Vamos introduzir agora um dos conceitos mais importantes de toda a matemática : o conceito de relações entre dois conjuntos. A partir daí, contruiremos a definição de função de um conjunto em outro: este último conceito é simplesmente a viga mestra de toda a chamada matemática moderna.
PARES ORDENADOS
Dados dois elementos a e b formamos um novo elemmento indicado por (a : b) e denominado par ordenado , cujo primeiro elemento é a e o segundo elemento é b. Impomos a seguinte condição de igualdade entre pares oredenados;
( a,b) = (c;d) sendo a=c e b=d
Com a definição de igualdade acima , temos, por exemplo
(1;2) diferente de (2:1 );
( 2;3) igual (x;y) onde x=2 e y=3;
( x;1) igual (o;y) onde x= e y = 1
Exemplo;
Determinar os valôres de a e b de modo que os pares ordenados ( 2x+1 ;3) e ( 4x - y; y ) sejam iguais
Solução
2x+1= 4x-y
y= 3 2x+ 1 = 4x -3
2x -4x = -3-1 -2x= -4 x=2
portanto x=2 e y= 3
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A representação gráfica de um par ordenado é um ponto pertencente a um plano ( chamado plano cartesiano ) ex; ( 2;3 ) o 2 representa o x o 3 representa o Y. isto é, o 1º elemento do par é sempre representado no eixo Ox e o 2º, no eixo Oy
Ox é o eixo das abscissas , Oy eixo das ordenadas
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma aplicação ou função de A em B, se e sòmente se, a todo elemento x de A está associado a um único elemento y de B tal que ( x ;y ) pertença a f.
Para que uma função fique bem definida é necessário conhecermos os conjuntos A e B e uma lei de associação , que associe a todo elemento x de A um único elemento y de B.
DOMINIO, IMAGEM , CONTRADOMINIO
A= { 0,1,2} e B ={ 0,1,2,3,4,5}vamos considerar a função f: A em B definida por y= x+1 ou f(x)= x+1
lei nese caso é x+1 portanto do conjunto A 0+1=1
1+1=2
2+ 1=3
do conjunto A temos {0,1,2} (dominio) ; do conjunto B temos 1,2,3 ( imagem) e ainda
no conjunto B temos o contradominio = indicado por CD(f) = B
Obs - O dominio de uma função é também chamado CAMPO DE DEFINIÇÃO ou CAMPO DE EXISTÊNCIA.
Estudo do DOMINIO de uma função
Já ficou esclarecido que para caracterizar uma função, é necessário conhecermos dois conjuntos A e B e uma lei que associe a todo elemento de A um único elemento de B.
Entretanto, é bastante comum definirmos uma função f apenas por uma lei de associação
sem especificarmos os conjuntos A e B ; nesse caso , vamos admitir que A é um subconjunto de R e B = R
(esse R seria o conjunto dos nº racionais)
Surge daí uma pergunta:
Qual será então o domínio da função f ?
Vamos , então, convencionar que o domínio de f será o subconjunto de números reais formado por todos os números reais para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R .
EXEMPLOS -
1º - Dar o domínio da função f(x) = 1/x neste caso só será possivel se x for diferente de zero
Então D (f) = R - { 0 } = R*
2º - Dar o domínio da função f(x) = x/x+3 , neste exemplo , no denominador ( x+3)
somente se o x for diferente de -3
Então D(f) = R - {-3}
3º - Dar o domínio da função f(x) raiz quadrada de x-2
raiz quadrada de x-2 só é possível se x-2 for maior que zero pois sabemos que em R não podemos extrair raiz quadrada de número negativo
4º - Dar o domínio da função F(x) = 1/ x²-9 + 1/raiz quadrada de x-1
(x²-9)= neste caso x não pode ser nem 3 nem -3.
Como, -3² ou +3² são iguais a 9 , a subtração seria zero.
Como em R não podemos ter fração com denominador zero , x deverá ser maior que 3
e na segunda( x-1), x deverá ser diferente de 1 e maior que 1
GRAFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO
1º Exemplo
Dados A = { 0,1,2} e B= { 0,1,2,3,4,5} construir o gráfico da função f: A em B, no plano cartesiano
x x+2 ( x,y)
0 2 (0,2)
1 3 (1,3)
2 4 (2,4)
2º problema
Construir, no plano cartesiano , o gráfico da função f(x) = x²/2;
Obs- como não foi dado o domínio da função , f, vamos considerar como domínio o conjunto de todos os números reais para os quais x²/2 pertençam em R ; logo D(f)= R
o domínio está sempre no eixo de x
a imagem está sempre no eixo de y
FUNÇÃO SOBREJETORA,INJETORA e BIJETORA
Sobrejetora - é quando todos os elementos de A , dão uma flexada em todos os elementos de B
A= -2 B= 0 A ---- B definida por y=x²
-1 1 ( -2² =4)
0 4 (-1² = 1)
1 ( 1² =1 )
(0² =0)
Injetora neste caso não existe elemento de B que seja imagem de mais de um elemento de A, isto é, em cada elemento de B que é imagem de um elemento de A chega apenas uma flecha.
Bijetora é quando ao mesmo tempo que é sobrejetora também é injetora
FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO IMPAR
Qualquer que seja x pertencente D(f) ocorre f(x) = f(-x)
esta é a função par
Para todo x que pertence D(f) ocorre que
f(x) = -f(-x) esta é impar
Os números x e -x tem imagens opostas
O gráfico é simetrico em relação à origem do sistema cartesiano.
OBS IMPORTANTE- Uma função cujo gráfico não satisfaz nenhuma das condições acima , não é nem função par nem função impar.
Exemplo de função par - f: R em que R definida por y= x² -4
função impar - f: : R definida por f(x) = x/2
nem uma nem a outra - f(x) = x²+2x +1
Quando uma função é crescente - quando o a é positivo ex. 2x+44
Quando uma função é decrescente - quando o a é negativo ex -4x+4.
FUNÇÃO COMPOSTA
observamos que
* a cada x pertencente a A associa-se um único y pertencente a B tal que y = 2x
* a cada y associa-se com um único z pertencente a C tal que z = y²
* a cada x pertencente a A associa-se um único z pertencente C tal que z = y² = (2x)² = 4x²
Então podemos afirmar que vai existir uma função h de A em C definida por h(x) = 4x² que indicamos por g . f ou g(f(x) ( LÊ-SE G COMPOSTA EM F)
logo : h(x) = g . f = g(f(x) = (0,0), (1,4). (2,16) ou h(x)= 4x²
1} exemplo Sendo dados f(x) = x²+2 e g(x) = 3x calcular g(f(x).
g((x) = g (x²+2 = 3 ( x²+2)= 3x²+6
2}exemplo : Sendo dados f(x) = x²+2 e g(x) = 5x , calcular f(g(x).
f(g(x) = f (5x)²+ 2 = 25x² + 2
3} exemplo : Sendo dados f(x) = x² + 2 e g(x) = 5x, calcular f(f(x) e g(g(x)
f(fx) = f(x²+2)= x² + 2)² + 2 = x a quarta potência + 4x²+4+2 = x a 4ª + 4x² + 6
g(g(x) = g(5x) = 5(5x) = 25x
4} exemplo Determinar a função composta por f(x)= I x I e g(x) = x - 2
Neste caso, vamos determinar f(g(x) e g(f(x), então
f(g(x) = f(x- 2= Ix-2I
g(f(x) = g( IxI ) = Ix I - 2
FUNÇÃO INVERSA ; Dada uma função bigetora f: A-----B chama-se função inversa de f a função f elevada a -1 :B----A tal que ( a,b) corresponde também a f: ( b,a) pertencente a f elevado a -1, essa correspondencia é univoca ,isto é x corresponderá a um unico y
Nem todas as funções tem essa possibilidade , mas as que tem são chamadas funções inversíveis.
PROCESSO ALGÉBRICO PARA O CÀLCULO DA FUNÇÂO INVERSA
Problema - achar a expressão que representa a inversa da função y= x+2
Resolução y= x+2
trocando x por y temos
x= y+2
x-2 =y
y= x-2
y = x-2 é a expressão que representa a inversa da função y=x+2
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÂO INVERSA DE UMA FUNÇÃO
Consideremos a função f(x) = x+2 e sua inversa f (x) = x-2
Função Constante
Dado um numero Real K, chama-se função constante toda função definida por f(x) = K ou y=k
FUNÇÃO IDENTIDADE
Chama-se função identidade toda função definida por f(x) =x ou y=x para todo x real
FUNÇÃO AFIM
A função afim é tambem chamada de função linear.
Os coeficientes da função afim y= ax+b
*- o número real a é chamado coeficiente angular ou declive da retas representada no plano cartesiano
*- o numero realo b é chamado coeficiente linear da função
assim : na função y= 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 1
FUNÇÂO CRESCENTE e FUNÇÃO DECRESCENTE
- no exemplo acima 2x é o a da função e como ele é positivo a função é crescente
-3x + 2 neste caso o a é negativo então a função é decrescente.
Em outras palavras uma função y = ax+b é crescente , se e somente se , o coeficiente angular for ( a> 0 )
Uma função y= ax+b é decrescente , se e somente se , o coeficiente angular for negativo ( a<0)
RESOLUÇÃO GRÁFICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Seja resolver o sistema de equações
y= x+2
y=3x - 4
Resolvendo algebricamente o sistema temos x+2 = 3x - 4
x = 3
y = x+2 y = 5
S= { 3,5 } Observe no gráfico que (3,5) é o ponto de encontro
das duas retas.
Para construir o gráfico temos y = x+2 e y + 3x-4
( x,y ) = ( 0,2 ) ( x,y) = ( 1,-1)
( -1,1) ( 2,2 )
UM POUCO DE GEOMETRIA ANALÍTICA;
EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR DOIS PONTOS
Seja a equação da reta que passa pelos pontos ( 1,2) e (-1,3)
Resolução
Como a reta é o gráfico da função do 1º grau, então y= ax+b é a equação procurada; o problema fica resolvido quando determinamos os valores de a e b. Para isso devemos;
* fazer x = 1 e y = 2 em y= ax +b e teremos 2= a(1) +b ou a+b=2
*fazer x= -1 e y= 3 em ty= ax+b e teremos 3= a(-1) +b ou -a+b=3
Resolvendo o sistema temos a = -1/2 e b= 5/2
Assim a equação procurada é y= - 1/2 x + 5/2
APLICAÇÃO NA FÍSICA
Em mecanica quando estudamos movimentos retilíneos, a posição de um móvel que se desloca é determinada pela abscissa s do ponto em que o móvel se encontra em cada inbstante t, então, s é uma função de t ou s = f(t)
Quando o movimento retilineo é uniforme , s é uma função do 1º grau em t , expressa por
s= s(o) + vt com s(o) e v constantes ( v diferente de zero )
Problema ;
Um móvel se desloca com movimento uniforme descrito pela equação s= 2t - 3.
Esboce num sistema cartesiano , o gráfico da posição do móvel em função de t.
ZEROS DA FUNÇÃO AFIM
O valor de x para o qual a função y= ax+b se anula { isto é, f(x) =0} chama-se zero da função afim.
Para achar o zero da função afim, basta resolver a equaçãso do 1º grau ax+b =0
Exemplo Achar o zero da função f(x) = 3x-1
3x = 1
x = 1/3 então o zero desta função = 1/3 naturalmente voce pode concluir que a função afim tem um único zero que é o numero real -b/a
Concluindo em estudo dos sinais Se x = 1/3 a função é = zero
Se x é maior que 1/3 a função é posituiva x> 1/3 y> 1/3
Se x é menor que 1/3 a função é negativa x< 1/3 y < 1/3
Esta conclusão é para esse exemplo porque se o A da equação for negativo a resposta seria outra
Exemplo -2x-4=0 x= -2
x<-2 y>0 x> -2 y< -2 No caso -2 é o zero da função .
Esquema:
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU - Chama-se de inequação do 1ºgrau a toda sentença matemática aberta que exprime uma desigualdade e que pode ser colocada das sequintes formas:
ax+b< 0 ax+b >0 ax+b > ou= 0 ax+b <= 0 onde a,b,pertence a R e a é diferente de zero
Exemplos -
x-1 < 0 2. ( x+1 ) > 0 2x/3 - 1/2 <=0 2. ( x+ 1/3 ) > 0
OBSERVAÇÕES :
* Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto solução ou conjunto verdade .
* Quando o conjunto universo não for mencionado, significará que a inequação deverá ser resolvida no conjunto dos numeros reais.
Propriedades -
* Adicionando ou subtraindo os dois membros de uma inequação por um mesmo numero obteremos uma nova inequação, conservando o sentido da primeira.
Ex. Sendo U =R
x+1<2 x < 2 - 1 x < 1
* Adicionando 2 a ambos os membros da desigualdade
x+1+2 < 2+2 x+3<4 x<1
*Multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, essa desigualdade muda de sentido para continuar verdadeira
x+1 <2 . (-2)
-2x-2>-4
-2 x > -4+2
-2x> -2 (-1)
x<1
Se dividirmos por -2 o x continuará < 1
Resolver a inequação : 5x - 1 > 3x +5
5x - 3x > 5 +1
2x > 6
x > 6/2 x>3
Neste exemplo se x = 3 fica 5. 3 -1 > 3.3.+ 5 ( falso)
x< 3 fica 5.2 - 1 > 3.2 +5 ( falso)
x >3 fica 5.4 -1 > 3.4 +5 (verdadeiro )
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO
Qualquer que seja o sinal de a temos em relação ao zero da função o seguinte resultado:
contrario ao sinal de a para valores menores que o zero da função
mesmo sinal de a para valores maiores que o zero da função
exemplo: ---c/a----Zero-----m/a-------
Resolver : -2x +4 =0 a<0 -----c/a-----2-----m/a-----
x=2 y=0
x=1 y>0
x=3 y<0
I ) x>3 { 4,5,6,7,8,.....}
II ) x > -2 {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}
I interseccionada com a II temos { 4,5,6,7,8,...}
Inequação- quociente
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x chamamos de inequação - quociente uma desi
gualdade do tipo {f(x) : g(x)} > 0 , > ou igual a zero, <0, menor ou igual a zero . .
Na resolução de uma inequação quociente o denominado0r deve ser diferente de zero e a regra de
sinais é a mesma tanto para produto como para divisão no conjunto dos nº reais
Funções Polinomial do 2º gráu
Função Quadrática - Chama-se função quadrática a função f.R - R que associa , a cada número real x, o número real ax² + bx +c, com a,b,c, reais e diferentes de zero
Exemplos : f(x)= 2x² +5x+6 onde a=2 b=5 c=6
Gráfico da função quadrática
Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva , à qual damos o nome de parábola.
Vamos esboçar o gráfico da seguinte f unção quadrática:
y= x² - 2x - 3
Atribuímos valores para x e obteremos valôres para y , organizando-os com o auxílio de uma tabela
Para X = 1,2,0,-1 substituindo o x da equação pelos referidos valores temos (x,y) = (1,-4), (2,-3)
(0, -3), (-1,0) . O a dessa equação é positivo . A Parábola deve ser U com valor mínimo.
O vértice é Para X = -b/2a =1 Y= -(b²-4ac=16) -16/4a = -4 V = ( X,Y ) = (1,-4).
Temos equações completas e equações incompletas
Ex. ax²=bx+c =0 (completa) ax²+bx=0 e ax²+c =0 são incompletas
A parábola poderá apresentar seu vertice virado para cima ou para baixo, dependendo do valor de a(ax²)
ou seja a> 0 ( U ) vertice assume valor minimo(cavidade para baixo) y= - delta/4a
a<0 vertice assume valor máximo ( cavidade para cima) y= - delta/ 4a (delta= b²-4ac
X = -b/2a Y= -delta / 4a com essa fórmulas descobriremos o (X,Y) do vértice.
Estudo dos sinais da função quadrática
Resumo - equação ax²+bx+c= 0
1º caso - A>0 e delta > 0 Sendo o delta > 0 as raizes x' e x" são reais e diferentes
Y<x' positivo ( m/a) .
quando Y>x' e Y <x" negativo ( c/a )
quando Y > x" Positivo (m/a)
ex-a) Y= x²-5x +6 =0
delta =1 x' = 3 e x"=2 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2 Ynegativo 3¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
Y positivo Y positivo
ex-b) Y = x² - 6x +9 = 0
delta =0 x' = x" = 3 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨3 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
Y positivo Y=0 Y positivo
ex-c) Y=x² -x+10
delta = -39 a equação não possui raizes reais
O gráfico fica em forma de U mas não toca na abscissa x portanto
todos os valores dados a Y este sempre será positivo igual o sinal de a, isto é, positivo. Em todos estes três exemplos o gráfico tem a forma de uma parábolo virada para cima( U ) e o vertice terá valor mínimo.
2º caso é quando o a<0 todos os sinais da comparação serão negativos onde os anteriores eram positivo e positivos onde os anteriores eram negativos e a parabola sérá voltada para baixo .Aqui o vertice terá valor máximo .
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