3.2.1.= 120

Assim o número de anagramas da palavra  LAPIS  é  120.


Considerar  a palavra  DILEMA e determinar:
a) O numero total de anagramas
b) O numero de anagramas que começam com a letra  D
c) O numero de anagramas qaue começam com D  e treminam com A
d) O numero de anagramas que começam com vogal.

a) O númerototal de anagramas é
P6= 6! = 720

b) Para calcular o numero de anagramas que começam com a letra  D , fixamos a letra D e permutamos as demais
D I L E M A      D para todas e  as demais restantes são em numero de cinco portanto 5!= 120

c) Neste caso, vamos fixar as letras  D   e   A sobrando 4 letras para permutação portanto P3 = 3! = 3.2.1=6

d) No item b,vemos que para cada letra fixada na primeira posição há  120  anagramas . Como existem 3 vogais diferentes , o numero de anagramas que começam com vogal é 3.120 = 360.