TRIANGULO DE PASCAL- BINÔMIO DE NEWTON

 deterinação dos numeros binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prático chamado  triangulo de Pascal, que é constituido com base na teoria e propriedade dos numeros binomiais ( numeros binomiais estão descritos junto a pestagem de Analise Combinatória ).

Verifique no Triangulo de Pascal as seguintes propriedades:

1ª  - Um cateto e uma hipotenusa do triangulo são formados  por  1
2ª - Em cada linha  os termos equidistantes  dos extremos são iguais.
3ª - A soma de dois elementos consecutivos de uma linha  é igual ao elemento da linha seguinte, imediatamente abaixo da segunda parcela da soma.

4ª- A soma dos elementos de cada linha do triangulo é uma potencia de dois, cujo expoente é o numero da linha.

Comentário - O triangulo de Pascal tem aplicação no desenvolvimento do binomio (x + a ) com o expoente n, que denominamos Binomio de Newton, com    a    pertencente a  R    e    n     pertencente ao grupo dos numeros  Naturais..

(  x+ a )²  = os coeficientes   1   2   1     com   n=2,  portanto, fica   1 x² + 2. ax + 1 a²
( x+ 2 )³      os coeficientes são  1 (1+2)= 3  2+1 = 3   e  1          1  3  3  1   portanto teremos
    1.  (x³) + 3(x².2²)+3(x.2) +1  . 2³
resposta=     x³+12 x² + 6 x +8

                      BINÔMIO DE NEWTON - TERMO GERAL DO BINÔMIO  e LEI DE FORMAÇÂO
                DE PRODUTO DE BINÔMIOS DISTINTOS

Resumo : B inômios distintos com 4 elementos ex:  (x+a) ( x+b)  ( x+c) (x+d )
 Neste caso o 1º termo  é   x a quarta potencia + (a+b+c+d) x³ + (ab +ac+ad+bc+bd)x²+(abc+abd+bcd+acd) x + O termo independente (abcd).

Binomio distinto cao 3 elementos ex ( x+a) (x+b)(x+c)
 O 1 º   termo é   x³+ ( a+b+c )x² + (ab+ac+bd)x + (abc)      que é o termo independente.

Observando esses produtos obtidos, podemos estabelecer a seguinte lei de formação dos seus termos :
1º ) O produto de dois ou mais  desses binômios é um polinômio ordenado e completo em relação a  x
com tantos termos quantos forem os binômios mais um.
2º ) O expoente de x  decresce sucessivamente  de uma unidade em cada termo, a partir do primeiro , que é igual ao numero de binômios , até o último, em que é nulo ( termo independente )
3º) O coeficiente do primeiro termo é a unidade ; o coeficiente do segundo termo é a soma dos segundos termos dos binomioas ; o coeficiente do terceiro termo é a soma das combinaçôes ternárias dos segundos termos dos binômios e assim sucessivamante até o penultimo termo ; o último termo é o produto dos segundos termos.        

Obs- Sempre a soma dos coeficientes do desenvolvimento é uma potencia de  dois .
ex  (x+a ) a 7ª potência = 128  isto é 2 a 7ª potência       (x+a)³ = 2³ = 8

 

 (000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

ANÁLISE COMBINATÓRIA - FATORIAL, ARRANJOS, PERMUTAÇÕES

 A Análise Combinatória - é a parte da Matemática que visa desenvolver métodos de raciocínio que nos permitam estabelecer formulas para calcular o número de determinados agrupamentos, formados com elementos de um dado conjunto.
 A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dadoas, jogos de carta etc...
 Atualmente usa-se em loteria esportiva, loto, loteria federal etc. além de aplicações mais específicas , como confecções de horários , de planos de produção, de número de placa de automóveis etc.

Fatorial - introduziremos inicialmente o conceito de fatorial, que será de grande utilidade nos exercícios de Análise Combinatória.

n! = n.(n-1) . (n-2) ...3 .2. 1 para n  Pertencente  \o conjunto dos números   N e n > 1

O simbolo n! lê -se fatorial de n  ou n fatorial.
exemplos:

   2! = 2.1 =2
   5! = 5.4.3.2.1 = 120
   0! = 1
   1! = 1
   n! = n. ( n-1 )      (n>1)

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO - ENUNCIADO ;

Se tivermos dois acontecimentos , A e B, sendo que a ocorrência de um deles independe da ocorrencia do outro,A acontecendo de m maneiras diferentes e B de n maneiras diferentes, o total de possibilidades da ocorrencia de A seguida da ocorrencia de B, será  m X n .
ex.      Quantos numeros de dois algarismos podemos formar no sistema de numeração decimal -

'   Solução : escolha de um algarismo para a casa da dezena 9 possibilidades ( 0 zero nâo pode para essa colocação)
                  escolha de um algarismo para a casa das unidades 10
                    9  X  10 = 90

OBS - Esse princípio pode ser generalizado para mais de dois eventos
ex. Quantos são os resultados possíveis para um teste da loteria esportiva com 16 jogos?
Para cada um dos 16 jogos teremos a possibilidade de tres resultados possíveis ( coluna 1, coluna do meio e coluna 2 )  Portanto sempre três possibilidades
Como são 16 jogos   teremos 3 elevado a 16 ( 3x3x3x3x3x3x3... ) = 43046721 resultados distintos

ARRANJOS SIMPLES
Nele não há repetição de elementos ; a ordem dos elementos é considerada.



   
  COMBINAÇÃO SIMPLES -

 Considerando o conjunto  A { a, a,, ,a,,, , a ...  } e uma combinação  de    p   elementos de A, podemops fazer as permutações desses elementos, e encontrar p! sequencias ou seja, os arranjos dos   n   elementos de A tomados p  a p.  Portanto temos o produto   P! Cnp  = Anp ou seja  Cnp = Anp /P!

Problemas envolvendo Arranjo e Combinações

Uma  Câmara Municipal é composta de vereadores de 3 partidos - A  B   C - assim distribuidos 3 partido A , 6 partido B , 9 do C

1- Qual é a menor comissão ( em nº de vereadores ) que se pode formar nessa Câmara , mantendo-se a mesma proporcionalidade partidária ?

2- Quantas comissões diferentes com essa caracteristica podem ser formadas ?

1- A menor distribuição que mantem a proporcionalidade partidária é - Part. A -1  :  Part.  B-2, Part. C -3

2- ( C 3,1) x ( C6, 2) x ( C9,3 ) = 3.  15.   84  = 3780 comissões.


PERMUTAÇÃO SIMPLES                     

Permutação simples de n elementos distintos é qualquer grupo ordenado dsesses n elementos.
Permutando os 3 elementos distintos de A =  (x, y, z) por exemplo, temos:

(x,y,z), (x, z, y), ( y, z, x ), ( y, x, z ), (z, x, y ), (z, y, x )
.
 Obtivemos o numero de permutação simples igual a 6
Note que para a primeira posição há três possibilidades ( qualquer das letras )
Para a segundas posição sobram duas letras  ( 2 possibilidades ) e para a terceira posição temos só uma letra ainda não usada .

Para  cálculo do numero de permutação simples, usamos

Pn = N! ou seja, Pn= n.( n-1). (n-2 ). (n-3)...-1

Portanto o número de permutações simples de  n   elementos distintos é igual a  n fatorial.

Exemplo - Vamos calcular o número de anagramas da palavra   LÁPIS, lembrando que um anagrama é uma palavra formada com as mesmas letras da palavra dada, podendo ter ou não sentido na linguagem oral.

Como a palavra LAPIS possui 5 letras, basyta calcular :
P5 = 5! = 5.4.3.2.1.= 120

Assim o número de anagramas da palavra  LAPIS  é  120.


Considerar  a palavra  DILEMA e determinar:
a) O numero total de anagramas
b) O numero de anagramas que começam com a letra  D
c) O numero de anagramas qaue começam com D  e treminam com A
d) O numero de anagramas que começam com vogal.

a) O númerototal de anagramas é
P6= 6! = 720

b) Para calcular o numero de anagramas que começam com a letra  D , fixamos a letra D e permutamos as demais
D I L E M A      D para todas e  as demais restantes são em numero de cinco portanto 5!= 120

c) Neste caso, vamos fixar as letras  D   e   A sobrando 4 letras para permutação portanto P3 = 3! = 3.2.1=6

d) No item b,vemos que para cada letra fixada na primeira posição há  120  anagramas . Como existem 3 vogais diferentes , o numero de anagramas que começam com vogal é 3.120 = 360.
                                                                                                                     

     

       



Funções: estudo das funções, a imagem de uma função, .etc ...

Vamos introduzir agora um dos conceitos mais importantes de toda a matemática : o conceito de relações entre dois conjuntos. A partir daí, contruiremos a definição de função de um conjunto em outro:  este último conceito é simplesmente a viga mestra de toda a chamada matemática moderna.

PARES ORDENADOS

Dados dois elementos  a   e  b  formamos um novo elemmento indicado  por (a : b) e denominado par ordenado , cujo primeiro elemento é a  e o segundo elemento é b. Impomos a seguinte condição de igualdade entre pares oredenados;

( a,b) = (c;d) sendo   a=c  e  b=d

Com a definição de igualdade acima , temos, por exemplo

(1;2)  diferente de   (2:1 );
( 2;3)  igual  (x;y)  onde x=2   e  y=3;
( x;1) igual (o;y) onde x=   e y = 1

Exemplo;
Determinar os valôres de a  e  b  de modo  que os pares ordenados ( 2x+1 ;3) e ( 4x - y; y ) sejam iguais

Solução
2x+1= 4x-y
      y= 3                              2x+ 1 = 4x -3
                                           2x -4x = -3-1            -2x= -4     x=2
portanto x=2  e y= 3

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

A representação gráfica de um par ordenado é um ponto pertencente a um plano ( chamado plano cartesiano )  ex;  ( 2;3 )    o 2 representa o x    o 3 representa o Y. isto é, o 1º elemento do par é sempre representado no eixo Ox     e o 2º, no eixo  Oy

Ox é o eixo das abscissas ,    Oy eixo das ordenadas

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Dados dois conjuntos  A  e   B   e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma aplicação ou  função de A em B, se e sòmente se, a todo elemento x de A está associado a um único elemento y de B tal que ( x ;y ) pertença  a  f.

Para que uma função   fique bem definida é necessário conhecermos os conjuntos A e B e uma lei de associação , que associe a todo elemento x de A  um único elemento y de B.

DOMINIO, IMAGEM , CONTRADOMINIO

A= { 0,1,2}   e B ={ 0,1,2,3,4,5}vamos considerar a função f: A em B definida por y= x+1   ou f(x)= x+1

lei nese caso é x+1 portanto          do conjunto A  0+1=1
                                                                            1+1=2
                                                                            2+ 1=3
                    do conjunto A temos {0,1,2} (dominio) ;  do    conjunto B temos 1,2,3 ( imagem) e ainda
no conjunto B temos o contradominio =  indicado por CD(f) = B

Obs - O dominio de uma função é também chamado CAMPO DE DEFINIÇÃO ou CAMPO DE EXISTÊNCIA.

Estudo do DOMINIO de uma função
Já ficou  esclarecido que para caracterizar uma função, é necessário conhecermos dois conjuntos A e B e uma lei que associe a todo elemento de A um único elemento de B.
Entretanto, é bastante comum definirmos uma função f apenas por uma lei de associação
 sem especificarmos os conjuntos A e B ; nesse caso , vamos admitir que A é um subconjunto de R  e B = R
(esse R  seria o conjunto dos nº racionais)

Surge daí uma pergunta:

Qual será então o domínio da função f ?
Vamos , então, convencionar que o domínio de f será o subconjunto de números reais formado por todos os números reais para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em   R .

EXEMPLOS -
1º - Dar o domínio da função   f(x) = 1/x         neste caso só será possivel se x for diferente de zero
Então  D (f) = R - { 0 } = R*

2º - Dar o domínio da função  f(x) = x/x+3 , neste exemplo ,  no   denominador  ( x+3)
  somente se o x for diferente de -3
Então D(f) = R - {-3}

3º - Dar o domínio da função  f(x) raiz quadrada de x-2
raiz quadrada de x-2 só é possível se  x-2 for maior que zero pois sabemos que em R não podemos extrair raiz quadrada de número negativo

4º - Dar o domínio da função F(x) = 1/ x²-9 + 1/raiz quadrada de x-1

(x²-9)= neste caso  x não pode ser nem 3 nem -3.
  Como,  -3²  ou +3² são iguais a 9 ,  a subtração seria zero.
Como em R não podemos ter fração com denominador zero ,   x deverá ser maior que 3
e na  segunda( x-1),   x deverá ser diferente de 1 e maior que 1

GRAFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO

1º Exemplo
Dados A =  { 0,1,2} e B= { 0,1,2,3,4,5} construir o gráfico da função  f: A em B, no plano cartesiano

x        x+2          ( x,y)
0         2             (0,2)
1         3             (1,3)
2         4             (2,4) 


2º problema

Construir, no plano cartesiano , o gráfico da função f(x) = x²/2;

Obs- como não foi dado o domínio da função , f, vamos considerar como domínio o conjunto de todos os números reais para os quais x²/2  pertençam em R ; logo D(f)=  R

o domínio está sempre no eixo de x
                                                                                        a imagem está sempre no eixo de y
FUNÇÃO SOBREJETORA,INJETORA e BIJETORA

Sobrejetora - é quando todos os elementos de A , dão uma flexada   em todos os elementos de B
A= -2               B= 0                         A ---- B   definida por   y=x²
      -1                     1                       ( -2² =4)
       0                     4                       (-1² = 1)
       1                                              ( 1² =1 )
                                                        (0² =0)
 Injetora neste caso não existe elemento de B que seja imagem de mais de um elemento de A, isto é, em cada elemento de B que é imagem de um elemento de A chega apenas uma  flecha.

Bijetora  é quando ao mesmo tempo que é sobrejetora também é injetora

FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO IMPAR

Qualquer que seja x pertencente D(f) ocorre f(x) = f(-x)
esta é a função par

Para todo x que pertence D(f) ocorre que
                                         f(x) = -f(-x)      esta é impar

Os números x   e  -x  tem imagens opostas
O gráfico é simetrico em relação à origem do sistema cartesiano.


OBS IMPORTANTE- Uma  função cujo gráfico não satisfaz nenhuma das condições acima , não é nem função par nem função impar.

Exemplo de função par -    f: R   em que R definida por y= x²  -4
                    função impar - f: : R definida por f(x) = x/2
                  nem uma nem a outra - f(x) = x²+2x  +1

Quando uma função é crescente - quando o a é positivo   ex.  2x+44
Quando uma função é decrescente   - quando o a é negativo    ex    -4x+4.

FUNÇÃO COMPOSTA                               

observamos que
               * a cada x pertencente a A associa-se um único y pertencente a B tal que y = 2x
               * a cada y associa-se com um único z pertencente a C tal que z = y²
               * a cada x pertencente a A associa-se um único z pertencente C tal que z = y² = (2x)² = 4x²
Então podemos afirmar que vai existir uma função  h de A em C definida por h(x) = 4x² que indicamos por g . f ou g(f(x) ( LÊ-SE G COMPOSTA EM F)

logo :    h(x) = g . f = g(f(x) = (0,0), (1,4). (2,16) ou  h(x)= 4x²

1} exemplo Sendo dados f(x) = x²+2 e  g(x) = 3x calcular  g(f(x).

g((x) = g (x²+2 = 3 ( x²+2)= 3x²+6

2}exemplo : Sendo dados f(x) = x²+2  e g(x) = 5x , calcular  f(g(x).

f(g(x) = f (5x)²+ 2 = 25x² + 2

3} exemplo : Sendo dados f(x) = x² + 2 e g(x) = 5x, calcular f(f(x) e g(g(x)
                                                
f(fx) = f(x²+2)= x² + 2)² + 2 = x a quarta potência + 4x²+4+2 = x a 4ª + 4x² + 6
g(g(x) = g(5x) = 5(5x) = 25x

4} exemplo Determinar a função composta  por f(x)= I x I e g(x) = x - 2

Neste caso, vamos determinar f(g(x) e  g(f(x), então

f(g(x) = f(x- 2= Ix-2I
g(f(x) = g( IxI ) =  Ix I - 2


FUNÇÃO INVERSA  ;  Dada uma função bigetora f: A-----B chama-se função inversa de f a função f elevada a -1 :B----A tal que ( a,b) corresponde também a f: ( b,a) pertencente  a f elevado a -1, essa correspondencia é univoca ,isto é x corresponderá a um unico y

Nem todas as funções tem essa possibilidade , mas as que tem são chamadas funções inversíveis.

PROCESSO  ALGÉBRICO PARA O CÀLCULO DA FUNÇÂO INVERSA

Problema - achar a expressão  que representa a inversa da função   y= x+2

Resolução y= x+2
trocando x por y temos
                x= y+2
            x-2 =y
               y= x-2
y  = x-2 é a expressão que representa a inversa da função y=x+2


CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÂO INVERSA DE UMA FUNÇÃO

Consideremos a função  f(x) = x+2   e sua inversa  f (x) = x-2

Função Constante
Dado um  numero  Real K, chama-se função constante  toda função definida por f(x) = K ou y=k

FUNÇÃO IDENTIDADE

Chama-se função identidade toda  função definida por f(x) =x  ou  y=x para todo  x  real

FUNÇÃO AFIM

A função afim é tambem chamada de função linear.
Os coeficientes da função afim     y= ax+b
*- o número real  a é chamado coeficiente angular ou declive da retas representada no plano cartesiano
*- o numero realo  b é chamado  coeficiente linear da função

assim : na função    y= 2x + 1       o coeficiente angular  é 2    e o coeficiente linear  é 1


FUNÇÂO  CRESCENTE  e  FUNÇÃO DECRESCENTE

- no exemplo acima 2x é o a da função e  como ele é positivo a função é crescente
-3x + 2    neste caso o a   é negativo  então a função é decrescente.

Em outras palavras uma função y = ax+b é crescente , se e somente se , o coeficiente angular for (  a> 0 )
Uma função y= ax+b é decrescente , se e somente se , o coeficiente angular for   negativo ( a<0)

RESOLUÇÃO GRÁFICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Seja resolver o sistema de equações     

      y= x+2
      y=3x - 4
Resolvendo algebricamente o sistema temos   x+2 = 3x - 4
                                                                         x = 3
                                                   y = x+2          y = 5

                                                        S= { 3,5 }     Observe no gráfico que (3,5) é o ponto de encontro
                                                                                                das duas retas.
Para construir o gráfico temos y = x+2       e        y + 3x-4

(  x,y )  =  (  0,2 )                                      ( x,y) = ( 1,-1)                                                                

                ( -1,1)                                                   ( 2,2 )

UM POUCO DE GEOMETRIA ANALÍTICA;  

EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR DOIS PONTOS

Seja a equação da reta que passa pelos pontos ( 1,2) e (-1,3)

Resolução
Como a reta é o gráfico da função do 1º grau, então y= ax+b é a equação procurada; o problema fica resolvido quando determinamos os valores de a  e  b. Para isso devemos;
* fazer x = 1 e y = 2  em y= ax +b e teremos 2= a(1) +b  ou a+b=2
*fazer x= -1 e y=  3  em ty= ax+b e teremos  3= a(-1) +b ou -a+b=3
Resolvendo o sistema temos  a = -1/2       e   b= 5/2


Assim a equação procurada  é     y= - 1/2 x + 5/2

 APLICAÇÃO NA FÍSICA

Em mecanica quando estudamos movimentos retilíneos, a posição de um móvel que se desloca é determinada pela abscissa  s  do ponto em que o móvel se encontra em cada inbstante   t, então,   s  é uma função de  t   ou  s = f(t)

Quando o movimento retilineo é uniforme ,  s  é uma função do 1º grau em t , expressa por

s= s(o)   + vt   com s(o) e   v constantes (  v diferente de zero )

Problema ;
Um móvel se desloca com movimento uniforme descrito pela equação   s= 2t - 3.
Esboce num sistema cartesiano , o gráfico da posição do móvel em função de   t.

ZEROS  DA FUNÇÃO   AFIM

O valor  de x para o qual a função  y= ax+b  se anula { isto é, f(x) =0} chama-se zero da função afim.
Para achar o zero da função  afim, basta resolver a equaçãso do 1º grau ax+b =0
Exemplo     Achar o zero da função  f(x) = 3x-1
                                                                 3x  = 1
                                                                   x = 1/3 então o zero desta função = 1/3 naturalmente voce pode concluir que a função afim  tem um único zero que é o numero real -b/a

Concluindo em estudo dos sinais        Se x = 1/3    a função é = zero
                                                         Se x é maior que 1/3 a função é posituiva      x> 1/3      y> 1/3
                                                         Se  x é menor que 1/3 a função é negativa     x< 1/3      y < 1/3

Esta conclusão é para esse exemplo porque se  o A da equação for negativo a resposta seria outra

Exemplo               -2x-4=0         x= -2

x<-2      y>0                  x> -2     y< -2     No caso -2     é o zero  da função .

Esquema:

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU -   Chama-se de inequação do 1ºgrau a toda  sentença matemática aberta que exprime uma desigualdade e que pode ser colocada das sequintes formas:
ax+b< 0           ax+b >0        ax+b > ou= 0              ax+b <= 0    onde   a,b,pertence  a  R  e  a   é  diferente de zero

Exemplos -

x-1 < 0               2. ( x+1 ) > 0       2x/3  -  1/2 <=0               2. (  x+ 1/3 ) > 0

OBSERVAÇÕES :

* Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto solução ou conjunto verdade .
* Quando o conjunto universo não for mencionado, significará que  a inequação deverá ser resolvida no conjunto dos numeros reais.

Propriedades -
* Adicionando ou  subtraindo os dois membros de uma inequação por um mesmo numero obteremos uma nova inequação, conservando o sentido da primeira.
Ex.  Sendo U =R
x+1<2                x < 2 - 1       x < 1

* Adicionando 2 a  ambos os membros da desigualdade
x+1+2 < 2+2               x+3<4            x<1

*Multiplicando ou dividindo  ambos os membros  de uma desigualdade por um número negativo, essa desigualdade muda  de sentido para continuar verdadeira
x+1 <2 . (-2)
-2x-2>-4
-2 x > -4+2
-2x> -2    (-1)
   x<1

Se dividirmos por -2  o  x continuará < 1

Resolver a inequação : 5x - 1 > 3x +5
                                   5x - 3x > 5 +1
                                           2x > 6
                                             x > 6/2     x>3          
                                                                                               
                Neste exemplo se x = 3          fica   5. 3 -1 > 3.3.+ 5  (  falso)
                                            x< 3           fica    5.2 - 1 > 3.2 +5   ( falso)
                                            x >3           fica    5.4 -1  > 3.4 +5    (verdadeiro  )

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO

Qualquer que seja o sinal de a  temos em relação ao zero da função o seguinte resultado:

         contrario ao sinal de a  para valores menores que o zero da função
         mesmo sinal de a  para valores maiores  que o zero da função
                                                 

exemplo: ---c/a----Zero-----m/a-------


Resolver :       -2x +4 =0             a<0                      -----c/a-----2-----m/a-----
                                                            x=2         y=0
                                                            x=1         y>0
                                                            x=3         y<0

                                I ) x>3 { 4,5,6,7,8,.....}

                              II ) x > -2 {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}
                                             I interseccionada com a  II temos { 4,5,6,7,8,...}

            Inequação- quociente

           Considerando f(x)   e g(x) funções de variável x chamamos de inequação - quociente  uma  desi
           gualdade do tipo {f(x)  : g(x)} > 0 , > ou igual a zero, <0, menor ou igual a zero .  .
          Na resolução de uma inequação quociente o denominado0r deve ser diferente de zero e a regra de   
          sinais é a mesma tanto para produto como para divisão no conjunto dos nº reais

Funções Polinomial do 2º gráu

Função  Quadrática - Chama-se função quadrática  a função f.R - R que associa , a cada número real x, o número real ax² + bx +c, com a,b,c, reais e diferentes de zero
Exemplos : f(x)= 2x² +5x+6 onde a=2  b=5  c=6  

Gráfico da função quadrática

Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva , à qual damos o nome de parábola.
Vamos esboçar o gráfico da seguinte f unção quadrática:
y= x² - 2x - 3

Atribuímos valores para x e obteremos valôres para y , organizando-os com o auxílio de uma tabela
Para  X = 1,2,0,-1 substituindo o x da equação pelos referidos valores temos (x,y)  = (1,-4), (2,-3)
(0, -3), (-1,0) .  O a dessa equação é positivo . A Parábola deve ser U    com valor mínimo.
O vértice  é  Para X = -b/2a =1      Y= -(b²-4ac=16)  -16/4a = -4                V =    ( X,Y ) = (1,-4).        

Temos equações completas e equações incompletas
Ex.  ax²=bx+c =0 (completa)        ax²+bx=0   e   ax²+c =0 são incompletas
A parábola poderá  apresentar seu vertice virado para cima ou para baixo, dependendo do valor de a(ax²)
ou seja a> 0  ( U ) vertice assume valor minimo(cavidade para baixo) y= - delta/4a
            a<0    vertice assume valor máximo ( cavidade para cima) y= - delta/ 4a            (delta= b²-4ac
X = -b/2a       Y= -delta / 4a com essa fórmulas descobriremos o (X,Y) do vértice.

Estudo dos sinais da função quadrática
 Resumo - equação ax²+bx+c= 0
1º caso - A>0   e   delta > 0     Sendo o delta > 0  as raizes x' e x" são reais e diferentes
                                              Y<x' positivo ( m/a) .
                                               quando Y>x' e Y <x" negativo  ( c/a )
                                               quando Y >  x"  Positivo (m/a)
ex-a)     Y= x²-5x +6 =0
         delta =1     x' = 3     e x"=2              ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2     Ynegativo          3¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
                                                                   Y positivo                                    Y positivo
ex-b)     Y = x²  - 6x +9 = 0
         delta =0      x' = x" = 3                      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨3 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
                                                                             Y positivo       Y=0        Y positivo
ex-c)   Y=x² -x+10
        delta = -39   a equação não possui raizes reais
                                                           O gráfico fica em forma de U mas não toca na abscissa x portanto
                                                             todos os valores dados a Y este sempre será positivo igual o sinal de a, isto é, positivo.  Em todos estes três exemplos o gráfico tem a forma de uma parábolo virada para cima( U ) e o vertice terá valor mínimo.

2º caso é quando o a<0 todos os sinais da comparação serão negativos onde os anteriores eram positivo  e positivos onde os anteriores eram negativos  e a parabola sérá voltada para baixo .Aqui o vertice terá valor máximo .           






















































































































































                

problemas de vestibulares

Faça um comentário comunique-se, obrigada ...

Produtos Notáveis e fatoração

Quadrado da soma -
 ( a+b )² = quadrado do 1° mais duas vezes o 1º vezes o segundo mais o quadrado do segundo

O quadrado da diferença
 ( a-b )² = quadrado do 1º mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo.

O produto da soma pela diferença
( a+b) ( a-b) = quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

Diferença  e soma de cubos
a³ + b³ = ( a+b) ( a²- ab + b²)

a³ - b³ = ( a-b) ( a²+ ab+ b² )

FATORAÇÃO -
Fator comum
Quando uma expressão algebrica é formada de parcelas , sendo que um mesmo fator aparece em todas elas, colocamos esse fator em evidenciaex: 12 x² +8x + 4
                                                               4( 3x²+ 2x+ 1)
Agrupamento
Este caso sempre tem quatro elemento, porem nem sempre um polinomio de quatro elementos pode ser fatorado pelo agrupamento
Nós não temos termo comum em todos os elemento , só se agruparmos de dois em dois teremos o termo comum , Exemplo am + bn+an+bm

agrupamos (  am+ bm)  ( an+ bn)
                    m( a+b) n(a+b)
                       ( a+b) (m+n)

Diferença de dois quadrados
(a²-b²)   = (a+b)(a-b)

Diferença e soma de cubos ( resposta nos produtos notáveis)

Trinomio quadrado  perfeito
Aplica-se as identidades
a² + 2ab+ b² = (a+b)²
a² - 2ab +b² = ( a-b)²

Expressões algébricas
Minimo multiplo comum

Dados duas ou mais expressões algébricas , seu  mínimo  multiplo comum é a expressão alogébrrica de menor grau que é divisível simultaneamente por todas as expressões dadas.

Obtem-se o mmc.:
Fatorando cada expressão dada;
Formando o produtos dos fatores comuns e não comuns a todas  as expressões tomados  com seus maiores expoentes.

Frações algébricas
Chamam-se frações algébricas aquelas onde o numerador e o denominador são expressões algébricas.

Simplificação - Fatoram-se o numerador e o denominador e cancela-se os fatores comuns.

Faça um comentário ou mande-me um e mail, comunique-se ... se gostou, indique aos seus colegas  |OBRIGADA

PotenciaA10 deção e Radiciação,tudo sobre raiz quadrada, cubica radicais...

Geometria plana : origem e aplicação . Sólidos Geométricos- prisma piramides cone cilindro esfera

         Sabe-se que os babilonios, povo que habitava a Mesopotamia, desenvolveram um considerável conhecimento geometrico desde 2000 a.C
         Também no Egito aproximadamente 1300 anos a.C. a Geometria era desenvolvida: agrimensores usavam-na para medir terrenos, construtores recorriam a ela para suas
 edificações, tanto que as grandes pirâmides próximas ao rio Nilo demonstraram que os egípcios conheciam e sabiam usar muito bem a Geometria.
       Por volta de 600 a.C. filósofos e matemáticos gregos entre os quais podemos incluir  Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época. É voz corrente que a  Geometria, antes dos gregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquer cuidado com os princípios matemáticos que regiam os conhecimentos geométricos. Foram então os gregos os primeiros a introduzir O RACIOCÍNIO DEDUTIVO.
      Porém foi com o matemático grego Euclides que a Geometria realmente se desenvolveu, fazendo da cidade egípcia de Alexandria, onde vivia Euclides, o centro mundial da Geometria por volta de 300 anos a. C.
     Sistematizando os conhecimentos que outros povos antigos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo, Euclides deu ordem lógica a esses conhecimentos, estudando a fundo as propriedades das figuras geométricas,as áreas e  os volumes.
     Para Euclides a  Geometria era uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: OS AXIOMAS ou POSTULADOS. O grande trabalho de Euclides foi reunir 13 volumes, sob o título " ELEMENTOS , " tudo o que se sabia sobre a Geometria em seu tempo. "Elementos " tornou-se um clássico logo após sua publicação .

Tales de Mileto: Demonstrou entre outros trabalhos Semelhança ; Feixe de paralelas e uma transversal

Teorema de Tales:
Um feixe de paralelas determina em duas transversais, quaisquer, seguimentos proporcionais
Teorema da bissetriz interna de um triangulo
Triangulos semelhantes e suas três propriedades

a - Se dois triangulos são semelhantes, então, os lados de um são proporcionais aos lados homólogos do outro.
b- (teorema fundamental de semelhança) Todas as retas paralelas a um lado de um triangulo, e que encontra os outros dois lados em pontos, distintos, determina com esses lados um triangulo semelhante ao primeiro
c- As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.

Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras aplica-se a triângulo retângulo e é utilizado nas relações métricas de um triângulo retângulo
Num triângulo retângulo em A, temos AB cateto (c):   AC cateto (b):   BC  hipotenusa (a), AH altura  relativa a hipotenusa (h)    HC projeção de  b,  HC projeção de c

Para triângulos retângulos são válidadas as relações

c² = a.n   ( n= projeção Bh)
b²= am    ( m= projeção  Hc)
b,c=a.h
h² =m.n
a² = b²+c²

Exemplo - Num triangulo  retângulo seus cstetos medem respectivamente 3 e 4 centímetros. Calcule sua hipotenusa
a² = b²+ c²  portanto         a²= 3² + 4²
                                         a²= 9 + 16
                                         a² = 25
                                         a = 5 cm.

Aplicações importantes do teorema de Pitágoras

Cálculo da diagonal de um quadrado ,  Cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero.

Estas duas citações não é tudo em geometria plana, pois nela podemos estudar as áreas , os perimetros da figuras geometricas planas e ainda dos solidos geométricos .

Figuras geométricas planas:   Área
triângulo qualquer   =  sua área é  base X altura dividido por 2.
triângulo equilátero =  sua área   L² vezes raiz de 3 dividido por 4.
quadrado =  L X L
retângulo = bXa
trapézio  (Base maior  +base menor ) : 2  X altura
losango=( diagonal maior   X  diagonal  menor) : 2
Circulo = r² x 3,14 ( pi )

Obs- A área é sempre indicada com medida ao quadrado  ex 5 m²

Perímetro - é sempre a soma dos lados . e indicado  com metro linear, isto é,  m, ou dm, ou cm, etc
A circunferência tem fórmula especial    - Raio X 2  X 3,14 (pi).= comprimento da circunferência

  1 -   SÓLIDOS  GEOMÉTRICOS
 - Denomina-se sólidos geometricos as figuras geometricas do espaço.
Entre os sólidos geométricos, destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos.
São objetos que lembram poliedros :
tijolo, caixa de fósforo,  dado,  lápis sextavado, piramides do Egito,  um cano, o corpo de um funil, uma bola.
 2 = POLIEDROS
- Poliedro é um sólido geométrico limitado por regiões poligonais.
- Os elementos de um poliedro são: faces, arestas, e vértices
- Tipos de poliedros - convexos em relação a qualquer de suas faces, ele está todo situado num mesmo semi-espaço determinado por essa face.
- Quanto ao número de faces temos os seguintes poliedros:
de 4 faces - tetraedro
de 5 faces - pentaedro
de 6 faces - hexaedro
de 8 faces - octaedro
de 20 faces- icosaedro.
- Os poliedros podem se classificar ainda em : regulares e não regulares
Um poliedro diz-se regular quando todas as suas faces são polígonos regulares iguais, e cujos ângulos sólidos são iguais entre sí.
Dentre os polígonos não regulares citaremos o prisma, pirâmide , troncos de prisma e de pírâmides .

 LEMA
-Em toda superfície poliédrica convexa aberta, o número de arestas aumentado de um é igual ao número de faces mais o número dos vertices. Isto é :    A+1= F+V
A igualdade ( 1) é evidentemente satisfeita para uma superfície poliédrica de uma face, pois, nesse caso, temos um polígono plano.
Então FR=1      e  A=V portanto F+V= A+1  ou F+V-A=1

TEOREMA de EULER
- Em todo poliédro convexo , o número de arestas mais dois é igual ao número de faces mais o número de vértices.

Quanto a superfície : As superfícies são classificadas de acôrdo com o seu modo de geração, a qual depende da natureza da geratriz, das suas condições de movimento e do número e da forma da diretriz ou diretrizes em que se apoia  a geratriz.
Dentro dessas idéias  o matemático francês Monge classificou as superfícies em famílias ao conjunto de superfícies, que possuem a mesma geratriz e a mesma lei de geração, diferindo apenas pela diretriz.

Categoria de família de superfície : 1 - Superfície  retilíneas
                                                     2 - Superfície curvilineas

Superfícies   1-retilínea - Desenvolvíveis  que são as cilindricas e as cônicas
                                   - Reversas = Hiperbolóide uma folha, Cone reverso , Cilindróides

                   2 - Curvilíneas - Circulares, parabólica etc
                                             Superfície de revolução = Cilindricas, cônicas, esféricas, tora, elipsóide, hiperbolóide de uma folha, parabolóide de revolução.
Superfície prismática -

PRISMAS
Prisma é um poliedro convexo em que duas faces são polígonos quaisquer iguais e paralelos chamados bases, e todas as outras faces são paralelogramos, chamados faces laterais.

A soma dessas faces laterais, chama-se superfície lateral do prisma e a soma desta com as duas faces chama-se superfície total do prisma.

CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS
:
Um prisma diz-se reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares as bases.
Em todo prisma reto as bases são secções retas, as faces laterais são retangulos ou quadrados e as arestas laterais são iguais a altura.
Dois prismas retos dizem-se iguais quando possuem as bases e as alturas iguais.
Todo prisma reto cujas bases sejam polígonos regulares chama-se prisma regular.

Um prisma regular não é necessariamente um poliedro regular. Em particular , o cubo é o único prisma regular que é também poliedro regular.

Um prisma denomina-se triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal etc. , conforme suas bases sejam triangulo, quadrado etc.
           
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
- Superfície lateral : é formada pelas faces laterais
- ÁREA LATERAL -é a Área da superfície lateral ( Sl)
-Superfície total, é formada pelas bases e pelas faces laterais
- AREA TOTAL - é a área da superfície total   ( St )

Exemplo - Cálculo da AREA DA BASE  (  Sb)
Suponhamos que se trata de um prisma hexagonal
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triangulos equiláteros, de lado igual ao raio da circunferencia

S( triangulo ) = a² raiz de 3 dividido por 4 = 6.raiz de 3 m²

Cálculo da área lateral
Num prisma regular  , sabemos que as faces laterais são retangulos.
Como temos 6 retangulos  são 6X a área do retangulo  ( base 2cm e altura raiz de 3 cm)

Cálculo da área total  = área lateral + 2 vezes a área da base

Se o prisma tinha 2 cm de raio sua área total será  40,8 cm²

VOLUME DO PRISMA = área da base X altura


PARALELEPÍPEDOS

Chama-se paralelepípedo, a todo prisma cujas bases são paralelogramo.
Um paralelepípedo é reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares as bases.

CUBO
Cubo é um poliedro regular de seis faces quadrangulares

Propriedades dos paralelogramos:

1- As faces opostas de um paralelepípedo são iguais e paralelas.
2-   Um paralelepípedo pode ser considerado como um prisma de 3 modos diferentes, tomando por bases duas faces opostas quaisquer.
3- Dois paralelepípedos retangulos de mesmas dimensões são  iguais.
4- Toda secção plana que encontra quatro arestas de um paralelepípedo é um paralelogramo.
5- Um paralelepípedo possui 4 diagonais que se cortam ao meio em um mesmo ponto chamado CENTRO DO PARALELEPÌPEDO.
6- Em um paralelepípedo retangulo as diagonais são  iguais.
7-O quadrado da diagonal de um paralelepípedo retangulo é a soma dos quadrados de suas três dimensões.
8- A diagonal do cubo é igual ao produto da aresta pela raíz de 3, .isto é,
D = aX raiz de 3
9- Dois paralelepípedos de mesmas bases e mesma altura são equivalentes.
10- àrea total de um paralelepípedo = 2 ( ab+ ac+bc )( cujas dimensões são comp.a, largura b , altura c )
11- Volume  = a.b.c
12-No cubo área total = 6a²
13- volume = a³

PIRÂMIDE
- Chamam-se arestas laterais da piramide as arestas que concorrem ao seu vertice. As outras aresta são as arestas da base.
A Soma de todas as faces da pirâmide chama-se superfície lateral da pirâmide.
Chama-se altura de uma piramide a distância do seu vertice ao plano de sua base.
Uma pirâmide diz-se regular quando sua base é um polígono regular e sua altura tem para extremos o vertice da pirâmide e o centro da base.
As faces laterais de uma piramide regular são triângulos isósceles e a altura desses triangulos isósceles é também o apótema da pirâmide.

Área lateral da piramide é a soma das  n  áreas dos triângulos laterais  da pirâmide

àrea total = Área lateral + área da base.

VOLUME da Pirâmide

àrea da base X altura dividido por 3

VOLUME DO TRONCO de uma pirâmide = V = K/3 [ B + ( Raiz quadrada B.b ) +b ]

# B = área da base maior
# b = área da base menor
# K= altura do tronco.

ESTUDO DO CILINDRO

Denomina-se cilindro reto ou de revolução  o solido obtido quando giramos
em torno de uma reta , uma região retangular,
exemplo 0 reco-reco.
Notamos que as bases de um cilindro são regiões circulares congruentes de raio r, o segmento de reta que une os centros das bases chama-se eixo.
A distancia entre as bases chama-se altura do cilindro
Todo segmento paralelo ao eixo que tem suas extremidades nas circunferencias das bases chama-se  GERATRIZ do cilindro.;
OBS- quando o eixo é obliquo à\s bases , o cilindro se diz obliquo

ÁREAS E VOLUME DO CILINDRO

recordemos da geometria plana -
Comprimento de circunferencia- 2.R.(pi)
Área da circunferencia - R² . (pi)


ÁREA LATERAL -(Sl)
A lateral do cilindro é um retangulo ou um quadrado depende da altura. largura = h    comprimento = 2(pi)r
 base . altura = 2(pi)rh.

Área total ( St)
área da base .2 + Sl                 St = 2(pi)rh + 2(pi)r²   ou  St= 2(pi)r {h+r}

VOLUME - = Sb . h       - V= (pi)r².h

 ESTUDO DO CONE-
Definição - denomina-se cone de revolução ou cone reto o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região triangular cujo contorno é um triangulo retangulo.
Descrevendo um cone - tem a forma de uma " piramide" de base redonda
O circulo é a base do cone - o seu raio é chamado raio do cone
A distancia entre o vertice V e o plano é a altura do cone e a sua medida é expressa por   h.
Se o cone é reto essa altura é perpendicular do ponto V ao centro do circulo da base, mas se ele for obliquo a altura é a perpendicular que sai do V a um ponto periférico ao  circulo  e seu eixo tambem é obliquo a base
No cone reto, alem de ser a altura h também é o eixo do cone.
As laterais do cone, isto é, o segmento que vai do ponto V ao ponto P que pertence ao circulo é chamado de geratriz do cone.

g²= h² + r²

ÀREAS   E VOLUME DO CONE CIRCULAR RETO

Área da base - (Sb)- Como a base é um círculo temos : r² . (pi)

Área lateral -( Sl ) - Aberto o cone ele representa g como sendo o raio e o comprimento é o comprimento da circunferencia  pois forma um arco daí termos
Sl = (comprimento X raio) : 2    ou  {2 (pi) rX g} : 2

Área total -
St = Sl + Sb

VOLUME - O volume de um cone circular reto é dado por:
1/3 ( área da base) . ( medida da altura )

1º -Exemplo:
Seja um cone circular reto de raio 8 cm e altura 6cm . Calcular a área lateral , a área total  do cone

Resolução :
dados - h= 6cm
             r= 8cm
Calculo da geratriz (g)
g²=  h²+r²          g²= 6²+8² = 100     g=10

Calculo da área lateral 
Sl=  (pi).r.g        Sl=(pi) .8.10     Sl =151,20 cm²

Cálculo da área da base
Sb= (pi)r²  = 3,14 X 64      200,96 cm²

Cálculo da área total ( St)
St = Sl + Sb            151,20 + 200,96  = 352,16 cm²


2º - Exemplo:
Cáculo do volume

Um cone circular reto cuja geratriz mede 10 cm, e sua altura é igual ao triplo da base. Qual é seu volume.

Dados : g=10 cm
             h= 3r

Cálculo do raio da base e da altura h
g² = h²+r²  10² = (3r)² + r² =100   =9r²+r²  =10r² = 100  
                                                                        r² = 100: 10
                                                                        r²=  10
                                                                        r = 3,16 cm
Como h é 3r temos     h= 9,48

Cálculo do volume
(Área da base  X h ) : 3 = (r² X 3.14 X h) : 3
                                        (10X3.14X9,48) : 3 =99,224

TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO DE BASES PARALELAS

Consideremos um cone circular reto de vertice V e altura h; a uma distância  d  do vertice , traçando um plano paralelo às bases, obtendo uma secção transversal do cone.

Consideremos , agora, o solido constituido pela reunião dos seguintes conjuntos:
a) base do cone
b) secção transversal
c) pontos do cone compreendidos entre a base e a secção transversal.

Esse sólido é denominado  TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS, onde destacamos:
- as bases do tronco são a base do cone e a secção ;
- a distância entre as bases do cone chama-se altura do tronco e sua medida é expressa por  k. e a lateral g ( geratriz do tronco)

ÁREA LATERAL  (Sl) = 3,14 XgX( r + R )

VOLUME  = 3,14.k/3[ r² + r.R+R²]

onde r= medida do raio da base
        R=medida do raio da secção
        k=medida da altura do tronco.

ÁREA total do tronco  do cone é dada por
St=Sl+Sb=SB

ESTUDO DA ESFERA

Superfície esférica e esfera. São dados um ponto O e um nº real r positivo
O conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distancias ao ponto O são iguais a r é denominado superfície esférica de centro O e raio  r.
O sólido limitado por uma superfície esférica chama-se esfera. Desse modo, a esfera de centro O e raio  r, é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a  r

De uma forma bastante simples , podemos dizer que a superfície esférica é " a casca " enquanto a es
fera  é o" miolo".

ÁREA de uma superfície esférica - S = 4 r² X 3,14                                            (3,14=pi)

VOLUME da Esfera - 4/3 r³ X 3,14

POSIÇÔES RELATIVAS DE UMA ESFERA E UM PLANO-
Consideremos uma esfera de centro O e raio   R e seja   d  a distancia do centro O a um plano alfa
Esse plano diz-se exterior, tangente ou secante à esfera de centro  O, conforme se tenha, respectivamente
d>R , d=R ou d<R.
Se o plano é exterior à esfera O d>R,  todos os pontos do plano são exteriores à esfera
Se o plano é tangente à esfera O (d=R), tem um único ponto P chamado de ponto de tangência em comum com a esfera.. Esse ponto pertence ao contorno da esfera e é fácil concluir que o plano tangente a uma esfera é perpendicular  que ao raio une o centro O ao ponto de tangência  P
Se o plano é secante a esfera ele irá cortar a esfera em dois pontos formando um circulo .Se o plano secante tem d=O o plano alfa diz-se  plano diametral.
Se o plano é diametral seu circulo é menor que a esfera e tem o seu raio menor que o raio de esfera.

Faça um comentário, ou mande um EMAIL, comunique-se .se gostou , indique aos seus amigos.
Obrigada...