Introdução a Álgebra monômios , polinômios ...

§1- EXPRESSÃO ALGÉBRICA.  MONÔMIO E  POLINÔMIO
     1- Álgebra. A essência da Álgebra é estudar as operações independentemente dos números sobre os quais se efetuam. Não se pode precisar uma linha divisória entre a aritmética e a álgebra
pois os resultados particulares que se obtêm pela primeira não se podem separar das teorias gerais que se estudam pela segunda.
Os números com os quais se raciocina em Álgebra são representados por letras com o fim de generalizar os problemas . Deste modo,  torna-se impossível o cálculo das operações contentado-nos , tão somente , em indicá-las.
\O cálculo sobre letras , cujos valores não estão ainda estabelecidos é denominado CÁLCULO LITERAL.
   2- Representação algébrica.- Os sinais abreviados que se usam em Álgebra são os mesmos que se empregam em Aritmética. Assim , a indicação da soma de dois números quaisquer é feita por a + b
Os sinais +  e  - são empregados em Álgebra, geralmente , sob o nome de soma algébrica.
O produto de dois números quaisquer é indicado : a X b : a . b \; ou ab.No caso de um dos fatores ser numérico como por ex. , no produto 2 X a    escreve-se também 2a. Na divisão  a:b ou a/b
Para indicar a extração de raízes emprega-se o radical ( V )
O sinal = indica igualdade dos termos da direita com o da esquerda.  a=b
O sinal > indica maior que   a>b    e o < indica menor  a<b. Os números desconhecidos são chamados de incógnita. As letras usadas a, b, c, d, ...  representamos os números que são conhecidos ou dados e com as últimas ( x , y, z, t.....) os desconhecidos ou incógnitos.
  3- Expressão  Algébrica. Valor numérico . Expressão algébrica é um conjunto de números e letras reunidos por sinais de operações . As operações são : adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ex. 5 a²b ; a x + b ; etc...
   Chama-se valor numérico de uma expressão algébrica ao resultado que se obtém quando se substituem as letras dessa expressão por números dados e se efetuam as operações indicadas.
Devemos, no entanto, evitar atribuir às letras da expressão algébrica valores que tornem nulo um divisor ou que a base e o expoente de uma potencia sejam nulos simultaneamente.
Calcular o valor numérico das seguintes expressões:  - 3 a²b   para a = -1    para b= 2
-3 (-1)² . (2) = -3 . 1 .2 = -6  

    

O B S - È muito importante para se efetuar as operações algébricas, conhecer as regras dos sinais:
           Na adição e subtração : Sinais iguais soma-se e permanece o mesmo sinal . +3 +4 =+7
           ( -3) + (-4) = -7             Sinais deferentes subtrai-se e dá-se o sinal do maior valor absoluto.
           ( -3 )+ (+4) = + 1                       ( + 8 ) + ( - 5) = + 3        ( -9) + ( +5) = -4

Quando houver um sinal de menos antes do ( ) ou do [  ] ou da { } tudo o que está lá dentro muda de sinal
EXEMPLO - {- [ 3 + 4 ] }    = -{ -3 - 4 }   = +3 +4 = +7
+ ( 3 - 4 ) - ( + 7 + 2 ) =    3 - 4  - 7 - 2 = -8.
        Na multiplicação e divisão sinais iguais positivo   sinais diferentes negativo
( -9) . (+8) =-72        (+9) . ( + 8) = + 72
      

Potencias e raízes

1  -Simplifique os seguintes radicais;

Raiz cubica

CIrcunferencia e o circulo ( nivel 7ª série)

Conceitos:
Dado um ponto O no plano m , vamos marcar nesse plano os pontos que estão a uma mesma distancia r e O

A circunferência tem sua parte interna e naturalmente a sua parte externa.
Então todo ponto do plano cuja distância ao centro da circunferência é menor que o raio chama-se PONTO INTERNO à circunferência . A reunião de todos os pontos internos denomina-se região interior à circunferência.
Assim podemos definir : Ao conjunto de pontos obtido pela reunião da circunferência com a região interna a ela chamamos de circulo.

AB= corda
X e Y pontos internos à circunferência
CD diâmetro da circunferência
O ponto central
OE raio da circunferência
K Z corda  e secante
M tangente










Circunferência determinada por três ponto não colineares

Considere a sentença:
* Toda circunferência pode ser construída a partir de três pontos não colineares.
Para provar essa afirmação , vamos examinar um teorema válido para qualquer circunferência :
 EM TODA CIRCUNFERÊNCIA , UM DIÂMETRO PERPENDICULAR A UMA CORDA DESSA CIRCUNFERÊNCIA DIVIDE AO MEIO , E RECÍPROCAMENTE , SE UM DIÂMETRO DIVIDE UM CORDA AO MEIO , ELE É PERPENDICULAR A ESSA CORDA

Hipótese { C  ( O,r)
                AB é corda
                CD diâmetro
                CD perpendicular AB em M}

Tese { AM igual MB}


DEMONSTRAÇÃO:

O triangulo AOB é isósceles,
 pois OA = OB ( raio da circunferência) OM é a altura do triangulo AOB , pois CD perpendicular a AB
Assim OM é também mediana do triangulo AOB. Portanto: AM = MB.        (a q d.)

Método Prático para encontrar o centro de uma circunferência:Traçamos os segmentos AB  e  BC, que são cordas da circunferência . A  seguir taçamos as mediatrizes de AB  e BC. Como cada mediatriz contém o diâmetro dessa circunferência, então a intersecção das duas mediatrizes determina o centro  O da circunferência , cujo raio será OA    OB     OC.

POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Considerando-se as circunferências C (O,r) e C' ( O',r'), podemos obter as posições relativas entre elas comparando as distâncias d entre os centros O e O' e a soma dos raios  r e r'.

Na figura 1 a distancia das cir
cunferência é maior que a soma das medidas dos raios



Na figura 2 a distancia iguala a
soma das medidas dos raios.




Na figura 3 a distancia é igual
a diferença das medidas dos raios. são tangentes internas


figura 4- C  e C' são secantes
As circunferências C  e  C' têm dois pontos comuns ( A  e B)
Neste caso , observe que a distancia entre os centros está compreendida entre as  distancias das circunferências tangentes extremamente e tangente internamente

figura 5- C e C' não tem pontos comuns , mas o circulo de maior raio
contem o circulo de menor raio.
d< ( r - r')
No caso em que O coincidir com O' temos d=O e as circumferencias são
                                                                                           concentricas.    
                                                                                                                   

QUADRILÁTEROS ( nivel 7ª série )

DEFINIÇÃO- Quadriláteros são polígonos de quatro lados.
Vamos estudar apenas os quadriláteros convexos -

Os principais elementos de um quadrilátero são ;  # lados - AB, BD, CD, AC.
# Vértices - A, B, C, D.
# Angulos internos  , ^B, ^C, ^D.( figura 1)
# Diagonais AC, BD (Figura 2)
Todo quadrilátero pode ser decomposto em 2 triangulos e como a soma dos angulos internos do triangulo é 180°, podemos dizer que a soma dos angulos internos do quadrilátero é 360°
Dentre os vários quadriláteros , destacamos os paralelogramos e os trapézios.
PARALELOGRAMO -
É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. ( figuras 1,2,3)
TRAPÉZIO -
È o quadrilátero que tem 2 lados opostos paralelos.

PROBLEMAS sobre angulos internos de quadrilátero - Sabe-se que os angulos internos de um quadrilátero medem respectivamente Â= x-10°    ^B= 80°    ^C = 120°     ^D = x+ 30°
 Qual é a medida de cada angulo interno desse quadrilátero?
(x-10) + ( 80) +( 120)+ x + 30) = 360        
2x= 360 +10 -120 -30    
2x= 140      x = 70          A= 70-10 = 60°    B=80°     C= 120°  D = 70 +30 = 100°

Quanto mede o angulo X neste quadrilátero ?

CLASSIFICAÇÃO DOS PARALELOGRAMOS-Paralelogramos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados ou de seus angulos internos.
# LOSANGO - São os paralelogramos que tem os quatro angulos congruentes.

PROPRIEDADES GERAIS DOS PARALELOGRAMOS
A partir de um paralelogramo ABCD podemos demonstrar algumas propriedades válidas para todos os paralelogramos.
* Em todo paralelogramo , os lados opostos são congruentes.
* Em todo paralelogramo os angulos opostos são congruentes
* Em todo paralelogramo , as diagonais se corta mutuamente ao meio.

PROPRIEDADES DOS LOSANGOS
Todo losango é um paralelogramo, portanto valem as propriedades:
* Os lados opostos são congruentes
* Os angulos opostos são congruentes
*As diagonais cortam-se ao meio.
* EM TODO LOSANGO AS DIAGONAIS SÃO PERPENDICULARES.
* EM TODO LOSANGO AS DIAGONAIS SÃO BISSETRIZES DOS ANGULOS INTERNOS.

PROPRIEDADES DOS RETANGULOS
Além das propriedades gerais dos paralelogramos , EM TODO RETANGULO AS MEDIDAS DAS DIAGONAIS SÃO IGUAIS.

CLASSIFICAÇÃO DOS TRAPÉZIOS
Os quadriláteros que possuem dois lados paralelos chaman-se trapezios. Podemos classificar os trapezios de acordo com as medidas dos seus lados ou de seus angulos.

TRAPÉZIO RETANGULO - é o trapezio que tem dois angulos retos ( fig -1)

TRAPEZIO ISÓSCELES  (fig-2)





PROPRIEDADES DOS TRAPÉZIO;

Considere o trapezio ( FIG-3)
Alguns de seus elementos recebem nomes especiais:
Base do trapézio AB, CD
Altura do trapézio DH
Base média  MN

 Observe que a altura de um trapézio é um segmento de reta que é determinado pela perpendicular às bases, enquanto que a base média é o segmento de reta determinado pelos pontos médios dos lados não paralelos
OBS- Em todo trapezio osósceles , os angulos de uma mesma base são congruentes.( A = B )ou (C=D)
Em todo trapézio , a base média é paralela às outras bases e mede a semi soma das medidas dessas bases.