Conceitos:
Dado um ponto O no plano m , vamos marcar nesse plano os pontos que estão a uma mesma distancia r e O
A circunferência tem sua parte interna e naturalmente a sua parte externa.
Então todo ponto do plano cuja distância ao centro da circunferência é menor que o raio chama-se PONTO INTERNO à circunferência . A reunião de todos os pontos internos denomina-se região interior à circunferência.
Assim podemos definir : Ao conjunto de pontos obtido pela reunião da circunferência com a região interna a ela chamamos de circulo.
AB= corda
X e Y pontos internos à circunferência
CD diâmetro da circunferência
O ponto central
OE raio da circunferência
K Z corda e secante
M tangente
Circunferência determinada por três ponto não colineares
Considere a sentença:
* Toda circunferência pode ser construída a partir de três pontos não colineares.
Para provar essa afirmação , vamos examinar um teorema válido para qualquer circunferência :
EM TODA CIRCUNFERÊNCIA , UM DIÂMETRO PERPENDICULAR A UMA CORDA DESSA CIRCUNFERÊNCIA DIVIDE AO MEIO , E RECÍPROCAMENTE , SE UM DIÂMETRO DIVIDE UM CORDA AO MEIO , ELE É PERPENDICULAR A ESSA CORDA
Hipótese { C ( O,r)
AB é corda
CD diâmetro
CD perpendicular AB em M}
Tese { AM igual MB}
DEMONSTRAÇÃO:
O triangulo AOB é isósceles,
pois OA = OB ( raio da circunferência) OM é a altura do triangulo AOB , pois CD perpendicular a AB
Assim OM é também mediana do triangulo AOB. Portanto: AM = MB. (a q d.)
Método Prático para encontrar o centro de uma circunferência:Traçamos os segmentos AB e BC, que são cordas da circunferência . A seguir taçamos as mediatrizes de AB e BC. Como cada mediatriz contém o diâmetro dessa circunferência, então a intersecção das duas mediatrizes determina o centro O da circunferência , cujo raio será OA OB OC.
POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Considerando-se as circunferências C (O,r) e C' ( O',r'), podemos obter as posições relativas entre elas comparando as distâncias d entre os centros O e O' e a soma dos raios r e r'.
Na figura 1 a distancia das cir
cunferência é maior que a soma das medidas dos raios
Na figura 2 a distancia iguala a
soma das medidas dos raios.
Na figura 3 a distancia é igual
a diferença das medidas dos raios. são tangentes internas
figura 4- C e C' são secantes
As circunferências C e C' têm dois pontos comuns ( A e B)
Neste caso , observe que a distancia entre os centros está compreendida entre as distancias das circunferências tangentes extremamente e tangente internamente
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figura 5- C e C' não tem pontos comuns , mas o circulo de maior raio
contem o circulo de menor raio.
d< ( r - r')
No caso em que O coincidir com O' temos d=O e as circumferencias são
concentricas.
Dado um ponto O no plano m , vamos marcar nesse plano os pontos que estão a uma mesma distancia r e O
A circunferência tem sua parte interna e naturalmente a sua parte externa.
Então todo ponto do plano cuja distância ao centro da circunferência é menor que o raio chama-se PONTO INTERNO à circunferência . A reunião de todos os pontos internos denomina-se região interior à circunferência.
Assim podemos definir : Ao conjunto de pontos obtido pela reunião da circunferência com a região interna a ela chamamos de circulo.
AB= corda
X e Y pontos internos à circunferência
CD diâmetro da circunferência
O ponto central
OE raio da circunferência
K Z corda e secante
M tangente
Circunferência determinada por três ponto não colineares
Considere a sentença:
* Toda circunferência pode ser construída a partir de três pontos não colineares.
Para provar essa afirmação , vamos examinar um teorema válido para qualquer circunferência :
EM TODA CIRCUNFERÊNCIA , UM DIÂMETRO PERPENDICULAR A UMA CORDA DESSA CIRCUNFERÊNCIA DIVIDE AO MEIO , E RECÍPROCAMENTE , SE UM DIÂMETRO DIVIDE UM CORDA AO MEIO , ELE É PERPENDICULAR A ESSA CORDA
AB é corda
CD diâmetro
CD perpendicular AB em M}
Tese { AM igual MB}
DEMONSTRAÇÃO:
O triangulo AOB é isósceles,
pois OA = OB ( raio da circunferência) OM é a altura do triangulo AOB , pois CD perpendicular a AB
Assim OM é também mediana do triangulo AOB. Portanto: AM = MB. (a q d.)
Método Prático para encontrar o centro de uma circunferência:Traçamos os segmentos AB e BC, que são cordas da circunferência . A seguir taçamos as mediatrizes de AB e BC. Como cada mediatriz contém o diâmetro dessa circunferência, então a intersecção das duas mediatrizes determina o centro O da circunferência , cujo raio será OA OB OC.
POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Considerando-se as circunferências C (O,r) e C' ( O',r'), podemos obter as posições relativas entre elas comparando as distâncias d entre os centros O e O' e a soma dos raios r e r'.
Na figura 1 a distancia das cir
cunferência é maior que a soma das medidas dos raios
Na figura 2 a distancia iguala a
soma das medidas dos raios.
Na figura 3 a distancia é igual
a diferença das medidas dos raios. são tangentes internas
figura 4- C e C' são secantes
As circunferências C e C' têm dois pontos comuns ( A e B)
Neste caso , observe que a distancia entre os centros está compreendida entre as distancias das circunferências tangentes extremamente e tangente internamente
figura 5- C e C' não tem pontos comuns , mas o circulo de maior raio
contem o circulo de menor raio.
d< ( r - r')
No caso em que O coincidir com O' temos d=O e as circumferencias são
concentricas.
