1 -Simplifique os seguintes radicais;
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quinta-feira, 5 de setembro de 2013
domingo, 14 de abril de 2013
sexta-feira, 1 de fevereiro de 2013
CIrcunferencia e o circulo ( nivel 7ª série)
Conceitos:
Dado um ponto O no plano m , vamos marcar nesse plano os pontos que estão a uma mesma distancia r e O
A circunferência tem sua parte interna e naturalmente a sua parte externa.
Então todo ponto do plano cuja distância ao centro da circunferência é menor que o raio chama-se PONTO INTERNO à circunferência . A reunião de todos os pontos internos denomina-se região interior à circunferência.
Assim podemos definir : Ao conjunto de pontos obtido pela reunião da circunferência com a região interna a ela chamamos de circulo.
AB= corda
X e Y pontos internos à circunferência
CD diâmetro da circunferência
O ponto central
OE raio da circunferência
K Z corda e secante
M tangente
Circunferência determinada por três ponto não colineares
Considere a sentença:
* Toda circunferência pode ser construída a partir de três pontos não colineares.
Para provar essa afirmação , vamos examinar um teorema válido para qualquer circunferência :
EM TODA CIRCUNFERÊNCIA , UM DIÂMETRO PERPENDICULAR A UMA CORDA DESSA CIRCUNFERÊNCIA DIVIDE AO MEIO , E RECÍPROCAMENTE , SE UM DIÂMETRO DIVIDE UM CORDA AO MEIO , ELE É PERPENDICULAR A ESSA CORDA
Hipótese { C ( O,r)
AB é corda
CD diâmetro
CD perpendicular AB em M}
Tese { AM igual MB}
DEMONSTRAÇÃO:
O triangulo AOB é isósceles,
pois OA = OB ( raio da circunferência) OM é a altura do triangulo AOB , pois CD perpendicular a AB
Assim OM é também mediana do triangulo AOB. Portanto: AM = MB. (a q d.)
Método Prático para encontrar o centro de uma circunferência:Traçamos os segmentos AB e BC, que são cordas da circunferência . A seguir taçamos as mediatrizes de AB e BC. Como cada mediatriz contém o diâmetro dessa circunferência, então a intersecção das duas mediatrizes determina o centro O da circunferência , cujo raio será OA OB OC.
POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Considerando-se as circunferências C (O,r) e C' ( O',r'), podemos obter as posições relativas entre elas comparando as distâncias d entre os centros O e O' e a soma dos raios r e r'.
Na figura 1 a distancia das cir
cunferência é maior que a soma das medidas dos raios
Na figura 2 a distancia iguala a
soma das medidas dos raios.
Na figura 3 a distancia é igual
a diferença das medidas dos raios. são tangentes internas
figura 4- C e C' são secantes
As circunferências C e C' têm dois pontos comuns ( A e B)
Neste caso , observe que a distancia entre os centros está compreendida entre as distancias das circunferências tangentes extremamente e tangente internamente
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figura 5- C e C' não tem pontos comuns , mas o circulo de maior raio
contem o circulo de menor raio.
d< ( r - r')
No caso em que O coincidir com O' temos d=O e as circumferencias são
concentricas.
Dado um ponto O no plano m , vamos marcar nesse plano os pontos que estão a uma mesma distancia r e O
A circunferência tem sua parte interna e naturalmente a sua parte externa.
Então todo ponto do plano cuja distância ao centro da circunferência é menor que o raio chama-se PONTO INTERNO à circunferência . A reunião de todos os pontos internos denomina-se região interior à circunferência.
Assim podemos definir : Ao conjunto de pontos obtido pela reunião da circunferência com a região interna a ela chamamos de circulo.
AB= corda
X e Y pontos internos à circunferência
CD diâmetro da circunferência
O ponto central
OE raio da circunferência
K Z corda e secante
M tangente
Circunferência determinada por três ponto não colineares
Considere a sentença:
* Toda circunferência pode ser construída a partir de três pontos não colineares.
Para provar essa afirmação , vamos examinar um teorema válido para qualquer circunferência :
EM TODA CIRCUNFERÊNCIA , UM DIÂMETRO PERPENDICULAR A UMA CORDA DESSA CIRCUNFERÊNCIA DIVIDE AO MEIO , E RECÍPROCAMENTE , SE UM DIÂMETRO DIVIDE UM CORDA AO MEIO , ELE É PERPENDICULAR A ESSA CORDA
AB é corda
CD diâmetro
CD perpendicular AB em M}
Tese { AM igual MB}
DEMONSTRAÇÃO:
O triangulo AOB é isósceles,
pois OA = OB ( raio da circunferência) OM é a altura do triangulo AOB , pois CD perpendicular a AB
Assim OM é também mediana do triangulo AOB. Portanto: AM = MB. (a q d.)
Método Prático para encontrar o centro de uma circunferência:Traçamos os segmentos AB e BC, que são cordas da circunferência . A seguir taçamos as mediatrizes de AB e BC. Como cada mediatriz contém o diâmetro dessa circunferência, então a intersecção das duas mediatrizes determina o centro O da circunferência , cujo raio será OA OB OC.
POSIÇÕES RELATIVAS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Considerando-se as circunferências C (O,r) e C' ( O',r'), podemos obter as posições relativas entre elas comparando as distâncias d entre os centros O e O' e a soma dos raios r e r'.
Na figura 1 a distancia das cir
cunferência é maior que a soma das medidas dos raios
Na figura 2 a distancia iguala a
soma das medidas dos raios.
Na figura 3 a distancia é igual
a diferença das medidas dos raios. são tangentes internas
figura 4- C e C' são secantes
As circunferências C e C' têm dois pontos comuns ( A e B)
Neste caso , observe que a distancia entre os centros está compreendida entre as distancias das circunferências tangentes extremamente e tangente internamente
figura 5- C e C' não tem pontos comuns , mas o circulo de maior raio
contem o circulo de menor raio.
d< ( r - r')
No caso em que O coincidir com O' temos d=O e as circumferencias são
concentricas.
domingo, 27 de janeiro de 2013
QUADRILÁTEROS ( nivel 7ª série )
DEFINIÇÃO- Quadriláteros são polígonos de quatro lados.
Vamos estudar apenas os quadriláteros convexos -
Os principais elementos de um quadrilátero são ; # lados - AB, BD, CD, AC.
# Vértices - A, B, C, D.
# Angulos internos  , ^B, ^C, ^D.( figura 1)
# Diagonais AC, BD (Figura 2)
Todo quadrilátero pode ser decomposto em 2 triangulos e como a soma dos angulos internos do triangulo é 180°, podemos dizer que a soma dos angulos internos do quadrilátero é 360°
Dentre os vários quadriláteros , destacamos os paralelogramos e os trapézios.
PARALELOGRAMO -
É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. ( figuras 1,2,3)
TRAPÉZIO -
È o quadrilátero que tem 2 lados opostos paralelos.
PROBLEMAS sobre angulos internos de quadrilátero - Sabe-se que os angulos internos de um quadrilátero medem respectivamente Â= x-10° ^B= 80° ^C = 120° ^D = x+ 30°
Qual é a medida de cada angulo interno desse quadrilátero?
(x-10) + ( 80) +( 120)+ x + 30) = 360
2x= 360 +10 -120 -30
2x= 140 x = 70 A= 70-10 = 60° B=80° C= 120° D = 70 +30 = 100°
Quanto mede o angulo X neste quadrilátero ?
CLASSIFICAÇÃO DOS PARALELOGRAMOS-Paralelogramos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados ou de seus angulos internos.
# LOSANGO - São os paralelogramos que tem os quatro angulos congruentes.
PROPRIEDADES GERAIS DOS PARALELOGRAMOS
A partir de um paralelogramo ABCD podemos demonstrar algumas propriedades válidas para todos os paralelogramos.
* Em todo paralelogramo , os lados opostos são congruentes.
* Em todo paralelogramo os angulos opostos são congruentes
* Em todo paralelogramo , as diagonais se corta mutuamente ao meio.
PROPRIEDADES DOS LOSANGOS
Todo losango é um paralelogramo, portanto valem as propriedades:
* Os lados opostos são congruentes
* Os angulos opostos são congruentes
*As diagonais cortam-se ao meio.
* EM TODO LOSANGO AS DIAGONAIS SÃO PERPENDICULARES.
* EM TODO LOSANGO AS DIAGONAIS SÃO BISSETRIZES DOS ANGULOS INTERNOS.
PROPRIEDADES DOS RETANGULOS
Além das propriedades gerais dos paralelogramos , EM TODO RETANGULO AS MEDIDAS DAS DIAGONAIS SÃO IGUAIS.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRAPÉZIOS
Os quadriláteros que possuem dois lados paralelos chaman-se trapezios. Podemos classificar os trapezios de acordo com as medidas dos seus lados ou de seus angulos.
TRAPÉZIO RETANGULO - é o trapezio que tem dois angulos retos ( fig -1)
TRAPEZIO ISÓSCELES (fig-2)
PROPRIEDADES DOS TRAPÉZIO;
Considere o trapezio ( FIG-3)
Alguns de seus elementos recebem nomes especiais:
Base do trapézio AB, CD
Altura do trapézio DH
Base média MN
Observe que a altura de um trapézio é um segmento de reta que é determinado pela perpendicular às bases, enquanto que a base média é o segmento de reta determinado pelos pontos médios dos lados não paralelos
OBS- Em todo trapezio osósceles , os angulos de uma mesma base são congruentes.( A = B )ou (C=D)
Em todo trapézio , a base média é paralela às outras bases e mede a semi soma das medidas dessas bases.
Vamos estudar apenas os quadriláteros convexos -
# Vértices - A, B, C, D.
# Angulos internos  , ^B, ^C, ^D.( figura 1)
# Diagonais AC, BD (Figura 2)
Todo quadrilátero pode ser decomposto em 2 triangulos e como a soma dos angulos internos do triangulo é 180°, podemos dizer que a soma dos angulos internos do quadrilátero é 360°
Dentre os vários quadriláteros , destacamos os paralelogramos e os trapézios.
PARALELOGRAMO -
É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. ( figuras 1,2,3)
TRAPÉZIO -
È o quadrilátero que tem 2 lados opostos paralelos.
PROBLEMAS sobre angulos internos de quadrilátero - Sabe-se que os angulos internos de um quadrilátero medem respectivamente Â= x-10° ^B= 80° ^C = 120° ^D = x+ 30°
Qual é a medida de cada angulo interno desse quadrilátero?
(x-10) + ( 80) +( 120)+ x + 30) = 360
2x= 360 +10 -120 -30
2x= 140 x = 70 A= 70-10 = 60° B=80° C= 120° D = 70 +30 = 100°
Quanto mede o angulo X neste quadrilátero ?
CLASSIFICAÇÃO DOS PARALELOGRAMOS-Paralelogramos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados ou de seus angulos internos.
# LOSANGO - São os paralelogramos que tem os quatro angulos congruentes.
PROPRIEDADES GERAIS DOS PARALELOGRAMOS
A partir de um paralelogramo ABCD podemos demonstrar algumas propriedades válidas para todos os paralelogramos.
* Em todo paralelogramo , os lados opostos são congruentes.
* Em todo paralelogramo os angulos opostos são congruentes
* Em todo paralelogramo , as diagonais se corta mutuamente ao meio.
PROPRIEDADES DOS LOSANGOS
Todo losango é um paralelogramo, portanto valem as propriedades:
* Os lados opostos são congruentes
* Os angulos opostos são congruentes
*As diagonais cortam-se ao meio.
* EM TODO LOSANGO AS DIAGONAIS SÃO PERPENDICULARES.
* EM TODO LOSANGO AS DIAGONAIS SÃO BISSETRIZES DOS ANGULOS INTERNOS.
PROPRIEDADES DOS RETANGULOS
Além das propriedades gerais dos paralelogramos , EM TODO RETANGULO AS MEDIDAS DAS DIAGONAIS SÃO IGUAIS.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRAPÉZIOS
Os quadriláteros que possuem dois lados paralelos chaman-se trapezios. Podemos classificar os trapezios de acordo com as medidas dos seus lados ou de seus angulos.
TRAPEZIO ISÓSCELES (fig-2)
PROPRIEDADES DOS TRAPÉZIO;
Considere o trapezio ( FIG-3)
Alguns de seus elementos recebem nomes especiais:
Base do trapézio AB, CD
Altura do trapézio DH
Base média MN
Observe que a altura de um trapézio é um segmento de reta que é determinado pela perpendicular às bases, enquanto que a base média é o segmento de reta determinado pelos pontos médios dos lados não paralelos
OBS- Em todo trapezio osósceles , os angulos de uma mesma base são congruentes.( A = B )ou (C=D)
Em todo trapézio , a base média é paralela às outras bases e mede a semi soma das medidas dessas bases.
quinta-feira, 27 de dezembro de 2012
TRIANGULO tipos mediana bissetriz altura congruencia
Triangulo ou trilatero é o polígono de três lados.Pode-se dizer que triangulo é a figura constituida por três seguimentos cujas extremidades são três pontos não alinhados.
Os vértices do triangulo são A B C ou B C A ou C B A .
Os Angulos  , ^B, ^C são ângulos internos do triangulo.
Um triangulo separa os pontos de um plano em duas regiões:
Uma convexa de pontos internos ( isto é ) a parte de dentro do triangulo
Outra convexa de pontos externos do triangulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIANGULOS:
Quanto aos lados ; O triangulo pode ser: escaleno, isósceles e equilátero.
Escaleno - Os três lados tem medidas diferentes .
Isósceles - Tem dois lados de medidas iguais .e a base diferente
Equilátero - os três lados têm medidas iguais
Quanto aos ângulos : acutângulo , obtusângulo, equiângulo retângulo
acutângulo - Os três angulos são agudos
obtusângulo- um angulo obtuso e outros dois agudos
equiângulo - os três ângulos são iguais
retângulo - um angulo reto e os outros dois agudos.
OUTROS ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
MEDIANA - Mediana de um triangulo é o segmento cujas extremidades são um vertice e o ponto médio do lado oposto.
Todas as três medianas do triangulo encontram-se num mesmo ponto O chamado BARICENTRO
P ponto médio de AC = mediana
N ponto médio de BC = mediana
M ponto médio de AB = mediana
ALTURA - A altura é a perpendicular que sai do vértice em direção ao lado oposto formando naturalmente um angulo de 90º ao se interceptar a esse lado ,o triangulo tem 3 alturas e o encontro delas chama-se ortocentro
TRIANGULOS CONGRUENTES - Se dois triangulos ABC e A'B'C' são tais que os lados sejam respectivamente congruentes , dizemos então que os triangulos são congruentes.
Os lados do triangulos possuem respectivamente
medidas iguais. e os angulos internos são res-
pectivamente iguais.
PROPRIEDADES DE CONGRUENCIA -1- Se dois triangulos são congruentes , então , são congruentes os angulos opostos a lados congruentes e os lados opostos a angulos congruentes.
Na figura acima o angulo A é oposto ao lado BC angulo B oposto a AC Angulo C oposto a AB.
2- A congruencia é uma relação de equivalencia , isto é, valem as propriedades : Reflexiva , Simetrica e Transitiva.
Reflexiva - Todo triangulo é congruente a si mesmo.
Simétrica - Se um triangulo é congruente a um segundo , este é congruente ao primeiro.
Transitiva - Se um triangulo é congruente a um segundo e este é congruente a um terceiro, então o primeiro é congruente ao terceiro.
CASOS DE CONGRUENCIA
Nas verificações intuitivas ou racionais ( demonstrações) há necessidade de decidir se dois triangulos são ou não são congruentes, mas não se conhecem as medidas de todos os lados desses triangulos.
vejamos , então , os casos que podem ocorrer .
1° Caso - Se dois triângulos possuem dois lados e angulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes , então , são congruentes - L A L ( lado angulo e lado )
AC congruente a DF AB congruente DE Angulo A e Angulo D compreendidos ....
2º Caso- Se dois triangulos têm um lado e os angulos adjacentes a esses lados respectivamente congruentes, então , são congruentes - A LA ( angulo, lado e angulo )
 congruente a ^D
^B congruente a Ê
Lado AB congruente a DE Portanto
A B C congruente D E F ( A L A )
3º Caso - Se dois triangulos têm um lado , um angulo adjacente e o angulo oposto a esse lado respectivamente congruentes , então , são congruentes. L. A .Ao ( Ao= angulo oposto )
A|PLICAÇÕES DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS-Os angulos da base de um triangulo isosceles são congruentes
Em todo triangulo isósceles , a mediana relativa a base é altura e bissetriz relativa à base.
RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
1- Um angulo,externo de um triangulo é maior que cada um dos angulos internos não adjacentes.
Demonstração Construção auxiliar = Por B traço BE // AC
asserção razão
1- C=x 1.BE //AC e BC transversal , angulos alternos internos
2- b>x 2.BE semi-reta interna ao angulo b como se vê intuitivamente
3- b>C 3.Propriedade transitiva
4-A=y 4.BE ??AC e AB transversal, angulos correspondentes
5-b> y 5. BE é semi-reta interna ao angulo b
6-b>A 6.Consequências de 4 e 5
2- Se num triangulo dois lados são de medidas diferentes, então ao maior lado opõe-se o angulo de maior medida
3- A soma dos angulos internos de um triângulo = 180°
r// AB (A alterno ^x )
(B alterno ^y) sendo,
A=x B=y ( x + C+y = 180°)
r
Portanto A + B + C = 180°
Exemplo em aplicação -
Os vértices do triangulo são A B C ou B C A ou C B A .
Os Angulos  , ^B, ^C são ângulos internos do triangulo.
Um triangulo separa os pontos de um plano em duas regiões:
Uma convexa de pontos internos ( isto é ) a parte de dentro do triangulo
Outra convexa de pontos externos do triangulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIANGULOS:
Quanto aos lados ; O triangulo pode ser: escaleno, isósceles e equilátero.
Escaleno - Os três lados tem medidas diferentes .
Isósceles - Tem dois lados de medidas iguais .e a base diferente
Equilátero - os três lados têm medidas iguais
Quanto aos ângulos : acutângulo , obtusângulo, equiângulo retângulo
acutângulo - Os três angulos são agudos
obtusângulo- um angulo obtuso e outros dois agudos
equiângulo - os três ângulos são iguais
retângulo - um angulo reto e os outros dois agudos.
OUTROS ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
MEDIANA - Mediana de um triangulo é o segmento cujas extremidades são um vertice e o ponto médio do lado oposto.
Todas as três medianas do triangulo encontram-se num mesmo ponto O chamado BARICENTROP ponto médio de AC = mediana
N ponto médio de BC = mediana
M ponto médio de AB = mediana
ALTURA - A altura é a perpendicular que sai do vértice em direção ao lado oposto formando naturalmente um angulo de 90º ao se interceptar a esse lado ,o triangulo tem 3 alturas e o encontro delas chama-se ortocentro
Os lados do triangulos possuem respectivamente
medidas iguais. e os angulos internos são res-
pectivamente iguais.
PROPRIEDADES DE CONGRUENCIA -1- Se dois triangulos são congruentes , então , são congruentes os angulos opostos a lados congruentes e os lados opostos a angulos congruentes.
Na figura acima o angulo A é oposto ao lado BC angulo B oposto a AC Angulo C oposto a AB.
2- A congruencia é uma relação de equivalencia , isto é, valem as propriedades : Reflexiva , Simetrica e Transitiva.
Reflexiva - Todo triangulo é congruente a si mesmo.
Simétrica - Se um triangulo é congruente a um segundo , este é congruente ao primeiro.
Transitiva - Se um triangulo é congruente a um segundo e este é congruente a um terceiro, então o primeiro é congruente ao terceiro.
CASOS DE CONGRUENCIA
Nas verificações intuitivas ou racionais ( demonstrações) há necessidade de decidir se dois triangulos são ou não são congruentes, mas não se conhecem as medidas de todos os lados desses triangulos.
vejamos , então , os casos que podem ocorrer .
1° Caso - Se dois triângulos possuem dois lados e angulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes , então , são congruentes - L A L ( lado angulo e lado )
AC congruente a DF AB congruente DE Angulo A e Angulo D compreendidos ....
2º Caso- Se dois triangulos têm um lado e os angulos adjacentes a esses lados respectivamente congruentes, então , são congruentes - A LA ( angulo, lado e angulo )
 congruente a ^D
^B congruente a Ê
Lado AB congruente a DE Portanto
A B C congruente D E F ( A L A )
3º Caso - Se dois triangulos têm um lado , um angulo adjacente e o angulo oposto a esse lado respectivamente congruentes , então , são congruentes. L. A .Ao ( Ao= angulo oposto )
Em todo triangulo isósceles , a mediana relativa a base é altura e bissetriz relativa à base.
RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
1- Um angulo,externo de um triangulo é maior que cada um dos angulos internos não adjacentes.
Demonstração Construção auxiliar = Por B traço BE // AC
asserção razão
1- C=x 1.BE //AC e BC transversal , angulos alternos internos
2- b>x 2.BE semi-reta interna ao angulo b como se vê intuitivamente
3- b>C 3.Propriedade transitiva
4-A=y 4.BE ??AC e AB transversal, angulos correspondentes
5-b> y 5. BE é semi-reta interna ao angulo b
6-b>A 6.Consequências de 4 e 5
3- A soma dos angulos internos de um triângulo = 180°
(B alterno ^y) sendo,
A=x B=y ( x + C+y = 180°)
r
Portanto A + B + C = 180°
segunda-feira, 17 de dezembro de 2012
POLIGONAIS _ POLÍGONOS-DIAGONAIS ( 7° série)
POLIGONAIS- Consideremos no plano um conjunto finito de segmentos sucessivamente consecutivos e com dois consecutivos não colineares (não na mesma reta)
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Nas figuras C e D vê-se que a origem da poligonal coincide com a sua extremidade ,tem-se então as poligonais fechadas ou POLIGONOS. As demais são chamadas poligonais abertas.
REGIÕES: externa e região interna
PERÍMETRO - Numa poligonal ou num polígono a reunião dos lados chama-se perímetro.E a soma das medidas dos lados recebe o nome de medida do perímetro da poligonal ou do polígono.
POLÍGONO CONVEXO - possui vertices, angulos internos, angulos externos e diagonais.
CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS - Os polígonos se classificam segundo o numero de lados ou de angulos ( num poligono o numero de lados = numero de vertices= nº de angulos.
octógono =8 lados
triangulo = 3 lados eneágono = 9 lados
quadrilátero= 4 lados decágono = 10 lados
pentágono = 5 lados undecágono = 11 lados
hexágono = 6 lados dodecágono = 12 lados
pentadecágono = 15 lados
icoságono = 20 lados
NUMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO - Para descobrir quantas diagonais tem um polígono usamos a seguinte fórmula d= n(n-3): 2 d=diagonal n=numero de lado
assim um icoságono tem : 170 diagonais
d = n ( n - 3 ) : 2 d= 20( 20 - 3) : 2 d= 170
Se voce tem o numero de diagonais e quer saber qual é o polígono substitua (d ) pelo numero de diagonais e resolva a equação.
exemplo d=170 170 = n (n-3) : 2
170.2 = n(n-3)
340 = n² - 3n -n² +3n + 340 = 0 n'= -17 n''= 20
Portanto 20 é o numero de lados do polígono V= 20
Nas figuras C e D vê-se que a origem da poligonal coincide com a sua extremidade ,tem-se então as poligonais fechadas ou POLIGONOS. As demais são chamadas poligonais abertas.
REGIÕES: externa e região interna
PERÍMETRO - Numa poligonal ou num polígono a reunião dos lados chama-se perímetro.E a soma das medidas dos lados recebe o nome de medida do perímetro da poligonal ou do polígono.
POLÍGONO CONVEXO - possui vertices, angulos internos, angulos externos e diagonais.
CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS - Os polígonos se classificam segundo o numero de lados ou de angulos ( num poligono o numero de lados = numero de vertices= nº de angulos.
octógono =8 lados
triangulo = 3 lados eneágono = 9 lados
quadrilátero= 4 lados decágono = 10 lados
pentágono = 5 lados undecágono = 11 lados
hexágono = 6 lados dodecágono = 12 lados
pentadecágono = 15 lados
icoságono = 20 lados
NUMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO - Para descobrir quantas diagonais tem um polígono usamos a seguinte fórmula d= n(n-3): 2 d=diagonal n=numero de lado
assim um icoságono tem : 170 diagonais
d = n ( n - 3 ) : 2 d= 20( 20 - 3) : 2 d= 170
Se voce tem o numero de diagonais e quer saber qual é o polígono substitua (d ) pelo numero de diagonais e resolva a equação.
exemplo d=170 170 = n (n-3) : 2
170.2 = n(n-3)
340 = n² - 3n -n² +3n + 340 = 0 n'= -17 n''= 20
Portanto 20 é o numero de lados do polígono V= 20
sexta-feira, 16 de novembro de 2012
Angulos ( nivel 7ª serie do fundamental)
As semi-retas que têm origem no vertice do angulo e passam por um ponto interno são chamadas semi-retas internas ao angulo.
Na parte interna do angulo ´poderão ser traçadas várias semi-retas com origem em Ô, uma ao lado da outra são as semi-retas internas ao angulo.
MEDIDA DE UM ANGULO - O angulo é medido em graus sua unidade principal, e s sub divisão é minuto e segundo. Um grau tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos ex 5°12' e 13 "
O instrumento usual para medir um angulo é o transferidor que tem o grau como unidade principal
O grau de um angulo, portanto, é a sua medida ex. (AÔB) = 45°
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Se dois angulos adjacentes ex AÔB e BÔC são congruentes , então o lado comum OB recebe o nome de BISSETRIZ.
Portanto, bissetriz de um angulo é a semi-reta interna ao angulo que determina dois angulos adjacentes congruentes ( iguais ), (com a mesma medida)
Propriedade de verificação INTUITIVA. " TODO ANGULO POSSUI UMA ÚNICA BISSETRIZ"
TIPOS DE ANGULOS - Angulo reto = 90° Angulo agudo - 90° Angulo obtuso + 90°
Temos ainda considerando a medida em graus Angulo raso de 180° (meia volta) e 360°que é o angulo da volta inteira.
Angulos complementares quando a soma deles = 90° Angulos suplementares quando a soma deles = 180° e replementares quando a soma deles = 360°
Por exemplo : Calcular o angulo suplementar de 56°. 180° - 56° = 124° portanto o suplementar de 56° = 124° ( somando 124° + 56° = 180°)
PROPRIEDADE - Se dois angulos são congruentes, então os seus complementos são congruentes e, reciprocamente se dois angulos tem complementos iguais, são congruentes.
OBS-
Operação com os numeros medidas de angulo que incluem minutos e segundos:
20° 12' 30"" + 12° 12' 40" devemos colocar 20° 12' 30''
+ 12° 12' 40" = 32° 24' 70'' 70" é maior que um minuto portanto fica 32° 25' 10".
Multiplicação( 27° 12' 56") . 5 = 135° 60' 280'' neste caso devemos dividir 280 por 60 =4' sobrou 40" (soma-se os 4 ' com 60'= 64' ) divide 64' por 60' = 1° e sobra 4' e por fim soma-se o 1° com os 135° ficando 136° Resposta 136° 4' 40"
Divisão 12° 13' 15" : 5 = 2° 26' 3"e 3/5 do segundo
12° 13' 15" : 5 fica 2° sobram 2°(multiplica por 60, o resto ficando 120' +13'= 133' : 5= 26')
sobram 3 " + 15" = 18" : 5 = 3" sobram 3" ficando a sobra sobre 5 , isto é, 3/5
RETAS PARALELAS - Como estamos tratando somente de geometria plana , então definimos :
1- Duas retas são paralelas, se, e somente se , não têm ponto comum
Ver figura (1) .
Algumas propriedades;
a) Por um ponto fora de uma reta, existe uma paralela à reta dada.
b) Por um ´ponto fora de uma reta , a paralela à reta dada é única ( Postulado de Euclides ) fig(2)
Pelo ponto A não pertence a r , existe uma única reta s de modo que A pertence a s e s paralela a r
c) No plano , duas retas distintas paralelas a uma terceira são paralelas entre si
2- No plano , toda reta que encontra duas outras em pontos distintos chama-se transversal fig.(3)(t)
RETAS COPLANARES - As retas que estão contidas num mesmo plano são chamadas coplanares.Por exemplo as retas contidas num mesmo plano da figura ( 2) , (3).
RETAS CONCORRENTES - São retas coplanares que possuem um único ponto comum, e os angulos por elas formados são angulos iguais e opostos pelo vértice.( figura 4)
Resolução de um angulo OPV m= 2x + 10 n= 3x-20 ( fig 4)
Como são iguais temos 2x + 10 = 3x - 20
2x - 3x = -20 - 10 portanto -x = -30 logo x = 30
2x +10 = 2.30 + 10 = 70° (Cada um.)
Há um caso especial de retas concorrentes , em que os 4 angulos formados pelas retas são congruentes medindo 90° .Quando isso ocorre , dizemos que as retas r e s são perpendiculares.
Quando isso não ocorre, isto é, os 4 angulos não são iguais ou diferentes de 90°, então as retas são denominadas obliquas.
No exemplo dado tivemos dois pares diferentes n e m = 70° e os outros dois o.p.v. 110°cada.
ANGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS COPLANARES E UMA TRANSVERSAL
A Transversal também divide o plano em duas regiões, determinando angulos numa mesma região ou em regiões alternadas em relação a essa transversal
ANGULOS
CORRESPONDENTES e iguais entre si, (ex 1 = 5){ 1,5} {4,8}{2,6}{3,7} , um da região externa outro da região interna m relação as retas r e s .
ANGULOS ALTERNOS: EXTERNOS -(2,8) ( 1,7) são iguais ,tem a mesma medida em grau
ANGULOS ALTERNOS INTERNOS - ( 3,5) (4,6) também são iguais entre sí.
ANGULOS COLATERAIS Externos (1,8)(2,7) e os Internos ( 3,6) (4,5) estes angulos não são iguais tanto os internos como os externos são angulos com medidas diferentes entre sí, são angulos suplementares cuja soma = 180° ex Somando-se a medida do 4 com a medida do 5 = 180° 3+6= 180° 1+8= 180° 2 + 7 = 180°
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO PARALELISMO-Vamos considerar as retas r e s e uma transversal. t . figura ( 5)
Tomando como hipótese que os angulos correspondentes 1 e 5 são congruentes , vamos prover que as retas r e s são paralelas.
Se angulo 1 = 5 então r // s
Hipótese { 1 = 5
tese r // s Demonstração - Se r não fosse paralela a s então elas encontrariam-se em um ponto C, formando um triangulo ABC Nesse triangulo o angulo 1 seria externo e a propriedade de angulo externo teriamos 1 > 5 . Como partimos da hipótese que 1 =5 um absurdo.e s não seria // a r. Como isso não é verdade porque 1=5 temos que s//r.
Conclusão - Quando duas retas coplanares são cortadas por uma transversal , formando angulos correspondentes iguais , então essas retas são paralelas.
Consequencias - Angulos alternos - são iguais por que como vimos 1=5 ( são correspondentes)
Como 3 é o.p.v de 1 temos que 3 = 1 e = 5 ( fig 5 ) portanto r //s
Angulos alternos externos(1,7) também são iguais porque 1=5 ( correspondente) 5 O.P.V de 7
portanto são iguais .e as retas r e s são //
Já os angulos colaterais são suplementares (!,8), (2,7)(3,6) (4,5).e r//s
POSTULADO DOS ANGULOS - Na Geometria , torna-se necessário algumas vezes admitir uma afirmação sem que haja a preocupação de demonstrações ou prova desta afirmação. Esse tipo de afirmação ou proposta recebe o nome de POSTULADO.
Considere os angulos AÕB E A' ô' B'
OB//O'B'. E que esse dois angulos são congruentes.
A partir desse elementos , podemos enunciar um postulado conhecido como POSTULADO DOS ANGULOS :
Se dois angulos têm os lados respectivamente paralelos e de mesmo sentido , então eles são congruentes.
O postulado dos angulos é muito útil , por facilitar demonstrações. Esse postulado é equivalente ao postulado conhecido pelo nome de POSTULADO DE EUCLIDES: " Por um ponto P situado fora de uma reta r, pode -se trraçar uma e uma só reta paralela à reta r.( fig 2)
CONSEQUENCIA do POSTULADO do ANGULO -
Se os lados do angulos são paralelos e mesmo sentido os angulos são iguais
Se os lados do angulo são paralelos mas de sentido opostos também são congruentes
Se os angulos tem os lados respectivamente paralelos , um do mesmo sentido e outro de sentido oposto, então esse angulos são suplementares ver figuras.
Angulos e diagonais de um polígono
Angulos internos de um triangulo- A soma dos angulos internos de um triangulo é 180°
Hipotese { ABC- triangulo
Tese { a+b+c = 180°
Demonstração ; Pelo vértice A traça-se a única paralela à reta suporte do lado BC
ÂNGULOS EXTERNOS DE UM TRIANGULO- Em todo triangulo o angulo externo tem a medida igual a soma das medidas dos angulos internos que não são adjacentes a ele.
A verificação experimental pode ser substituida por uma DEMONSTRAÇÃO:
Problemas : 1) Nas figuras seguintes , calcule a medida dos angulos assinalados;
.jpg)
C) A bissetriz do angulo A de um triangulo ABC forma com a bissetriz do angulo externo adjacente ao angulo B um angulo de 40° . Se esse externo mede o dobro de A então quais os valores de a,b,c.
a=c= 80° e b=20°
ANGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
Considere um polígono de 6 angulos . Para calcular a soma das medidas desses angulos , vamos dividí-lo em triangulos a partir do vértice A
decágono= 10 angulos (n=10)
Solução - (10-2).180° = 1440° Qual é a medida do seu angulo interno?
Solução - 1440° : 10 = 144 °
Sabendo que a soma dos angulos internos de um polígono é 2520°, calcular o numero de lados desse polígono. Sn=( n-2). 180°
2520° = (n -2). 180°
2520°= 180° n - 360°
2880°= 180° n
16 = n Logo o polígono tem 16 lados
Um polígono é regular e a relação entre um angulo externo e o interno que lhe corresponde é de 1/5.Qual é esse polígono?
sábado, 10 de novembro de 2012
Introdução à geometria dedutiva ( nivel 7ª serie)
CONCEITO GEOMÉTRICO - Existem conceitos geométricos intuitivos ou conceito primitivos, (ponto, reta plano ) que nos foram apresentados intuitivamente , isto é, pelas idéias formadas em nossa mente através de observação e da experiencia. São conceitos sem definição.
Outros conceitos , como ângulo, bissetriz... foram apresentados por meio de uma definição através de conceitos já conhecidos. Ex a idéia de bissetriz de um angulo se forma em nossa mente através dos conceitos já conhecidos : angulo, semi-reta interna, ângulos congruentes ...
POSTULADOS e TEOREMAS - Enunciamos diversas propriedades geométricas. Muitas foram verificadas intuitivamente pela observação e pela experimentação em figuras, como por exemplo
" por dois pontos distintos passa uma e uma só reta ". Propriedades desse tipo chamam-se POSTULADOS ( ou axiomas ).
Existem propriedades desse que são verificadas através de conceitos ou propriedades já conhecidas Essas propriedades recebem o nome de TEOREMAS
Num teorema , há duas partes distintas : a que se supõe conhecida , chamada HIPÓTESE e a que se deve justificar, provar, demonstrar chamada TESE .
Os TEOREMAS em muitos casos vem enunciados ou podem ser enunciados na forma condicional: se. . . então ... A parte entre "se" e "então" constitui a HIPÓTESE com os dados e a parte que vem depois de " então" , a TESE ou que se quer provar.
Exemplo :
" Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes "
imagine, duas retas cruzadas sendo (o ) o ponto de encontro
H { AÔB e CÔD o.p.v
T{AÔB = CÔD
Na demonstração do teorema se utilizam conceitos ou ou propriedades já conhecidas . Neste caso :
AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares = 180°
BÔC e CÔD são adjacentes e suplementares = 180°
Propriedade da igualdade AÔB + BÔC =BÔC + CÔD cancelando na igualdade BÔC temos
AÔB =CÔD ( definição de angulos congruentes , portanto AÔB=CÔD
Em toda demonstração existe um encadeamento de afirmações que recebe o nome de dedução ou raciocínio dedutivo.
PREMISSAS FALSAS - Você já deve ter ouvido frases como :
" SE ESSA GAROTA É BONITA , ENTÃO MINHA AVÓ È UMA BICICLETA "
Esta é uma forma de se negar que a garota é bonita.Se reparar um pouco na sentença , vgerá que se distinguem duas partes. "SE ESSA GAROTA É BONITA..." Essa é a primeira parte e constitui a HIPÓTESE, ou a premissa da sentença toda.Isso quer dizer que a base da afirmação que se quer fazer. " MINHA AVÓ É UMA BICICLETA" Constitui a conclusão ou TESE da sentença. É claro que a conclusão é falsa. A minha avó ou a sua nunca será uma bicicleta.Todavia é uma forma de se dizer que a partir de uma premissa falsa conclui-se qualquer coisa ( verdadeira ou falsa )
Veja outros exemplos - " Se Pelé foi mau futebolista , então o Senhor Silvio Santos é o Presidente da República." Neste caso a hipótese é falsa e a tese ou conclusão também é falsa.
Veja exemplos
a) "Se um triangulo é isósceles( Premissa ou hipótese) , então os angulos da base são congruentes(tese ou conclusão )
b) " Se um triangulo ABC é retangulo em A , então a² = b² + c². ( Pitágoras ).
Ocorre que em Matemática as premissas e as conclusões são sempre verdadeiras , então a sentença final "se p então q" serão sempre verdadeira"Podemos , no entanto fazer alguns exercícios de LÓGICA, semelhantes aos exemplos anteriores , onde a premissa é falsa e a conclusão é verdadeira como a seguir. É claro que o raciocínio entre a premissa e a conclusão é LÓGICO e CORRETO, decorrente da aplicação de propriedades válidas para operações que se realizem.
a- Se 2=4 ( começamos com uma premissa falsa )
Multiplicando ambos os termos por um valor qualquer ( por 5 ), o que é válido em Matemática. obtemos: se 2=4 então 2.5 = 4.5 ou 10 = 20 De uma falsa premissa tiramos uma falsa conclusão.
b- Se 1 = -1 ( premissa falsa )
Elevando-se ambos os termos ao quadrado ( 1)² = (-1) ² fica 1=1.Agora de uma premissa falsa , tiramos uma conclusão verdadeira.
Destes fatos tiramos um resultado importante: de uma premissa falsa conclui-se tanto uma verdade quanto uma falsidade. A Matemática neste nível só admite em seu desenvolvimento e seu raciocínio que se tomem premissas verdadeiras para chegar , através de procedimentos lógicos , a conclusões verdadeiras.
Outros conceitos , como ângulo, bissetriz... foram apresentados por meio de uma definição através de conceitos já conhecidos. Ex a idéia de bissetriz de um angulo se forma em nossa mente através dos conceitos já conhecidos : angulo, semi-reta interna, ângulos congruentes ...
POSTULADOS e TEOREMAS - Enunciamos diversas propriedades geométricas. Muitas foram verificadas intuitivamente pela observação e pela experimentação em figuras, como por exemplo
" por dois pontos distintos passa uma e uma só reta ". Propriedades desse tipo chamam-se POSTULADOS ( ou axiomas ).
Existem propriedades desse que são verificadas através de conceitos ou propriedades já conhecidas Essas propriedades recebem o nome de TEOREMAS
Num teorema , há duas partes distintas : a que se supõe conhecida , chamada HIPÓTESE e a que se deve justificar, provar, demonstrar chamada TESE .
Os TEOREMAS em muitos casos vem enunciados ou podem ser enunciados na forma condicional: se. . . então ... A parte entre "se" e "então" constitui a HIPÓTESE com os dados e a parte que vem depois de " então" , a TESE ou que se quer provar.
Exemplo :
" Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes "
imagine, duas retas cruzadas sendo (o ) o ponto de encontro
H { AÔB e CÔD o.p.v
T{AÔB = CÔD
Na demonstração do teorema se utilizam conceitos ou ou propriedades já conhecidas . Neste caso :
AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares = 180°
BÔC e CÔD são adjacentes e suplementares = 180°
Propriedade da igualdade AÔB + BÔC =BÔC + CÔD cancelando na igualdade BÔC temos
AÔB =CÔD ( definição de angulos congruentes , portanto AÔB=CÔD
Em toda demonstração existe um encadeamento de afirmações que recebe o nome de dedução ou raciocínio dedutivo.
PREMISSAS FALSAS - Você já deve ter ouvido frases como :
" SE ESSA GAROTA É BONITA , ENTÃO MINHA AVÓ È UMA BICICLETA "
Esta é uma forma de se negar que a garota é bonita.Se reparar um pouco na sentença , vgerá que se distinguem duas partes. "SE ESSA GAROTA É BONITA..." Essa é a primeira parte e constitui a HIPÓTESE, ou a premissa da sentença toda.Isso quer dizer que a base da afirmação que se quer fazer. " MINHA AVÓ É UMA BICICLETA" Constitui a conclusão ou TESE da sentença. É claro que a conclusão é falsa. A minha avó ou a sua nunca será uma bicicleta.Todavia é uma forma de se dizer que a partir de uma premissa falsa conclui-se qualquer coisa ( verdadeira ou falsa )
Veja outros exemplos - " Se Pelé foi mau futebolista , então o Senhor Silvio Santos é o Presidente da República." Neste caso a hipótese é falsa e a tese ou conclusão também é falsa.
Veja exemplos
a) "Se um triangulo é isósceles( Premissa ou hipótese) , então os angulos da base são congruentes(tese ou conclusão )
b) " Se um triangulo ABC é retangulo em A , então a² = b² + c². ( Pitágoras ).
Ocorre que em Matemática as premissas e as conclusões são sempre verdadeiras , então a sentença final "se p então q" serão sempre verdadeira"Podemos , no entanto fazer alguns exercícios de LÓGICA, semelhantes aos exemplos anteriores , onde a premissa é falsa e a conclusão é verdadeira como a seguir. É claro que o raciocínio entre a premissa e a conclusão é LÓGICO e CORRETO, decorrente da aplicação de propriedades válidas para operações que se realizem.
a- Se 2=4 ( começamos com uma premissa falsa )
Multiplicando ambos os termos por um valor qualquer ( por 5 ), o que é válido em Matemática. obtemos: se 2=4 então 2.5 = 4.5 ou 10 = 20 De uma falsa premissa tiramos uma falsa conclusão.
b- Se 1 = -1 ( premissa falsa )
Elevando-se ambos os termos ao quadrado ( 1)² = (-1) ² fica 1=1.Agora de uma premissa falsa , tiramos uma conclusão verdadeira.
Destes fatos tiramos um resultado importante: de uma premissa falsa conclui-se tanto uma verdade quanto uma falsidade. A Matemática neste nível só admite em seu desenvolvimento e seu raciocínio que se tomem premissas verdadeiras para chegar , através de procedimentos lógicos , a conclusões verdadeiras.
Problemas do 2º grau
Agora voce vai aprender como se resolvem problemas do 2º grau, isto é, sentenças expressas em linguagem comum que, quando expressas em linguagem matemática , originam uma equação do segundo grau ou , então , um sistema do segundo grau. Fazendo uma recapitulação :
Um número , x
o dobro de um numero 2x
o triplo de um numero 3x
O quadrado de um numero x²
O quadrado do dobro de um numero (2x)²
Os quadrados de dois números inteiros e consecutivos x² e ( x + 1 )²
O quadruplo de um numero par 4 x²
O quadrado de um numero (2x)²
O quadrado de um numero impar ( 2x+1 )
O quadrado do inverso de um numero ( 1/x)²
A terça parte do quadrado de um numero ( x² /3)
A raiz quadrada de um numero Vx
Subtraindo do quadrado de um numero o quintuplo desse numero obtém-se 14. x²-5x = 14
A soma de dois números inteiros é igual a 8, e o produto desses números = 15 ( x+y=8) (x y = 15)
A soma de dois numeros é 5 e a soma dos quadrados desses números=13 (x+ y = 5 ) ( x² + y²)=13
A resolução de um problema -deve resolver a equação ou o sistema correspondente a equação ou ao sistema e discutir as raízes encontradas.
exemplo - As idades de dois irmãos são representadas por numeros tais que a soma deles é 12 e o produto é 35 .Determinar essa idades.
x+y = 12 x= 12 - y (substituindo esse x na segunda equação temos )
xy=35 ( 12-y ) y = 35 12y - y² = 35 - y² + 12y - 35 = 0
y' =7 y'' = 5 V = ( 5,7).
Um número , x
o dobro de um numero 2x
o triplo de um numero 3x
O quadrado de um numero x²
O quadrado do dobro de um numero (2x)²
Os quadrados de dois números inteiros e consecutivos x² e ( x + 1 )²
O quadruplo de um numero par 4 x²
O quadrado de um numero (2x)²
O quadrado de um numero impar ( 2x+1 )
O quadrado do inverso de um numero ( 1/x)²
A terça parte do quadrado de um numero ( x² /3)
A raiz quadrada de um numero Vx
Subtraindo do quadrado de um numero o quintuplo desse numero obtém-se 14. x²-5x = 14
A soma de dois números inteiros é igual a 8, e o produto desses números = 15 ( x+y=8) (x y = 15)
A soma de dois numeros é 5 e a soma dos quadrados desses números=13 (x+ y = 5 ) ( x² + y²)=13
A resolução de um problema -deve resolver a equação ou o sistema correspondente a equação ou ao sistema e discutir as raízes encontradas.
exemplo - As idades de dois irmãos são representadas por numeros tais que a soma deles é 12 e o produto é 35 .Determinar essa idades.
x+y = 12 x= 12 - y (substituindo esse x na segunda equação temos )
xy=35 ( 12-y ) y = 35 12y - y² = 35 - y² + 12y - 35 = 0
y' =7 y'' = 5 V = ( 5,7).
quarta-feira, 7 de novembro de 2012
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