Angulos ( nivel 7ª serie do fundamental)

1- CONCEITO - Considerando duas semi-retas com início em O , não colineares. OA   e OB

O vertice , os lados do angulo são chamados respectivamente vertice e lados da região angular
As semi-retas que têm origem no vertice do angulo e passam por um ponto interno são chamadas semi-retas internas ao angulo.
Na parte interna do angulo ´poderão ser traçadas várias semi-retas com origem em Ô, uma ao lado da outra são as semi-retas internas ao angulo.
MEDIDA DE UM ANGULO - O angulo é medido em graus sua unidade principal, e s sub divisão é minuto e segundo.       Um grau tem 60 minutos  e um minuto tem 60 segundos ex 5°12' e 13 "
O instrumento usual para medir um angulo é o transferidor que tem o grau como unidade principal
O grau de um angulo, portanto, é a sua medida  ex. (AÔB) = 45°

  Se dois angulos adjacentes ex AÔB e BÔC são congruentes , então o lado comum OB recebe o nome de BISSETRIZ.
Portanto, bissetriz de um angulo é a semi-reta interna ao angulo que determina dois angulos adjacentes congruentes ( iguais ), (com a mesma medida)
Propriedade de verificação INTUITIVA.  " TODO ANGULO POSSUI UMA ÚNICA BISSETRIZ"
TIPOS DE ANGULOS - Angulo reto = 90°   Angulo agudo - 90°    Angulo obtuso + 90°
Temos ainda considerando a medida em graus Angulo raso de 180° (meia volta) e 360°que é o angulo da volta inteira.
Angulos complementares quando a soma deles = 90°   Angulos suplementares quando a soma deles = 180° e replementares quando a soma deles = 360°
Por exemplo : Calcular o angulo suplementar de 56°.  180° - 56° = 124° portanto o suplementar de 56° = 124° ( somando 124° + 56° = 180°)

PROPRIEDADE - Se dois angulos são congruentes, então os seus complementos são congruentes e, reciprocamente se dois angulos tem complementos iguais, são congruentes.
 OBS-
Operação com os numeros medidas de angulo  que incluem minutos e segundos:
20° 12' 30"" + 12° 12' 40" devemos colocar 20° 12' 30''
                                                              + 12° 12' 40"     = 32° 24' 70''   70" é maior que um minuto portanto fica 32° 25' 10".
Multiplicação( 27° 12' 56") . 5 = 135° 60' 280''      neste caso devemos dividir 280 por 60 =4' sobrou  40"     (soma-se os 4 ' com 60'= 64' ) divide 64' por 60' = 1° e sobra 4' e por fim soma-se o 1° com os 135° ficando 136°       Resposta 136° 4' 40"
 Divisão 12° 13' 15" : 5 =  2° 26' 3"e 3/5 do segundo

12° 13' 15" : 5    fica 2°   sobram  2°(multiplica por 60, o resto ficando 120' +13'= 133' : 5= 26')
sobram 3 " + 15" = 18" : 5 = 3" sobram 3" ficando a sobra sobre 5 , isto é, 3/5
RETAS PARALELAS - Como estamos tratando somente de geometria plana , então definimos :
1- Duas retas são paralelas, se, e somente se , não têm ponto comum
 Ver figura (1) .
 Algumas propriedades;
a) Por um ponto fora de uma reta, existe uma paralela à reta dada.
b) Por um ´ponto fora de uma reta , a paralela à reta dada é única ( Postulado de Euclides )  fig(2)          
 Pelo ponto A não pertence a r , existe uma única reta s de modo que A pertence a s e s paralela a r
c) No plano , duas retas distintas paralelas a uma terceira são paralelas entre si
2- No plano , toda reta que encontra duas outras em pontos distintos chama-se transversal fig.(3)(t)

RETAS COPLANARES - As retas que estão contidas num mesmo plano são chamadas coplanares.Por exemplo as retas contidas num mesmo plano  da figura ( 2) , (3).

RETAS CONCORRENTES - São retas coplanares que possuem um único ponto comum, e os  angulos por elas formados são angulos iguais e opostos pelo vértice.( figura 4)

Resolução de um angulo OPV                    m= 2x + 10             n= 3x-20 ( fig 4)
Como são iguais temos    2x + 10 = 3x - 20
                                      2x - 3x = -20 - 10     portanto -x = -30      logo x = 30
2x +10 = 2.30 + 10 = 70°   (Cada um.)
Há um caso especial de retas concorrentes , em que os 4 angulos formados pelas retas são congruentes medindo 90° .Quando isso ocorre , dizemos que as retas  r   e   s  são perpendiculares.
Quando isso não ocorre, isto é, os 4 angulos não são iguais ou diferentes de 90°, então as retas  são denominadas obliquas.
No exemplo dado tivemos dois pares diferentes  n  e m = 70°    e os outros dois o.p.v. 110°cada.

ANGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS COPLANARES E UMA TRANSVERSAL

Considere as retas coplanares r   e   s  e a transversal t. As coplanares r e s   dividem o plano em duas regiões: uma interna às coplanares e outra externa às mesmas.
A Transversal também divide o plano em duas regiões, determinando angulos numa mesma região ou em regiões alternadas em relação a essa transversal

figura ( 5 )
ANGULOS
 CORRESPONDENTES e iguais entre si, (ex 1 = 5){ 1,5} {4,8}{2,6}{3,7} , um da região externa outro da região interna m relação as retas r  e s .
ANGULOS ALTERNOS: EXTERNOS -(2,8) ( 1,7) são iguais ,tem a mesma medida em grau
ANGULOS ALTERNOS INTERNOS - ( 3,5) (4,6)  também são iguais entre sí.
ANGULOS COLATERAIS Externos (1,8)(2,7)  e os Internos ( 3,6) (4,5) estes angulos não são iguais tanto os internos como os externos são angulos com medidas diferentes entre sí, são angulos suplementares cuja soma = 180°  ex Somando-se a medida do 4 com a medida do 5 = 180°         3+6= 180°      1+8= 180°   2 + 7 = 180°

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL  DO PARALELISMO-Vamos considerar as retas r  e  s  e uma transversal. t . figura ( 5)

Tomando como hipótese que os angulos correspondentes  1   e 5    são congruentes , vamos prover que as retas  r   e   s   são paralelas.
 Se angulo 1 = 5 então r // s
  Hipótese { 1 = 5
   tese      r // s              Demonstração - Se r  não fosse paralela a s então elas encontrariam-se em um ponto C, formando um triangulo ABC Nesse triangulo o angulo 1 seria externo e a propriedade de angulo externo teriamos 1 > 5 . Como partimos da hipótese que 1 =5 um absurdo.e s não seria // a r. Como isso não é verdade porque 1=5 temos que s//r.
Conclusão - Quando duas retas coplanares são cortadas por uma transversal , formando angulos correspondentes iguais , então essas retas são paralelas.
Consequencias  - Angulos alternos  - são iguais por que  como vimos 1=5 ( são correspondentes)
Como 3 é o.p.v de 1 temos que 3 = 1 e = 5 ( fig 5 ) portanto r //s
 Angulos alternos externos(1,7)  também são iguais porque 1=5 ( correspondente) 5 O.P.V  de 7
portanto são iguais .e as retas r  e  s  são //
 Já os angulos colaterais são suplementares (!,8), (2,7)(3,6) (4,5).e r//s
POSTULADO DOS ANGULOS - Na Geometria , torna-se necessário algumas vezes admitir uma afirmação sem que haja a preocupação de demonstrações ou prova desta afirmação. Esse tipo de afirmação ou proposta recebe o nome de POSTULADO.
Considere os angulos AÕB E A' ô' B'            

Observe que as semi-retas que formam estes angulos são paralelas    OA// O'A'
OB//O'B'. E que esse dois angulos são congruentes.


A partir desse elementos , podemos enunciar um postulado conhecido como POSTULADO DOS ANGULOS :
Se dois angulos têm os lados respectivamente paralelos e de mesmo sentido , então eles são congruentes.
O postulado dos angulos é muito útil , por facilitar demonstrações. Esse postulado é equivalente ao postulado conhecido pelo nome de POSTULADO DE EUCLIDES:  " Por  um ponto P situado fora de uma reta r, pode -se trraçar uma e uma só reta paralela à reta r.( fig 2)
CONSEQUENCIA do POSTULADO do ANGULO -
Se os lados do angulos são paralelos e mesmo sentido os angulos são iguais
Se os lados do angulo são paralelos mas de sentido opostos  também são congruentes
Se os angulos tem os lados respectivamente paralelos , um do mesmo sentido e outro de sentido oposto, então esse angulos são suplementares ver figuras.

Angulos e diagonais de um polígono

Angulos internos de um triangulo- A soma dos angulos internos de um triangulo é 180°
Hipotese { ABC- triangulo

Tese { a+b+c = 180°

Demonstração ; Pelo vértice A traça-se a única paralela à reta suporte do lado BC

x=x' porque são angulos alternos   e   z=z'. Somando x y z=180°( porque formam juntos um angulo raso com vértice em A.)  portanto A +B +C = 180°

ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIANGULO- Em todo  triangulo o angulo externo tem a medida igual a soma das medidas dos angulos internos que não são adjacentes a ele.
A verificação experimental pode ser substituida por uma DEMONSTRAÇÃO:

Problemas : 1) Nas figuras seguintes , calcule a medida dos angulos assinalados;

Sendo r// s calcule a medida dos angulos assinalados:

C) A bissetriz do angulo A de um triangulo ABC forma com a bissetriz do angulo externo adjacente ao angulo B um angulo de 40° . Se esse externo mede o dobro de A então quais os valores de a,b,c.
a=c= 80°  e     b=20°

ANGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO

Considere um polígono de 6 angulos . Para calcular a soma das medidas desses angulos , vamos dividí-lo em triangulos a partir do vértice A

Exemplo : Calcular a soma dos angulos internos de um decágono .
                    decágono= 10 angulos          (n=10)
Solução - (10-2).180° = 1440°                Qual é a medida do seu angulo interno?
                                                          Solução - 1440° : 10 = 144 °
Sabendo que a soma dos angulos internos de um polígono é 2520°, calcular o numero de lados desse polígono. Sn=( n-2). 180°
                     2520° = (n -2). 180°            
                     2520°= 180° n - 360°
                     2880°= 180° n            
                       16 = n            Logo o polígono tem 16 lados    
Um polígono é regular e a relação entre um angulo externo e o interno que lhe corresponde é de 1/5.Qual é esse polígono?

 

Introdução à geometria dedutiva ( nivel 7ª serie)

CONCEITO GEOMÉTRICO - Existem conceitos geométricos intuitivos ou conceito primitivos,  (ponto, reta plano ) que nos foram apresentados intuitivamente , isto é, pelas idéias formadas em nossa mente através de observação e da experiencia. São conceitos sem definição.
Outros conceitos , como ângulo, bissetriz... foram apresentados por meio de uma definição através de conceitos já conhecidos. Ex a idéia de bissetriz de um angulo se forma em nossa mente através dos conceitos já conhecidos : angulo, semi-reta interna, ângulos congruentes ...
POSTULADOS e TEOREMAS - Enunciamos diversas propriedades geométricas. Muitas foram verificadas intuitivamente pela observação e pela experimentação em figuras, como por exemplo
" por dois pontos distintos passa uma e uma só reta ". Propriedades desse tipo chamam-se POSTULADOS ( ou axiomas ).
Existem propriedades desse que são verificadas  através de conceitos ou propriedades já conhecidas Essas propriedades recebem o nome de TEOREMAS
Num teorema , há duas partes distintas : a que se  supõe conhecida , chamada HIPÓTESE e a que se deve justificar, provar, demonstrar chamada  TESE .
Os TEOREMAS em muitos casos vem enunciados ou podem ser enunciados na forma condicional: se. . .  então ... A parte entre "se" e "então" constitui a HIPÓTESE com os dados e a parte que vem depois de " então" , a TESE ou que se quer provar.
Exemplo :
 " Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes "
               
imagine, duas retas cruzadas   sendo  (o ) o ponto de encontro

   
H { AÔB  e CÔD  o.p.v

 T{AÔB = CÔD


Na demonstração do teorema se utilizam conceitos ou ou propriedades já conhecidas . Neste caso :
AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares  = 180°
BÔC e CÔD são adjacentes e suplementares  = 180°
Propriedade da igualdade      AÔB + BÔC =BÔC + CÔD cancelando na igualdade BÔC temos
AÔB =CÔD ( definição de angulos congruentes , portanto AÔB=CÔD
Em toda demonstração existe um encadeamento de afirmações que recebe o nome de dedução ou raciocínio dedutivo.

       PREMISSAS FALSAS - Você já deve ter ouvido frases como :
" SE ESSA GAROTA É BONITA , ENTÃO MINHA AVÓ È UMA BICICLETA "
Esta é uma forma de se negar que a garota é bonita.Se reparar um pouco na sentença , vgerá que se distinguem duas partes. "SE ESSA GAROTA É BONITA..." Essa é a primeira parte e constitui a HIPÓTESE, ou a premissa da sentença toda.Isso quer dizer que a base da afirmação que se quer fazer. " MINHA AVÓ É   UMA BICICLETA" Constitui a conclusão  ou TESE da sentença. É claro que a conclusão é falsa. A minha avó ou a sua nunca será uma bicicleta.Todavia é uma forma de se dizer que a partir de uma premissa falsa conclui-se qualquer coisa ( verdadeira ou falsa )
Veja outros exemplos - " Se Pelé foi mau futebolista , então o Senhor Silvio Santos é o Presidente da República." Neste caso a hipótese é falsa e a tese ou conclusão também é falsa.
Veja  exemplos    
a) "Se um triangulo é isósceles( Premissa ou hipótese) , então os angulos da base são congruentes(tese  ou conclusão )
b) " Se um triangulo ABC é retangulo em A , então a² = b² + c². ( Pitágoras ).
Ocorre que em Matemática as premissas e as conclusões são sempre verdadeiras , então a sentença final "se p então q" serão sempre verdadeira"Podemos , no entanto fazer alguns exercícios de LÓGICA, semelhantes aos exemplos anteriores , onde a premissa é falsa e a conclusão é verdadeira como a seguir. É claro que o raciocínio entre a premissa e a conclusão é LÓGICO e CORRETO, decorrente da aplicação de propriedades válidas para operações que se realizem.
 a- Se 2=4 ( começamos com uma premissa falsa )
Multiplicando ambos os termos por um valor qualquer ( por 5 ), o que é válido em Matemática. obtemos: se 2=4 então 2.5 = 4.5  ou 10 = 20 De uma falsa premissa tiramos uma falsa conclusão.                                                
b- Se 1 = -1 ( premissa falsa )
Elevando-se ambos os termos ao quadrado  ( 1)² = (-1) ²  fica 1=1.Agora de uma premissa falsa , tiramos uma conclusão verdadeira.
Destes fatos tiramos um resultado importante: de uma premissa falsa conclui-se tanto uma verdade quanto uma falsidade. A Matemática neste nível só admite em seu desenvolvimento e seu raciocínio que se tomem premissas verdadeiras para chegar , através de procedimentos lógicos , a conclusões verdadeiras.

Problemas do 2º grau

Agora voce vai aprender como se resolvem problemas do 2º grau, isto é, sentenças expressas em linguagem comum que, quando expressas em linguagem matemática , originam uma equação do segundo grau ou , então , um sistema do segundo grau. Fazendo uma recapitulação :
Um número ,        x
o dobro de um numero    2x
o triplo de um numero     3x
O quadrado de um numero    x²
O quadrado do dobro de um numero  (2x)²
Os quadrados de dois números inteiros e consecutivos     x²  e ( x + 1 )²
O quadruplo de um numero par    4 x²
O quadrado de um numero (2x)²
O quadrado de um numero impar ( 2x+1 )
O quadrado do inverso de um numero ( 1/x)²
A terça parte do quadrado de um numero ( x² /3)
A raiz quadrada de um numero Vx
Subtraindo do quadrado de um numero o quintuplo desse numero obtém-se 14.     x²-5x = 14
A soma de dois números inteiros é igual a 8, e o produto desses números = 15 ( x+y=8) (x y = 15)
A soma de dois numeros é 5 e a soma dos quadrados desses números=13  (x+ y = 5 ) ( x² + y²)=13
A resolução de um problema  -deve resolver a equação ou o sistema correspondente a equação ou ao sistema e discutir as raízes encontradas.

exemplo - As idades de dois irmãos são representadas por numeros tais que a soma deles é 12 e o produto é 35 .Determinar essa idades.

x+y = 12         x= 12 - y (substituindo esse x na segunda equação temos )

xy=35             ( 12-y ) y = 35            12y - y² = 35           - y² + 12y - 35 = 0
                                                                                       y' =7     y'' = 5      V = ( 5,7).

    

Sistema de equação do 2º

Sistema de equações simultaneas do 1º grau