Problemas do 2º grau

Agora voce vai aprender como se resolvem problemas do 2º grau, isto é, sentenças expressas em linguagem comum que, quando expressas em linguagem matemática , originam uma equação do segundo grau ou , então , um sistema do segundo grau. Fazendo uma recapitulação :
Um número ,        x
o dobro de um numero    2x
o triplo de um numero     3x
O quadrado de um numero    x²
O quadrado do dobro de um numero  (2x)²
Os quadrados de dois números inteiros e consecutivos     x²  e ( x + 1 )²
O quadruplo de um numero par    4 x²
O quadrado de um numero (2x)²
O quadrado de um numero impar ( 2x+1 )
O quadrado do inverso de um numero ( 1/x)²
A terça parte do quadrado de um numero ( x² /3)
A raiz quadrada de um numero Vx
Subtraindo do quadrado de um numero o quintuplo desse numero obtém-se 14.     x²-5x = 14
A soma de dois números inteiros é igual a 8, e o produto desses números = 15 ( x+y=8) (x y = 15)
A soma de dois numeros é 5 e a soma dos quadrados desses números=13  (x+ y = 5 ) ( x² + y²)=13
A resolução de um problema  -deve resolver a equação ou o sistema correspondente a equação ou ao sistema e discutir as raízes encontradas.

exemplo - As idades de dois irmãos são representadas por numeros tais que a soma deles é 12 e o produto é 35 .Determinar essa idades.

x+y = 12         x= 12 - y (substituindo esse x na segunda equação temos )

xy=35             ( 12-y ) y = 35            12y - y² = 35           - y² + 12y - 35 = 0
                                                                                       y' =7     y'' = 5      V = ( 5,7).

    

Sistema de equação do 2º

Sistema de equações simultaneas do 1º grau

Equações irracionais

Equação biquadrada

Noção de equação biquadrada- Uma equação é biquadrada quando o gráu do maior expoente  variável é 4.

Equação de 2º grau

Composição de uma equação do 2º grau
Conhecendo dois numeros , você poderá montar a equação do segundo grau que admite dois numeros como raízes.
Ax² + bx +c =o         Dividindo todos os termos por a ( a diferente de zero) teremos x² + b/ax + c/a = o
Representado a soma das raízes ( x' + x '') por S e o produto ( x' . x'') por P , temos
  x' +x''= - b// a      =  - S = b/a              x' . x'' = c/a        x'  .x''= P  = c/a
Exemplo descubra   a equação que admite as raízes  5  e  - 3
x'=5        x'' = -3         S = x' + x'' = 5 - 3 = 2          P = x'   .  x''= 5. (-3 ) = - 15  então a equação é   x² - 2x - 15 = 0
Exercício/- A soma de dois numeros é 13 e o produto é 40. Quais são esses numeros ?
Resultado é 8  e  5

EQUAÇÕES LITERAIS - Uma equação do segundo grau é literal quando o coeficiente da variável ou então o termo independente for um numeral literal ( letra ). A resolução destas equações segue os mesmos critérios aplicados às equações numéricas.
 Exemplo - x² + mx = o  colocando (x) em evidencia temos X ( x + m ) = 0     X' = 0
X'' = x+ m = o        X =- m Então o conjunto V = { 0 , - m )

EQUAÇÕES COM PARÂMETRO - Há equações do 2º grau que apresentam uma variável denominada parâmetro.Essa variável constitui um coeficiente. Para descobrir ou discutir esse parâ\metro você deve aplicar os conhecimentos vistos anteriormente , neste mesmo conteúdo.
CASOS DE EQUAÇÕES COM PARÂMETRO:
1º caso - RAÍZES REAIS
exemplo - Determine o maior valor inteiro de K para que a equação %x² - 10x + 2k = 0 tenha raízes reais e desiguais
Condição : Que o delta seja maior que zero portanto a=5      b = -10     c = 2K
b² - 4 ac > o substituindo a formula temos     ( -10)² - 4. 5. 2K > 0     temos K < 2,5   Resposta K=2
Descubra o valor de m para que a equaçaõ  2x² - 4x+ m = 0 tenha raízes reais e iguais
Condição Delta =0      Portanto m = 2
2º caso - RAÍZES não reais ( raízes imaginárias )
Dada a equação x² - 4x + n = 0 determine o valopr de npara que as raízes sejam reais
Neste caso o delta é menor que zero   ou seja b² - 4 ac < 0            n > 4
3º CAso - RELAÇÃO ENTRE AS RAÍZES : determine o valor de K na equação x² - 4x + 64 = 0 para que uma raiz seja o quadruplo da outra.
x'= 4 x''            x' = + ou - 4                   x'' = -20  ou + 20
4º CASO- Conhecimento de uma raíz e raízes simétricas.

Exemplo Determine m de modo que ums das raízes seja = 2 na seguinte equação
x² - 5x + m = 0  (basta substituir X pelo valor da raíz conhecida , no caso = 2)
                   2² - 5 . 2 + m = 0          4 - 10 + m = 0       -6 + m = 0    m = 6


  

Problemas resolvidos( Progressões: aritmética,geométrica...

1-Achar o vigésimo termo da progressão aritmética(6,11,16...)Empregando a formula (A) como a1=6
n=20 e r = 11 temos           An= A1 + ( n-1) . r              6+19 . 5= 101
2-Qual o primeiro termo de uma progressão aritmética de 50 termos cujo último termo é  - 103 e a razão é - 2 ?

 
























7-Qual a diferença entre um termo qualquer e seu precedente em uma progressão aritmética cuja diferença entre o sétimo e o quinto termo é 8 ?
Pela primeira propriedade essa diferença é a razão r . Podemos escrever( a1 + 6r) - ( a1 + 4r)=8
2r = 8 e r = 4
8- Qual o perímetro de um triangulo retangulo de 24 m² de área , cujos lados estão em progressão aritmética ? Sejam a, b, e  c  os lados do triangulo   onde a>b>c.
Sabemos da geometria elementar que bc/ 2 = 24     ou bc= 48     e b²+c²+a²
Como a,b,c, estão em progressão aritmética pela 2ª propriedade podemos escrever  b= (a+c) : 2
ou a + c = 2b
Resolvendo o sistema a+c=2b
                                b²+c²=a²
                                bc = 48          obtemos a=10      b=8      e       c=6m

APLICANDO A SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

1- Qual a soma dos 100 primeiros termos da progressão{ 7, 13, 19 . . .}
Sabemos que : a1= 7   r=6  e n=100     Para empregar a formula  S=(a1+an) :2  X  n
Falta calcular an   ( ou  a (100)
Mas a(100) = 7 + 99 X  6 = 601
Lo0go a soma  S= (7+601) : 2    X 100 = 30 400
2- Qual a expressão que dá a soma dos n primeiros numeros naturais?
Temos  a1 + 2r+ a1+ 6r = 30       ou    a1 + 4r = 15
            a1 + 5r+ a1 +8r = 15        ou    a1 + 13r=15
 resolvendo o sistema temos
           r= -3       e   a1 =   27
Como a(12) = 27 + 11  X (-3) = -6            S= (27 - 6) :2 X 12 = 126

PROBLEMAS RESOLVIDOS EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

                                              

DERIVADAS e Tabela de derivadas ( 25 formulas)

3- 3 3 3-Exemplo A função y=f(x) = x² = 1 é derivável em ( menos infinito , a + infinito)
De fato seja delta x o acrescimo da variável em um ponto qualquer do campo real.
Temos : ( para delta vou usar por falta de simbolo  a letra D )
Dy= f ( x + Dx )- f(x) = (  x + Dx )² + 1 - ( x² + 1 )=
x² + 2x. Dx + ( Dx )²1 - x²- 1 = 2x. Dx + ( Dx)² portanto
Dy/Dx = ( 2x.Dx + ( d x)² ) : Dx = 2x + Dx portanto
y' = f '(x) = lim (Dx para 0) { 2x + Dx } = 2x

       



33-DERIVADAS DAS FUNÇÔES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Funções inversas - (I) y= sen u           y=tg u           y=sec u
                                 y= cos u           y=cot u         y= cosec u
são respectivamente as funções indicadas abaixo:
                            (II) u= arco sen y       u= arc tg y     u=arc sec y
                                  u= arc cos  y        u= arc cot y   u=arc cosec y
Como  há uma infinidade de arcos que satisfazem qualquer uma das funções são multiformes.
Mas, de acordo com a definição de função inversa e para ser possível aplicar a propriedade ( nº 13) teremos que determinar para cada uma dessas funções (II) um intervalo onde elas sejam uniformes.

 

Quadro sinótico das regras de derivação

Aplicação com uso da Algebra: Metodos aritméticos e algébricos de resolução de problemas típicos.

1- Preliminares - Não existe regras fíxas para resolução de problemas . O trato aritmético de um problema exige raciocínios que a resolução algébrica do mesmo transfere para a mecanização de equações.
Para as crianças das primeiras séries naturalmente  o mais aconselhável é o método aritmético,pois a vantagem de de apurar a inteligencia é esta a solução que será levada  as crianças deste primeiro estágio de matemática.Convenhamos , outrossim, que a solução aritmética é mais pura, por ser despida de qualquer artificialismo , atingindo com precisão o intelecto em formação.
Primeiro problema : A soma das idades de um pai e de seu filho é igual a 45 anos. A idade do pai é 4 vezes a idade do filho. Calcular a idade de cada um.
RESOLUÇÃO ALGÉBRICA - 1º modo - Usando duas incógnitas e duas equações.
x representa a idade do pai
y representa a idade do filho.           Sistema de duas equações do 1º grau a 2 incógnitas x+ y = 45
                                                                                                                                      x=4y
Resolvendo o sistema (melhor método para esse ex. é o de substituição), temos : 4y +y = 45       5y = 45  y=9
2º modo :Usando uma incógnita e uma equação                                                                                   4y=36
x, representa a idade do pai logo 45 - x = a idade do filho
Resolvendo vem  x= 4 ( 45 - x)  x= 180 - 4x         x + 4x = 180   5x = 180     x = 180 : 5   x = 36 ( idade do,pai )    45 - 36 = 9 ( idade do filho)
RESOLUÇÃO ARITMÉTICA - Se a idade do pai é 4 vezes a idade do filho a soma das duas idades representa nesse instante 5 vezes a idade do filho. Como essa soma vale 45 anos, segue-se que a idade do filho será dada pela divisão 45 : 5 = 9 ( anos ) e a do pai pelo produto de 4 X 9 = 36 ( anos )
Esse raciocínio pode ser auxiliado por gráficos que facilitam a compreensão dos alunos. Assim temos ;
( _ ) representa a idade do filho
( _ ) + ( _ ) + ( _ ) + ( _ ) = a idade do pai
( _ ) + ( _ ) + ( _ ) + ( _) + ( _ ) = 45 ( soma das duas idades )
ou 45 : 5 = 9 ( idade do filho )
e 4 X 9 = 36 ( idade do pai )
 CRITICA -
RESOLUÇÃO ALGÉBRICA - 1º modo : pouco raciocínio e bastante trabalho mecanico ( resolução de um sistema de equações )
                                                 2º modo: mais raciocínio e menos trabalho mecanico ( resolução de uma equação )
RESOLUÇÃO ARITMÈTICA - só raciocínio                                                





                                                                                                                                                         

FÓRMULAS E PROPRIEDADES matemáticas