A trigonometria e sua origem

     A palavra trigonometria deriva de dois termos gregos: "Trigonos" que significa "três pontos" e "metron" que significa "medir".
     No antigo Egito e na Babilonia, região onde hoje se localiza o Iraque, encontramos as primeiras sistematizações. Foi na Grécia, contudo, durante o grande desenvolvimento da cultura clássica, que se observou o mais significativo desenvolvimento da trigonometria.
     Hiparco de Nicea, por volta de 150 anos a.C. e Claudio Ptolomeu, entre os anos 90 e 150 d.C., são considerados os fundadores da Trigonometria. Ambos eram astrônomos, e preocupavam-se com a compreensão do posicionamento das estrêlas e com a elucidação dos movimentos dos principais astros. A   Hiparco deve-se, por exemplo,  a construção das primeiras tabelas trigonometricas e a divisão da circunferência em 360 partes iguaiscada uma delas denominada 'grau", além do primeiro instrumento de medição de ângulo e da invenção do astrolábio esférico.Talvez por isso seja chamado por muitos historiadores de " pai da Astronomia ".
Uma das grandes conquistas que contribuiram para as navegações e para a evolução da conpreensão do movimentos dos astros foi a possibilidade de determinar distâncias astronômicas e de calcular a paralaxe dos astros e estrêlas tomados como referenciais para os navegadores ou mesmo na medida de distâncias importantes para o estabelecimento dos primeiros mapas.
Chama-se paralaxe ao deslocamento aparente de um objeto devido ao deslocamento do observador.
O método mais comum para se medir grandes distâncias ou pontos inacessíveis é a triangulação.
Suponha por exemplo, que seja necessário saber a medida da distância de uma árvore localizada do outro lado de um rio que não podemos atravessar.

 Observe o triangulo ABC formado pela árvore no vértice A, e pelos pontos distintos de observação B e C.

podemos construir um triângulo BED semelhante a ABC traçando, convenientemente uma paralela ao lado AC . Se desejamos calcular por exemplo AC, a semelhança dos dois triangulos nos dará  

          AC =  (BC. DE) / BE

Observe que AC é uma distância impossível de ser medida, pois BC, BE, EC estão na mesma margem do rio. No caso da árvore, a paralaxe é indicada pela diferença das direções de observação dos pontos B e C

Para calcular a distância da terra a um astro, os astrônomos utilizam basicamente  o mesmo método que utilizamos para a árvore, ou seja, baseavam-se no conceito de paralaxe.

Utilizando o processo de cálculo das paralaxes e tomando como referência determinadas estrelas cujas distância aproximada da Terra já havia sido calculada, os cartógrafos conseguiam determinar grandes distâncias na superfície do planeta.

Razões Trigonométricas no triângulo retângulo       

Os triangulos ABC, ADE, AFG são semelhantes                                       

Portanto                                                                                                      

seus lados correspondentes são proporcionais ou seja:                              

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

BC/AC  = DE/AE =  FG/AG.                                                                 

                                                                                                           

Ô valor numérico dessas razões chama-se SENO do ângulo Â

Na segunda figura temos (a) para cateto oposto do ângulo Â

(c) para adjacente do ângulo A   e

(b) para hipotenusa. Daí vem :  

Sen  = BC/AC  ou Sen  =DE/AE ou  Sen Â=FG/AG                  

No segundo caso ainda da segunda figura temos c= cateto adjacente  portanto o Cos= c/b

 Cateto adjacente / hitpotenusa

E ainda temos a Tangente = cateto oposto / cateto adjacente

Num triangulo retangulo onde a=6      b=10   c=8 

Sen Â= 6/10 ou 3/5

Cos Â=8/10 ou 4/5.

Tg   = 6/8  ou 3/4

      

Lembrando que em se tratando de ângulos agudos temos os âgulos notáveis,

30°   45°  e  60°                30° sen=0,500        cos=0,866          tg = 0,577

                                         45°         0,707               0,707                 1,000

                                         60°         0,866               0,500                 1,732

Calcular o valor de X

 =45º     a=X    b=20        a =cateto oposto       b= hipotenusa

      

Sen  = a/b             0,707 = X/ 20          X= 0,707x20 = 14,14

Determinar o cos.

Â= 40°       x  cateto adjacente        b=hipotenusa = 10

Cos de 40° =0,766            Cos 40°= x/10         x= 10.Cos 40°           x=10 . 0,766    ou   x=7,66

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

ARCOS   - 

Chamamos de ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA AB cada uma das partes em que a circunferência fica dividida por dois de seus pontos 

ÂNGULO CENTRAL 

É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados são raios dessa circunferência.

OBS- A medida do ângulo central é igual a medida do arco de circunferência.

COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Consideremos uma circunferência de raio   r

Cortando a circunferê4ncia e esticando a linha que a representa, obtemos um segmento  AB

A medida do segmento AB representa o comprimento da circunferência e é  dado por 

                                            C= 2r.(pi)

UNIDADES PARA MEDIR ARCOS

GRAU

Um GRAU é definido como a medida do ângulo central submetido por um arco igual a 1/360 da circunferência que contém o arco. Indica-se  1°

Um MINUTO é igual a 1/60 do grau. (Indica-se  1´ )

Um SEGUNDO é igual a 1/60 do minuto ( indica-se 1´´ )

Então podemos dizer que um arco de uma volta mede 360°

RADIANO

O RADIANO ( simbolo rad ) é definido como a medida de um ângulo central submetido por um arco igual ao  raio da circunferência que contém o arco.

Como a medida de uma circunferência ( ou arco de uma volta ) mede  2 (pi) rad .ou 360° podemos estabelecer entre as unidades  as relações

       360° = 2(pi)rad         ou       180° = (pi) rad.

Exemplo:

 Expressar 300° em rad                180°        (pi)   rad

                                                    300°         X                                   180/300 = (pi)/ x  

                                                                                                                 x= 5(pi)rad / 3

Simples regra de 3.

Exemplo - Expressar 22° 3O´   em rad

Resolução 

Vamos transformar 22° 30´  em minutos

22° . 60` + 30 = 1350 minutos

transformando 180° em minutos + 10 800´       armando uma regra de 3  temos x=(pi)/8 rad.

Expressar em graus

10 (pi)/3 rad          10 . 180 : 3     x= 600°

(pi)/4 em graus                    180 : 4 = 45°  

O COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

S= comprimento do arco            m= medida do ângulo central           r= raio

                                                obs- a medida do ângulo central ( rad)

                             S= m .r

Exemplo - Numa circunferência de raio = 30 cm, qual é o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 60°

m=60° = 180/3 rad                      r=30cm

S = 10 (pi )  cm     S = 10 . 3,14 = 31,4 cm.

           

CIRCUNFERÊNCIA  TRIGONOMÉTRICA     ou CICLO TRIGONOMÉTRICO

Figura a) A sentido ante horário B  ( positivo )

Figura b) sentido horário A para B ( negativo )

 Figura D)  0° - 0 rad -                                   Arcos congruos - Um angulo de 1 volta = 360° 

                90°- 1/2 rad                                    Se tivermos um angulo de 500°: 360°=1 volta e

               180°- 1 rad                                                                                  sobra 140° então

               270°-3/2 rad                                        o ângulo de 500° graus é congruo de 140°

               360°-2 rad.                                      Quando a medida do angulo é dada em radianos, convertemos essa medida para graus e só aí procederemos como no ex. anterior.

N° trigonometrico - Seno ( sen) de um arco

localiza-se na ordenada 0 y  e chama-se sen de X

OBS- nos quadrantes temos    Seno 0°=0    Sen 90° =1    Sen 180° =0             Seno 270°=-1      

                                                Cos 0° =1    cos 90° =0     cos de 180°= -1      Cos   270°=0

           

O cosseno ( cos) de um arco localiza-se na abscissa 0X  e chama-se cos de X

Nota_ o arco de 360° ou 2 rad  é congruo do arco 0°  logo  Sen 360° = Sen de 0° = 0

                                                                                             Cos de 360°=cos de 0° = 1

VARIAÇÂO DO SINAL

Sen x e cos x no    I quadrante são positivos            No III quadrante sen e cos são negativos    

No II quadrante sen positivo e cos negativo                                    

                                                                                 No IV quadrante Sen  negativo

                                                                                                      Cos positivo

                  

 

O sen de 30° =1/2        cos 30/ raiz de 3 : 2                   

O sen de 60°= raiz de 3:2   o cos de 60° é = 1/2

O sen de 45° = raiz de 2 :2  o cos de 45° é = Raiz de 2 : 2

RELAÇÕES  FUNDAMENTAIS

sen²x + cos² x = 1

Tangente de um arco = sen x : cos x

Cotangente  de um arco = cos x : sen x

cossecante x = 1 : sen x

secante = 1 : cos x

RELAÇÕES DERIVADAS

sec² x= 1+ tg²x

cossec²x+ 1 + cotg²

REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE

Se x é um arco do 2° quadrante, então (180-x) será um arco do 1° quadrante.

Arco do 3° quadrante então (x-180) será um arco do 1° quadrante

Arcos do 4° quadrante então (360° - x)   será um arco do 1° quadrante.

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMETRICAS 

Fómulas da adição

Sejam a  e  b dois arcos positivos, do 1° quadrante, cuja soma ainda pertence ao 1° quadrante:

Valem para esses arcos as seguintes identidades:

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS

Sen (a+b) = sen a  . cos b+ sen b . cos a

Sen (a-b) = sen a   . cos b - sen  b . cos  a

Cos ( a+b ) = cos  a .  cos  b - sen  a. sen  b

cos ( a-b ) = cos  a  -  cos  b + sen a . sen b

tg ( a+b ) = ( tg a + tg b )  : (1 - tgt a . tg  b)

tg ( a- b) =( tg a - tgb ) :  ( 1 + tg  a  .  tgb )

CONSEQUÊNCIAS DAS FORMULAS DE ADIÇÂO

Sen 2a = 2 . sen a . cos a

cos  2a = cos² a - sen² a

tg 2a = ( 2 tg a :: ( 1 - tg² a )

FÓRMULAS DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

sen m + sen  n = 2 sen (m+n) : 2  . cos (m-n) : 2

sen m - sen  n = 2 . sen (m-n) :2 . cos ( m+n ) : 2

EQUAÇÔES TRIGONOMÉTRICAS

Toda equação em que figura uma função trigonométrica , com arco descomhecido, recebe o nome de equação trigonométrica

Assim são equações trigonométricas:

sen  x  = 0

sen x  = 1/2

2sen x - cosec x =  1

cos ( 2x - Pi/2 ) = 1

Sen x . tgx + 2 cos x = 2

sen 2x + 1 = 0

Chama-se solução de uma equação trigonométrica os valores da variável , caso existiam, que satisfazem  a equação dada. 

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DA FORMA

sen x = m, com -1< m < 1

ex.      Resolver a  equação sen x =1 , com 0< x<2 pi

Resolução

1=sen pi/2                OBS não esquecer que (pi) em trigonometria = 180°

                                                                 e  (pi) em geometria = 3,14...

daí sen x =1

            1=sen (pi/2 )  

portanto  a solução da equação é pi/2                   S= { pi/2 }

RESOLVER A SEGUINTE EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA COM AUXÍLIO DE UMA DAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DADAS

2 sen² x -5 sen x +3 = 0, com 0< x <2pi

Esta equação é de 2º grau em sen x

a= 2

b= -5 

c= 3                       delta = 1        x, =3/2       x,, =1

x, não convém porque  pois -1 < sen x < 1

O valor que satisfaz é  1   = x,,      sen  x =1

                                                       1= sen pi/2           portanto a solução é  PI/2    

INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Resolver a inequação sen x > 0 para 0 < x < 2 pi                  Observando a figura vemos que a solução da inequação é   S= { x / 0 < x< pi }

 .
Vamos estudar a variação da FUNÇÃO sen x  com x variando no intervalço [ 0, 2pi] sempre no sentido anti- horário, neste exemplo
O gráfico da função seno é chamado de senóide.
O gráfico continua à direita de 2 pi e à esquerda de   0 ( zero).
A função seno é positiva para valores de 1º e 2º quadrantes e é negativa para valores de 3º e 4º quadrantes.
No 1º quadrante: x cresce de 0 a 2/pi      seno x cresce de  0 a 1
No 2º quadrante x cresce de pi/2 a pí      seno   x  decresce de 1 a 0
No 3º quadrante x cresce de pi a 3 pi/2   seno   x  decresce de 0 a -1
No 4º quadrante x cresce de 3pi/2 a 2 pi  seno x   cresce de 0 a -1
O dominio da função seno  x é o conjunto dos números reais, isto é, D =R
A imagem da função seno x é o intervalo [ -1,+1], isto é  , -1 < seno x < 1  ( menor ou igual )

Resolvendo um problema
Determinar  K para que exista O ARCO QUE SATISFAÇA A IGUALDADE
SEN  X = 2K - 5
Resolução - devemos ter -1 < ou = sen  x < ou = 1 substituindo temos:
-1 < 2k -5 < 1                ( obs  < ou =)
-1 +5<2k <1+5   
4 <2k<6
2 < k<3           Resposta   S= { x que pertence R/ 2 < K < 3}

PERÍODICIDADE  da função do seno

Observando a sinuosidade do seno em seu gráfico notamos que a partir  de 2pi a função seno repete seus valores
As funções que repetem seus valôres  são chamadas FUNÇÕES PERIÓDICAS ; portanto a função do seno é periódica. e nesse caso  p = 2pi.

  (P = período)

Construir o gráfico dafunção y =2sen x, dando o domínio, a imagem eo período

Resolução 

Tabelando a função temos 

x           sen  x              2 sen x           y            

0             0                    2.0                0

pi/2         1                    2.1                2 

pi            0                    2.0                0

3pi/2      -1                   2.(-1)           -2

2pi          0                   2.0                 0

Estudo do Co-seno 

Definição 

Consideremos o ciclo trigonométrico no qual marcaremkos o ponto M que é a imagem , no ciclo do niumero real x e seja OM, a abscissa do ponto M em relação ao plano cartesiano.

Conclusão - Dado um arco AM , de medida x radianos, definimos como coseno x a abscissa do ponto M e representamos cos x = OM

                   Definimos função coseno como função f que associe a cada número real OM = mcos x e indicamos           f(x) = cos x ou y = cos x

Problemas - Calcular o valor de cos 1830°

1830 : 360° = 5    com sobra de 30°

Então 1830° = 30° + 5.360°

Cos de 1830 °  = cos de 30°    = Raiz de 3 : 2

Calcular o valor do cos 13 pi

13pi/2pi = 13/2 + 1/2 = 6 + 1/2

13 pi = ( 1/2 + 6 ) 2pi = pi +6 . 2 pi

Então cos 13 pi = cos pi = 1

Gráfico 

O gráfico da função  coseno  x     varia no intervalo [ o, 2pi ] o ponto se movimenta sobre o ciclo no sentido anti- horário.
A cosenoide, continua à direita de 2 pi e a esquerda de 0 ( zero)

Observando o gráfico temos :

A função coseno é  positiva para valores do 1° e 4° quadrantes e é negativa para os valores 2º
e 3° quadrantes.     
No 1° quadrante x cresce de 0 a pi/2 - cos x decresce de 1 a 0
No 2° quadrante x cresce de pi/2 a pi  -  cos x decresce de 0 a -1
No 3° quadrante x cresce de pi a 3pi/2 - cos x cresce de -1 a 0
No 4° quadrante x cresce de 3pi/2 a 2pi - cos x cresce de 0 a 1
O domínio da função cos  x é o conjunto dos numeros  reais, isto é, D=R
A imagem da função cos x é o intervalo [ -1,1]  , isto é -1 < ou = cosx<ou = +1.

Exemplo - Determinar  K de modo que se tenha cos x = 3K +4

Devemos ter : -1 <ou = cos x <ou = 1                 (  vou usar < no lugar de <ou= só para não escrever ou=)

-1 < 3K +4 <1
-1-4<3K < 1-4
-5 < 3K <-3
-5/3 < K < -1                                           S= { K   E    R   /  -5/3< K<-1 }
                                                                                                     <ou=
Tabelando uma função:
 x   cox   3cos x       y           Exemplo: ( Construir o gráfico y= 3 cos x dar dominio, imagem e periodo)
0        1       3.1        3     

pi/2    0       3.0        0

pi     - 1       3.-1     -3

3pi/2  0       3.0        0              o gráfico formará uma cosenoide iniciando em +3 descendo ao 0 em (pi/2) a

2pi      1       3.1       3                                                   -3 em ( pi )   a zero em (  3/2pi ) e  a +3 em ( 2pi)

                                                 D=R            Im= [-3.3 ]       P= 2pi

.

ESTUDO DA FUNÇÃO DA TANGENTE  

         Definição-Na figura (   1  ) Consideremos o ciclo trigonometrico no qual marcamos o ponto M que é a imagem , no ciclo, do número real x e seja T a intersecção da reta OM com o eixo t das tangentes. 

Vemos que o ponto T não existe quando M = B ou M = B' e que  a medida do segmento AT é função de x, isto é, a cada x diferente de pi/2 + K( pi ) corresponde um único número AT. 

Então 

a) Dado um arco AM , de medida x radianos , com x diferente Pi/2 + kPi, definimos como tangente de x a medida algébrica do segmento AT e representamos tg x = AT ( x diferente pi/2 + k pi ) 

b) Definimos função tangente como a função f que associa a cada número real x ( com x diferente pi/2 + kpi )    o número real AT = tg x e indicamos f(x) = tg x ou y=tg x.

Vamos observar agora a figura -2

triangulo OAT semelhante ao triangulo OMM¹

AT/MM¹ = OA/OM¹

AT/Sen x = 1/ Cos  x

AT= sen x/ cos x

Então podemos dizer que :

Função tangente é a função f que associa a cada número real x ( com x diferente pi/2 + kipi ) o número real AT = tg x = sen x/ cos x

obs- a restrição x diferente de pi/2 + kpi é para excluir os valores de x para os quais  cos x = 0 ) 

Observação importante :

Fig 3 - Esta nova definição tem a vantagem de ser aplicada de uma forma mais completa PORQUE AGORA PODEMOS FALAR EM TANGENTES DE ANGULOS MAIORES DE 90° OU  360°

E ATÉ DE ANGULOS COM MEDIDAS NEGATIVAS.

Observe agora, usando a definição

tg 0° = sen 0°/ cos 0°= 0/1 = 0

tg 90°= tg pi/2 =  sen pi/2 dividido  por cos pi/2   = 1/0 ( não é  definida )

tg 180° tg pi = sen pi / cos pi = 0/-1 = 0

tg 270° = tg 3pi / 2   =  sen 3pi/2 dividido por cos  3pi /2 = -1/0  ( não é definida )

tg 360° = tg 2pi = sen 2pi dividido por cos 2 pi = 1/0 = 0

outros valores já vistos anteriormente como tg 30° raiz de 3 dividido por 3

de 45° =1  ,   de 60°  = raiz de 3 ...

Observe os seguintes exemplos:

determinar o valor da tangente de 1845°

  

1845: 360 = 5  e sobram 45°       então 1845° = 45° + 5 . 360°

Determinar o valor de tg 10 pi

10pi/2pi= 5             10pi= (5) . 2pi = 0 + 5 . 2pi

Então tg 10 pi = tg 0 =0

Estudo da variação no gráfico

Vamos estudar a variação da função tg x com  x  variando no intervalo [ 0,2pi], isto é , o ponto M parte do ponto A e se movimenta sobre o ciclo no sentido anti- horário.

O gráfico da função tangente é chamado tangentóide

O gráfico da função tangente continua à direita de 2pi e à esquerda de 0 (zero)

Analisando o grafico observamos que:

A função tangente é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e é negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.

 No primeiro quadrante : x cresce de zero a pi/2   tg x cresce de 0 a + infinito

No 2º quadrante x cresce de pi/2 a pi : tg x cresce de - infinito a zero

No 3º quadrante x cresce de pi a 3/2 pi : tg x cresce de zero a + infinito

4º quadrante x cresce de 3/2pi a 2 pi : tg x cresce de - infinito a zero. 

O dominio da função x é D= { x pertence a R / x é diferente de pi/2 + K (pi) com K Pertencente a  Z

A imagem da funçãqo tg x é o intervalo ] - infinito , + infinito[ , isto é - infinito < tg x< + infinito. 

Periodicidade é ( pi )

O bserve que de pi   em    pi    a função tangente repete seus valores portanto o período da função tangente é pi  ( p = pi )

                          

TRIANGULOS   QUAISQUER :

Para desenvolver o estudo sobre as relações trigonométricas num triangulo qualquer  é importante rever como se classificam os triangulos quanto as medidas dos lados e dos angulos 

Quanto aos lados, o triangulo pode ser:

equilátero ( se os tres lados tiverem a mesma medida ou medidas iguais).

isosceles ( se dois lados tiverem medidas iguais) 

escaleno  ( se os tres lados tiverem medidas diferentes )

Quanto aos angulos, os triangulos podem ser 

acutangulo ( se tiver os tres angulos agudos)

Retangulo ( se tiver um angulo reto )

obtusangulo ( se tiver um angulo obtuso )  

   TEOREMA DOS SENOS, DOS COSSENOS  E DA ÀREA DE UM TRIANGULO  QUALQUER

Vamos considerar um triangulo , não retangulo, qualquer, ABC

a/ sen  =     b/ sen ^B     =  c/ sen C

A área de qualquer triangulo ABC pode ser assim determinada:

Sabemos que a área = 1/2 a.h     (I)

Considerando o tri8angulo AHC temos

Sen ^C = h/b      h= b. sen ^C    (II)

Das relações ( I) e (II) temos o teorema da área

               Àrea = 1/2 a.b.sern ^C

De forma análogo podemos fazer de um triangulo de lados a,b,c que

Àrea = 1/2 b.c sen Â

Àrea = 1/2 a.c.sen ^B.

Embora a demonstração tenha sido feita num triangulo acutangulo , ela também pode ser verificada nos triangulos obtusangulo e retangulo.

SAIBA UM POUCO MAIS

O LUGAR DA TERRA  ( Fonte : História do Pensamento , NOVA CULTURAL )

Por muitos séculos a Terra ocupou o lugar central no Universo. Sabemos que essa hipótese ultrapassada alimentou deusesw, e vários preconceitos que impediram a ciencia , durante séculos de caminhar.

" A maldição era a pena sofrida por quem tentasse retirar a Terra dessa posição."

No século III a.C. Aristarco de Samus , matemático e astrônomo, fez essa tentativa, aliás mal sucedida.

Sòmente 18 séculos depois, Nicolau Copérnico ( 1473 -1543) conseguiu, postumamente faze-lo.

 Um dos estudos feitos por Aristarco foi sobre a distância entre a Terra eo Sol.Considerando as condições da época, foi de grande engenhosidade o cáculo feito por ele. Em suas observações, percebeu que o centro da Lua , em quarto crescente, o centro do Sol e um observador na Terra representam 3 pontos que se forem ligados , formam um triangulo retângulo  SLT

Seus cálculos levaram-no  a concluir que a distância da Terra ao Sol  (TS) é 18  a  20 vezes a distância da Terra à Lua  ( TL ).

Cálculo esse que, embora perfeito, necessita do conhecimento sobre     S E N O S

Sen  x  = TL / TS     ou

1/ sen x = TS /TL

Para que  1 / sen x  assuma um valor entre 18 e 20  Aristarco utilizou para  o ângulo de medida  x o complementar de ^T , ou seja 3°

1 / sen 3° = 19,11

Embora a distância esteja correta, o ângulo ^S é diferente dos 3° adotados, o seu valor efetivo é 10'. Para isso, deve ter contribuído a precariedade de instrumentos .      

    

Exemplo :

1º Reduzir ao 1º quadrante o arco de 2/3 pi radianos.Considera-se o arco pi - 2/3 pi =pi/3

  E temos  Seno 2/3pi = seno pi/3  cos 2/3pi= - cos pi/3    tg 2pi/3 = - tg pi/3

As demais linhas é fácil de calcular .

2ºReduzir ao 1º quadrante o arco 210°

Considera-se o arco de 210° - 180°= 30°

. Temos seno 210° =  -seno 30° cos 210° = - cos  3o°  tg 210° = tg 30°

3º Reduzir ao 1º quadrante  o arco 320 grados.

Considera-se o arco de 400 gr - 320gr = 80 gr. temos  portanto  temos seno 320 gr - - seno 80 gr   cos 320 gr = cos 80 gr e tg 320gr =  - tg 80 gr.

4º Reduzir ao 1º quadrante o arco de 930

Toma-se o arco congruo de 930 menor do que 360°, que é 210, pois 930° = 2 X 360° + 210°

E procede-se como no 2º exemplo

Seno 930° =  seno de 210° =   -  seno de 30°

cos  930 ° = cos 210° = - cos 30°

tg 930° = tg 210° = tg 30°

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS : 

1- Calcular o valor numérico da expressão:

y= cos 4x + seno 2x + tg 2x- sec 8x      para x = pi/2

portanto y = cos 2x + seno pi + tg pi - sec 4pi = 1 + 0 + 0 - 1 = 0

2- Reduza ao 1º quadrante cosec 480°    ( ESCOLA NAVAL -1952 )

Dividindo 480° por 360° = 1 e resto 120. Então 480° = 1 x 360 + 120 

portanto cosec 480° = cosec 120° = cosec ( 180 - 120 ) = cosec 60° 

3- Simplificar a expressão :   Y = numerador  tg( pi/2 + x) cos ( 3pi/2 - x ) cos - ( -x) sobre 

                                                   denominador  cot( x+ x ) seno (3pi/2 + x )    

(Obs) Y = (uma fração ) simplificando a expressão já que se trata de uma fração sobra   Y = - seno  x

Cáculo das linhas trigonométricas dos arcos expressos pela relação  pi/n

TEOREMA - O seno de um arco positivo, menor do que meio pi radiano, é igual a metade da corda que submete o arco duplo . Seja um circulo trigonométrico de centro  O e AM¹ = a um arco desse circulo. Tracemos a corda M¹ M"" perpendicular ao diametro A A' Como todo diâmetro perpendicular a uma corda divide esta corda ao meio, então M'P = M""P.

Sendo AM' um arco = seno a = M1P = M1M""/2

e como M1 M"" é a corda que subntende o arco duplo 2a, então está demonstrado o teorema  

                                                               

CÁLCULO DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DOS  ARCOS pi/n.

Para calcular as linhas trigonométricas de um arco pi/n basta calcular o seno deste arco de acordo com o teorema anterior. Temos que o seno pi/n é a metade da corda do arco duplo 2pi/n, mas, a corda do arco duplo é o lado do polígono regular de n lados inscrito num círculo. E#ntãoseno pi/n = Ln/2 conhecendo o seno é fácil conhecer as demais funções.

APLICAÇÕES; 

1º - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS  do arco de 30°.

SENO 30° = seno pi/6 = R/2 = 1/2

portanto  cos de 30° = Raiz quadrada de 1-1/4 = V3 / 2 = e tangente  30° = V3/3 

2º -FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS do arco de 45°

sen 45° = sen pi/4 = L4/2 = R V2/ 2e tg 45° = 1

3º- FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS do arco de 60°

seno 60° = seno pi/3  = L3/2 =RV3/2 = V3/2

cos 60° = Raiz quadrada de (1-3/4) = 1/2   e tg 60° = V3

EXERCÌCIOS RESOLVIDOS

1º - Calcular a fração de denominador racional que é igual a co secante do arco pi/12, sabendo-se que o lado do dodecágono regular inscrito no círculo trigonométrico é (V6 - V2) / 2

sen pi/12 = L12/ 2 = (V6 - V2) / 4      maqs ,  cosec pi/12 =4/ (V6 - V2 )

portanto cosec pi/12= 4 ( V6 + V2)/ ( 6-2)  = V6 + V2

2º - Calcular o seno 690°

 Reduzindo ao 1º quadrante seno 690 = seno 360 = - seno 30° = - 1/2

3º - Calcular  y = 4 V3 . tg  150° + 3 seno 90° .tg 225° - 6 seno 330° + cos 270°

 y= 4V3 X( - tg 30°) + 3X 1 X ( tg 45°) - 6 ( - seno 30°) + 0 = 2  

     

Que é Geometria Analítica - René Descartes- Gráficos função linear e a linha reta.

        No ano de 1616, um pequeno aristocráta francês, de aparência franzina, metido em roupas de tafetá, preferívelmente verde, com um enorme chapéu emplumado, transpunha a entrada da Universidade da Poitiers, todo garboso de sí, pois tinha terminado o seu curso de Direito; seu nome  René Descartes.
         O jovem Descartes, estava disposto a " reformar o mundo", pelo menos no que tangia ao pensamento filosófico da época.
        Rejeitava por completo a filosofía existente, pois segundo suas palavras " todas as coisas mais absurdas ou fantásticas tinham já sido enunciadas por um ou por outro filósofo.".
       A matemática era a ciência que mais lhe agradava, porque nela ele achava um método dedutivo perfeitamente desenvolvido.
      O mundo científico, na época de Descartes se achava em plena expansão; Kleper estudava leis que regem os movimento dos planetas, Galileu desenvolvia a mecânica, William Gilbert publicava os resultados de seus estudos sobre o magnetismo, na Medicina William Harvey descobre a função do coração, como bomba propulsora do sangue.
     Fervilhava a Europa em novas idéias - era o " Renascimento" .
     Em meio a tamanha explosão de pensamento, Descartes chegou à conclusão de que era necessário uma norma diretiva e disciplinadora.
     No inverno do ano de 1619, apresenta uma sua monumental obra : " Discurso Sôbre o Método" , ou seja, Dissertação sôbre o método a se seguir, para o uso acertado da razão e da pesquisa científica da verdade"
     Essa obra contém um valioso trabalho matemático, que a nós interessa particularmente - " a Geometria  Analítica "

A Geometra Analítica

    Na obra de Descasrtes, a Geometria Analítica, foi escrita no último capítulo, cerca de 106 páginas.
    Em " La Geometrie" título original em frances, Descartes propunha uma idéia extraordinariamente simples,
     mas um tanto fecunda, de que um ponto, terá a sua posição, perfeitamente determinada por meio de um par de Números Reais: um número como medida de uma distância num eixo ( escala orientada) "horizontal", e o outro como medida de uma distância num eixo vertical.( lembramos aqui o que chamamos  de pares cartesianos x , y   ( a abscissa x e a ordenada  y )
     Tal sistema não é novo a quem já esteja acostumado a localizar uma cidade em um mapa.
     O eixo vertical é o meridiano que passa por Greenwich, e o horizontal é o Equador , o par de números , neste caso é constituído pela latitude e longitude do lugar.
     Este sistema de dois eixos , recebeu o nome de  "Sistema Cartesiano", em honra a Descartes, que assinava o seu nome em latim como " Cartesius "
     O Sistema  Cartesiano, estabelece portanto, uma correspondência biunívoca entre os ponto  P do pla
no e todos os pares de números reais (x;y)

Geometria  Analítica

Definição - A geometria Analítica é o ramo da matemática  que tem por finalidade o estudo da Geometria por métodos que se revestem de forma algébrica.


INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL- Sabemos que um sistema ortogonal é constituido por duas retas  x    e  y, perpendiculares entre sí.
A reta x é chamada eixo das abscissas
A reta y é chamada eixo das ordenadas
O ponto O,  intersecção das retas x   e   y , é chamado  origem
Os dois eixos dividem o plano em 4 regiões chamadas de quadrantes.
Estabelecido o sistema, podemos identificar qualquer ponto do plano por meio de um par ordenado de numeros reais. Assim , dado um ponto P de um plano
- baixamos ou levantamos uma perpendicular  ao eixo x, terminando em um ponto M da coordenada  a
- baixamos ou levantamos uma perpendicular ao eixo y, terminando num ponto N da coordenada b

Para um ponto pertencente ao 1º quadrante, ele deve ser associado por dois numeros reais de zero a infinito positivo x, e de zero a infinito positivo y
Para ser do 2º quadrante  de zero a infinito negativo x e zero a infinito positivo y
Ao 3º quadrante ser de zero infinito negativo x e zero infinito negativo y
Ao 4º quadrante ser de zero  infinito positivo x e zero infinito negativo y.

Represente ao plano cartesiano ortogonal,  os pontos:
a) A (-1,4)            2º QUADRANTE            
b) B (2,-5)            4º QUADRANTE
c)C (3,3)               1º QUADRANTE
d)D (-2,-2)            3º QUADRANTE
e) E ( -3,2)            2º QUADRANTE


DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos  A (Xa,Ya )  e B (Xb, Yb)
 1º caso - AB fica paralelo a  abscissa X

 d= módulo (Xb - Xa)

2º caso - AB fica paralelo a ordenada Y

d= módulo (Yb - Ya)

3} caso - AB não é paralelo aos eixos

Neste caso AB fica obliqua e então torna-se a hipotenusa do triangulo retangulo  onde BC e AC serão os catetos
Em se tratando de um triangulo retangulo aplicamos o teorema de Pitágoras para a solução.
(AB)² = [ (BC)² +(AC)².

Obs- BC = (Yb-Ya)            AC= (Xb-Xa)

Ex- Represente os pontos A(7,-6) , e  B(2,6)

Sendo0 A ( 7,-6)        e B ( 2,6)
             A ( Xa,Ya)    e B (Yb,Ya)
Substituindo na expressão       
d =raiz quadrada  de{ ( 2-7)²+[ 6-(-6)]²
d=13

CASO PARTICULAR

Ponto médio- = Xm = (Xb+Xa) ;2       Ym= ( Yb+ Ya) : 2

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

A condição necessária e suficiente para que três pontos  A( Xa,Ya),  B(XbYb) e  C(XcYc)
sejam colineares ( alinhados) é que  o determinante seja = 0

                        Xa   Ya   1
            D   =    Xb   Yb  1      = 0
                        Xc   Yc   1        
      Se o determinante for diferente de zero teremos um triangulo  (se forem três os pontos)

Exemplo:

Verifique se os pontos A(2,1) , B(3,2), C(5,4) estão alinhados

Determinante =  2 1 1
                         3 2 1                 = -10-8-3+4 +5+12 = 0
                         5 4 1   
Como  D=0 , pela condição de alinhamento A,B,C estâo alinhados.

A RETA

-   EQUAÇÃO   GERAL DA RETA
Dados dois pontos A(Xa, Ya)  e  B (Xb,Yb)  consideremos o  ponto  P( x,y)

Se A, B, e P são colineares, então :

X   Y    1
Xa  Ya  1    =0           ( -XbYa - XYb -XaY+XYa+ XbY + XaYb =0
Xb  Yb  1                   X(Ya-Yb) + Y(Xb+Xa) + XaYb-XbYa =0
                                        a                      b            c      ou
                                        ax       + by   + c =0 
Essa expressão é chamada  EQUAÇÃO GERAL DA RETA que passa pelos dois pontos A e B.

Portanto essa equação representa uma reta.


CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DA RETA

1º caso  - a=0 by+c =0     y=-c/b

2º caso - b=0 ax +c =0      x= -c/a

3º caso- c=0     ax+by=0 ( 0,0) pertence à reta
Logo a reta passa pela origem
exemplo   x-y=0

Resolução que facilitará determinar a equação geral e a segmentária
A equação segmentária É   x/p + y/q = 1        sendo p=6   e   q=9

Temos os pontos  p abscissa do ponto de intersecção da reta r com o eixo X
                        e  q ordenada do ponto de in tersecção da reta r com o eixo Y

Isto significa que Q(0,q ) em Y e

                          P ( p,0) em  X.                   Equação segmentária = x/p+y/q = 1

                      Substituindo p e q temos            X/6 + Y/9 = 1
   e  a  geral é
                      O mmc entre 6 e 9 = 18           3x+2y=18    ou  3x+2y - 18 = 0

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAs

As equações que dão as coordenadas (x,y) de um ponto  da reta em função de uma terceira variável  t são chamadas equações paramétricas da reta.

             x= f'' (t)  e    y= f" (t)

Para escrevermos a equação geral da reta, a partir de suas equações paramétricas, basta isolarmos o parâmetro  t em cada uma das equações dadas e igualarmos as expressões obtidas..

Exemplo -
Dadas as equações paramétricas x= 2t-1  e  y=t+3, obter a equação geral da reta

x=2t-1         -2t=-x-1         2t= x+1      t= x+1/ 2  

y= t+3          -t= -y+3         t= y-3    

x+1/2 = y-3       x+1+2(y-3)     x+1 =2y-6

x-2y+7=0     ( equação geral )

DISTANCIA DE PONTO A  RETA

Dado um ponto P(Xo,Yo ) e uma reta de equação ax+by +c =0

Por   P traçamos a reta  s perpendicular a  r obtendo o ponto M, intersecção de  r  e   s   determinamos a distancia entre eles -

Um modo mais prático de calcularmos a distancia ente P e r é com o auxílio da fórmula

Dp,r = AXo + BYo +C  dividido por Raiz quadrada de (a² +b²)

OBS o resultado é um módulo por isso não importa que o resultado  da divisão seja negativo sempre será considerado positivo  como é o caso de seguinte exemplo
-5 = 5
Exemplo -
P(2,-4)      Xo =2   e   Yo =-4     a equação é 3X +4Y +5=0  sendo a=3    b=4       c=5

Substituindo na expressão  temos 
d= 3.2+4(-4) +5 = -5
         raiz de 3²+4² =5       I -5/5I  =- 1   resp. =1

AREA DE UM TRIÂNGULO

Sabemos da Geometria Plana que a ´[area de um triangulo é ( base X altura ) dividido por dois

Em GEOMETRIA ANALÍTICA podemos calcular a área de um triangulo com o auxílio da fórmula

S=1/2 determinante             é só conhecer os pontos  A(X1Y1),B (X2 Y2) C(X3Y3) Montamos  a matriz sempre a terceira colun a =1  e achamos o valor do  determinante e dividimos por dois.


A CIRCUNFERENCIA - EQUAÇÃO REDUZIDA
Considere o seguinte problema :
 Dada uma circunferêrencia  de centro C (a,b) e raio r , determine a equação dessa circunferencia . Da mesma forma que, dada uma reta do ponto cartesiano, a ela fica associada uma equação do tipo  ax+by+c=0, queremos determinar uma equação de modo que as coordenadas de todo ponto da circunferencia satisfaçam a essa equação

 Sabemos que um ponto genérico P(x, y) do plano cartesiano pertence à circunferência de centro  C(a, b) quando a distância entre o ponto e a circunferência é igual ao raio.

 Aplicando a fórmula da distancia entre dois ponto teremos R²= (x-a)² + ( y-b)²

 essa é a formula reduzida.

AQUAÇÃO NORMAL
A equação (x-a)²+ (y-b)²= r², com r> 0, representa o plano cartesiano,como já vimos , uma circunferência de centro C (a, b) e raio r.
Desenvolvendo os quadrados e agrupando os termos da equação ;
x²+y²-2xy -2 by +a²+b² -r² = o  ( equação normal) ou

x² +y² -2ax - 2by  c = 0   ( onde c= a²+b²-r² )

Observe na equação de circunferencia que:
1) é uma equação do 2ºgrau nas duas variáveis x   e   y
2) os coeficientes de x²  e  y²    são  iguais a  1
3)o termo in dependente na equação normal é   c= a²+b² - r²

Um ponto ou uma reta poderá ser uma secante  à circunferencia se a distância da reta ou do ponto  for < que o r
Será tangente se o ponto pertencer à circunferencia e nesse caso a distancia será  = ao ráio
Será exterior se a distancia do ponto ou da reta for maior que o tamanho do raio..

PROBLEMAS CLÁSSICOS DA RETA

1-Equação das retas que passam por um ponto
Seja a reta  Ax+By + C = 0    e M  (x' , y') um ponto dessa reta

Se a reta passa por M temos :
Ax' + By' + C = 0 Subtraindo membro a membro essas duas equações obtemos : A(x -x') + B (y -y')  = 0
que é a equação da reta que passa por  M
Se   B é diferente  de Zero, podemos escrevê -la       (y - y') = -A/B ( x - x')
ouy - y' = a ( x - x') que é a equação comumente usada. Exemplo
1º - Escrever a equação do feixe de retas que passam pelo ponto ( 2, 1 )
Temos     ( y - 1) = a ( x - 2 )
2º Escrever a equação da reta que passa no ponto  M( -1, 2 ) e forma um angulo de 45° com o semi eixo positivo dos  x.
 A equação do feixe da retas passando por  M é ;
y-2 = a ( x+1 )   se a inclinação é de 45° a = tg 45° = 1 e a reta pedida será  y - 2 = x + 1  ou y = x + 3

2- Equação das retas que passam por dois pontos:
Seja a equação geral da reta
 Ax + By + C = 0

M' ( x',y' )     e   M'' ( x" , y" )

A equação das retas que passam por M'  é :
y - y' = a ( x - x')   (I)         Se  a reta passa também por M" as coodenadas  ( x", y" ) devem satisfazer a equação  (I)
                        y" - y' = a ( x" - x' )     portanto  a = Numerador (y" - y') sobre  ( x" - x' )
substituindo esse valor de a  em (I) , temos        y - y' =( y" - y') sobre ( x" - x') multiplicado por ( x - x' )

EXEMPLO - Qual a equação de reta que passa pelos pontos ( 2,3 ) e ( -1, 1 )
  y-3 = (1 -3)   : ( -1 - 2 )  . ( x - 2 )    ou 2x - 3y +5 = 0
3 - OBSERVAÇÃO
A equação      y - y' = ( y" - y ): ( x" - x' ) . ( x - x' )  pode ser escrita também sob forma de determinante  assim                        | x         y      1   |
                                | x'        y'      1   | = 0    portanto  2x - 3y + 5 = 0
                                | x"        y"     1   |
REGRA PRÁTICA - ou ainda poderá ser escrita | x    x'   x"    x  |
                                                                            |y    y'   y"     y  |    = 0
cujo primeiro termo é calculado como foi ensinado no estudo da área do triangulo
Exemplo :
Achar a reta  que passa pelos pontos ( 2 , 3 ) e ( -1 , 1 )

| x  2  -1|
| y   3   1  = 0
                           ( 3x + 2 - y ) - ( 2y - 3 + x ) = 2x -3y + 5 = 0

POSIÇÃO RELATIVA A DUAS RETAS. PONTO DE INTERSEÇÃO.
Sejam duas retas representadas por suas equações
 Ax + By + C = 0
A'x + B'y + C' = 0
As coodenadas do ponto de interseção dessas retas devem satisfazer simultaneamente, as duas equações, logo é uma solução de (I ).
Se  A/ A' diferente de B/B', o sistema  ( I ) é determinado : e , se tem uma só solução , as retas dadas tem um só ponto em comum  - são incidentes  ou concorrentes .
Se A/A' = B/ B'= C/ C', o sistema ( I ) é indetermonado e as retas dadas tem uma infinidade de pontos em comum , são coincidentes.
Se A/A'= B/B' e diferente C/C', o sistema ( I ) é impossível e , se não tem solução , as retas dadas não tem ponto em comum - são paralelas.

CONDIÇÃO PARA QUE TRÊS RETAS SEJAM CONCORRENTES

Sejam as tres retas representadas pelas equações :
|A   B  C |
|A'  B'  C'|  = 0
|A" B"  C''|


EXERCÍCIOS - Diga a posição relativa  das retas representadas pelos pares de equações abaixo :

1- 2x -3y + 5 = 0             e   4x + 6 y + 10 = 0
2- 3x - 2 y  - 1=0             e   6x -  6 y -  2   = 0
3- 3 x +5 y - 2 =0             e   9 x + 15 y - 5 = 0        1- incidente       2 - coincidentes   3- paralelas.
Achar m para que
4- as retas 3x + 2my - 5 = 0 e  y = x + 1  sejam incidentes
5- as retas mx + 12y=6  e 3x + my = 3     sejam paralelas
6- as retas 2x - 5y +7 = 0, 7x -6y + 15 =0 e 3x + 4y +1 = 0 são concorrentes.

                                       ( 4-)  m diferente de - 3/2          (5-) m = -6            ( 6 -) m= -6    ( 7-) sim

ANGULO DE DUAS RETAS  
DEFINIÇÃO -Chama-se ângulo de duas retas oblíquas r  e  s  , de r para s, AO MENOR ANGULO , medido no sentido anti- horário, tendo r como lado inicial e s como lado terminal. Para dar maior destaque à definição indicaremos o angulo por Mrs
O angulo, dessas retas, de s para r será  Mrs. = 180 - Mrs           exemplo Msr=135°    = 180 - 135= 45°
Se as retas forem  paralelas o seu angulo é nulo, e se são perpendiculares seu angulo é um dos 4 angulos iguais ( retos)
TANGENTE DO ANGULO DE 2 RETAS- Sejam duas retas oblíquas r   e   s   cujas inclinações são
or  e os.e que não são perpendiculares ao eixo dos x.
O angulo Ors = Os -)r
portanto  tg Ors = tg (Os -Or)  = (tg Os - tg Or ) : ( 1 + tg Os . tg Or )
Mas a tg  Os = ms , e tg mrs, sendo mr e msr , respectivamente , o coeficiente s angulares de r   e  s . Então  tg Ors = (Ms - Mr) : ( 1 + ms.mr ) é a expressão da tangencia do angulo de 2 retas em f8unção de seus coeficientes angulares.
Se quizermos  calcular o angulo Osr teremos
tg Osr= tg( 180° -Ors )= - tg Ors portanto Tg  osr= ( mr- ms) : 1 + ms.mr

  

CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE 2 RETAS - Quando seus dois coeficientes angulares forem iguais
isto é, sejams e r duas retas  ´paralelas , porque ORS=0 ou tangente Ors = 0  e , da formula anterior
ms - mr = 0  potanto    mr = ms

CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO DE 2 RETAS. Se as retas  r   e   s  são perpendiculares
Ors do gráfico acima = Os - Or     0r portanto Os = 90° + O r

Então tg Os = tg ( 90° + Or ) = - Cot Or = - 1 / tg O,
           Ms = - 1 / mr
Então 2 retas são perpendiculares quando o coeficiente de uma delas for simétrico do inverso da outra.

Exercícios resolvidos :

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