No ano de 1616, um pequeno aristocráta francês, de aparência franzina, metido em roupas de tafetá, preferívelmente verde, com um enorme chapéu emplumado, transpunha a entrada da Universidade da Poitiers, todo garboso de sí, pois tinha terminado o seu curso de Direito; seu nome René Descartes.
O jovem Descartes, estava disposto a " reformar o mundo", pelo menos no que tangia ao pensamento filosófico da época.
Rejeitava por completo a filosofía existente, pois segundo suas palavras " todas as coisas mais absurdas ou fantásticas tinham já sido enunciadas por um ou por outro filósofo.".
A matemática era a ciência que mais lhe agradava, porque nela ele achava um método dedutivo perfeitamente desenvolvido.
O mundo científico, na época de Descartes se achava em plena expansão; Kleper estudava leis que regem os movimento dos planetas, Galileu desenvolvia a mecânica, William Gilbert publicava os resultados de seus estudos sobre o magnetismo, na Medicina William Harvey descobre a função do coração, como bomba propulsora do sangue.
Fervilhava a Europa em novas idéias - era o " Renascimento" .
Em meio a tamanha explosão de pensamento, Descartes chegou à conclusão de que era necessário uma norma diretiva e disciplinadora.
No inverno do ano de 1619, apresenta uma sua monumental obra : " Discurso Sôbre o Método" , ou seja, Dissertação sôbre o método a se seguir, para o uso acertado da razão e da pesquisa científica da verdade"
Essa obra contém um valioso trabalho matemático, que a nós interessa particularmente - " a Geometria Analítica "
A Geometra Analítica
Na obra de Descasrtes, a Geometria Analítica, foi escrita no último capítulo, cerca de 106 páginas.
Em " La Geometrie" título original em frances, Descartes propunha uma idéia extraordinariamente simples,
mas um tanto fecunda, de que um ponto, terá a sua posição, perfeitamente determinada por meio de um par de Números Reais: um número como medida de uma distância num eixo ( escala orientada) "horizontal", e o outro como medida de uma distância num eixo vertical.( lembramos aqui o que chamamos de pares cartesianos x , y ( a abscissa x e a ordenada y )
Tal sistema não é novo a quem já esteja acostumado a localizar uma cidade em um mapa.
O eixo vertical é o meridiano que passa por Greenwich, e o horizontal é o Equador , o par de números , neste caso é constituído pela latitude e longitude do lugar.
Este sistema de dois eixos , recebeu o nome de "Sistema Cartesiano", em honra a Descartes, que assinava o seu nome em latim como " Cartesius "
O Sistema Cartesiano, estabelece portanto, uma correspondência biunívoca entre os ponto P do pla
no e todos os pares de números reais (x;y)
Geometria Analítica
Definição - A geometria Analítica é o ramo da matemática que tem por finalidade o estudo da Geometria por métodos que se revestem de forma algébrica.
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL- Sabemos que um sistema ortogonal é constituido por duas retas x e y, perpendiculares entre sí.
A reta x é chamada eixo das abscissas
A reta y é chamada eixo das ordenadas
O ponto O, intersecção das retas x e y , é chamado origem
Os dois eixos dividem o plano em 4 regiões chamadas de quadrantes.
Estabelecido o sistema, podemos identificar qualquer ponto do plano por meio de um par ordenado de numeros reais. Assim , dado um ponto P de um plano
- baixamos ou levantamos uma perpendicular ao eixo x, terminando em um ponto M da coordenada a
- baixamos ou levantamos uma perpendicular ao eixo y, terminando num ponto N da coordenada b
Para um ponto pertencente ao 1º quadrante, ele deve ser associado por dois numeros reais de zero a infinito positivo x, e de zero a infinito positivo y
Para ser do 2º quadrante de zero a infinito negativo x e zero a infinito positivo y
Ao 3º quadrante ser de zero infinito negativo x e zero infinito negativo y
Ao 4º quadrante ser de zero infinito positivo x e zero infinito negativo y.
Represente ao plano cartesiano ortogonal, os pontos:
a) A (-1,4) 2º QUADRANTE
b) B (2,-5) 4º QUADRANTE
c)C (3,3) 1º QUADRANTE
d)D (-2,-2) 3º QUADRANTE
e) E ( -3,2) 2º QUADRANTE
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos A (Xa,Ya ) e B (Xb, Yb)
1º caso - AB fica paralelo a abscissa X
d= módulo (Xb - Xa)
2º caso - AB fica paralelo a ordenada Y
d= módulo (Yb - Ya)
3} caso - AB não é paralelo aos eixos
Neste caso AB fica obliqua e então torna-se a hipotenusa do triangulo retangulo onde BC e AC serão os catetos
Em se tratando de um triangulo retangulo aplicamos o teorema de Pitágoras para a solução.
(AB)² = [ (BC)² +(AC)².
Obs- BC = (Yb-Ya) AC= (Xb-Xa)
Ex- Represente os pontos A(7,-6) , e B(2,6)
Sendo0 A ( 7,-6) e B ( 2,6)
A ( Xa,Ya) e B (Yb,Ya)
Substituindo na expressão
d =raiz quadrada de{ ( 2-7)²+[ 6-(-6)]²
d=13
CASO PARTICULAR
Ponto médio- = Xm = (Xb+Xa) ;2 Ym= ( Yb+ Ya) : 2
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
A condição necessária e suficiente para que três pontos A( Xa,Ya), B(XbYb) e C(XcYc)
sejam colineares ( alinhados) é que o determinante seja = 0
Xa Ya 1
D = Xb Yb 1 = 0
Xc Yc 1
Se o determinante for diferente de zero teremos um triangulo (se forem três os pontos)
Exemplo:
Verifique se os pontos A(2,1) , B(3,2), C(5,4) estão alinhados
Determinante = 2 1 1
3 2 1 = -10-8-3+4 +5+12 = 0
5 4 1
Como D=0 , pela condição de alinhamento A,B,C estâo alinhados.
A RETA
- EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Dados dois pontos A(Xa, Ya) e B (Xb,Yb) consideremos o ponto P( x,y)
Se A, B, e P são colineares, então :
X Y 1
Xa Ya 1 =0 ( -XbYa - XYb -XaY+XYa+ XbY + XaYb =0
Xb Yb 1 X(Ya-Yb) + Y(Xb+Xa) + XaYb-XbYa =0
a b c ou
ax + by + c =0
Essa expressão é chamada EQUAÇÃO GERAL DA RETA que passa pelos dois pontos A e B.
Portanto essa equação representa uma reta.
CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DA RETA
1º caso - a=0 by+c =0 y=-c/b
2º caso - b=0 ax +c =0 x= -c/a
3º caso- c=0 ax+by=0 ( 0,0) pertence à reta
Logo a reta passa pela origem
exemplo x-y=0
Resolução que facilitará determinar a equação geral e a segmentária
A equação segmentária É x/p + y/q = 1 sendo p=6 e q=9
Temos os pontos p abscissa do ponto de intersecção da reta r com o eixo X
e q ordenada do ponto de in tersecção da reta r com o eixo Y
Isto significa que Q(0,q ) em Y e
P ( p,0) em X. Equação segmentária = x/p+y/q = 1
Substituindo p e q temos X/6 + Y/9 = 1
e a geral é
O mmc entre 6 e 9 = 18 3x+2y=18 ou 3x+2y - 18 = 0
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAs
As equações que dão as coordenadas (x,y) de um ponto da reta em função de uma terceira variável t são chamadas equações paramétricas da reta.
x= f'' (t) e y= f" (t)
Para escrevermos a equação geral da reta, a partir de suas equações paramétricas, basta isolarmos o parâmetro t em cada uma das equações dadas e igualarmos as expressões obtidas..
Exemplo -
Dadas as equações paramétricas x= 2t-1 e y=t+3, obter a equação geral da reta
x=2t-1 -2t=-x-1 2t= x+1 t= x+1/ 2
y= t+3 -t= -y+3 t= y-3
x+1/2 = y-3 x+1+2(y-3) x+1 =2y-6
x-2y+7=0 ( equação geral )
DISTANCIA DE PONTO A RETA
Dado um ponto P(Xo,Yo ) e uma reta de equação ax+by +c =0
Por P traçamos a reta s perpendicular a r obtendo o ponto M, intersecção de r e s determinamos a distancia entre eles -
Um modo mais prático de calcularmos a distancia ente P e r é com o auxílio da fórmula
Dp,r = AXo + BYo +C dividido por Raiz quadrada de (a² +b²)
OBS o resultado é um módulo por isso não importa que o resultado da divisão seja negativo sempre será considerado positivo como é o caso de seguinte exemplo
-5 = 5
Exemplo -
P(2,-4) Xo =2 e Yo =-4 a equação é 3X +4Y +5=0 sendo a=3 b=4 c=5
Substituindo na expressão temos
d= 3.2+4(-4) +5 = -5
raiz de 3²+4² =5 I -5/5I =- 1 resp. =1
AREA DE UM TRIÂNGULO
Sabemos da Geometria Plana que a ´[area de um triangulo é ( base X altura ) dividido por dois
Em GEOMETRIA ANALÍTICA podemos calcular a área de um triangulo com o auxílio da fórmula
S=1/2 determinante é só conhecer os pontos A(X1Y1),B (X2 Y2) C(X3Y3) Montamos a matriz sempre a terceira colun a =1 e achamos o valor do determinante e dividimos por dois.
A CIRCUNFERENCIA - EQUAÇÃO REDUZIDA
Considere o seguinte problema :
Dada uma circunferêrencia de centro C (a,b) e raio r , determine a equação dessa circunferencia . Da mesma forma que, dada uma reta do ponto cartesiano, a ela fica associada uma equação do tipo ax+by+c=0, queremos determinar uma equação de modo que as coordenadas de todo ponto da circunferencia satisfaçam a essa equação
Sabemos que um ponto genérico P(x, y) do plano cartesiano pertence à circunferência de centro C(a, b) quando a distância entre o ponto e a circunferência é igual ao raio.
AQUAÇÃO NORMAL
A equação (x-a)²+ (y-b)²= r², com r> 0, representa o plano cartesiano,como já vimos , uma circunferência de centro C (a, b) e raio r.
Desenvolvendo os quadrados e agrupando os termos da equação ;
x²+y²-2xy -2 by +a²+b² -r² = o ( equação normal) ou
x² +y² -2ax - 2by c = 0 ( onde c= a²+b²-r² )
Observe na equação de circunferencia que:
1) é uma equação do 2ºgrau nas duas variáveis x e y
2) os coeficientes de x² e y² são iguais a 1
3)o termo in dependente na equação normal é c= a²+b² - r²
Um ponto ou uma reta poderá ser uma secante à circunferencia se a distância da reta ou do ponto for < que o r
Será tangente se o ponto pertencer à circunferencia e nesse caso a distancia será = ao ráio
Será exterior se a distancia do ponto ou da reta for maior que o tamanho do raio..
PROBLEMAS CLÁSSICOS DA RETA
1-Equação das retas que passam por um ponto
Seja a reta Ax+By + C = 0 e M (x' , y') um ponto dessa reta
Se a reta passa por M temos :
Ax' + By' + C = 0 Subtraindo membro a membro essas duas equações obtemos : A(x -x') + B (y -y') = 0
que é a equação da reta que passa por M
Se B é diferente de Zero, podemos escrevê -la (y - y') = -A/B ( x - x')
ouy - y' = a ( x - x') que é a equação comumente usada. Exemplo
1º - Escrever a equação do feixe de retas que passam pelo ponto ( 2, 1 )
Temos ( y - 1) = a ( x - 2 )
2º Escrever a equação da reta que passa no ponto M( -1, 2 ) e forma um angulo de 45° com o semi eixo positivo dos x.
A equação do feixe da retas passando por M é ;
y-2 = a ( x+1 ) se a inclinação é de 45° a = tg 45° = 1 e a reta pedida será y - 2 = x + 1 ou y = x + 3
2- Equação das retas que passam por dois pontos:
Seja a equação geral da reta
Ax + By + C = 0
M' ( x',y' ) e M'' ( x" , y" )
A equação das retas que passam por M' é :
y - y' = a ( x - x') (I) Se a reta passa também por M" as coodenadas ( x", y" ) devem satisfazer a equação (I)
y" - y' = a ( x" - x' ) portanto a = Numerador (y" - y') sobre ( x" - x' )
substituindo esse valor de a em (I) , temos y - y' =( y" - y') sobre ( x" - x') multiplicado por ( x - x' )
EXEMPLO - Qual a equação de reta que passa pelos pontos ( 2,3 ) e ( -1, 1 )
y-3 = (1 -3) : ( -1 - 2 ) . ( x - 2 ) ou 2x - 3y +5 = 0
3 - OBSERVAÇÃO
A equação y - y' = ( y" - y ): ( x" - x' ) . ( x - x' ) pode ser escrita também sob forma de determinante assim | x y 1 |
| x' y' 1 | = 0 portanto 2x - 3y + 5 = 0
| x" y" 1 |
REGRA PRÁTICA - ou ainda poderá ser escrita | x x' x" x |
|y y' y" y | = 0
cujo primeiro termo é calculado como foi ensinado no estudo da área do triangulo
Exemplo :
Achar a reta que passa pelos pontos ( 2 , 3 ) e ( -1 , 1 )
| x 2 -1|
| y 3 1 = 0
( 3x + 2 - y ) - ( 2y - 3 + x ) = 2x -3y + 5 = 0
POSIÇÃO RELATIVA A DUAS RETAS. PONTO DE INTERSEÇÃO.
Sejam duas retas representadas por suas equações
Ax + By + C = 0
A'x + B'y + C' = 0
As coodenadas do ponto de interseção dessas retas devem satisfazer simultaneamente, as duas equações, logo é uma solução de (I ).
Se A/ A' diferente de B/B', o sistema ( I ) é determinado : e , se tem uma só solução , as retas dadas tem um só ponto em comum - são incidentes ou concorrentes .
Se A/A' = B/ B'= C/ C', o sistema ( I ) é indetermonado e as retas dadas tem uma infinidade de pontos em comum , são coincidentes.
Se A/A'= B/B' e diferente C/C', o sistema ( I ) é impossível e , se não tem solução , as retas dadas não tem ponto em comum - são paralelas.
CONDIÇÃO PARA QUE TRÊS RETAS SEJAM CONCORRENTES
Sejam as tres retas representadas pelas equações :
|A B C |
|A' B' C'| = 0
|A" B" C''|
EXERCÍCIOS - Diga a posição relativa das retas representadas pelos pares de equações abaixo :
1- 2x -3y + 5 = 0 e 4x + 6 y + 10 = 0
2- 3x - 2 y - 1=0 e 6x - 6 y - 2 = 0
3- 3 x +5 y - 2 =0 e 9 x + 15 y - 5 = 0 1- incidente 2 - coincidentes 3- paralelas.
Achar m para que
4- as retas 3x + 2my - 5 = 0 e y = x + 1 sejam incidentes
5- as retas mx + 12y=6 e 3x + my = 3 sejam paralelas
6- as retas 2x - 5y +7 = 0, 7x -6y + 15 =0 e 3x + 4y +1 = 0 são concorrentes.
( 4-) m diferente de - 3/2 (5-) m = -6 ( 6 -) m= -6 ( 7-) sim
ANGULO DE DUAS RETAS
DEFINIÇÃO -Chama-se ângulo de duas retas oblíquas r e s , de r para s, AO MENOR ANGULO , medido no sentido anti- horário, tendo r como lado inicial e s como lado terminal. Para dar maior destaque à definição indicaremos o angulo por Mrs
O angulo, dessas retas, de s para r será Mrs. = 180 - Mrs exemplo Msr=135° = 180 - 135= 45°
Se as retas forem paralelas o seu angulo é nulo, e se são perpendiculares seu angulo é um dos 4 angulos iguais ( retos)
TANGENTE DO ANGULO DE 2 RETAS- Sejam duas retas oblíquas r e s cujas inclinações são
or e os.e que não são perpendiculares ao eixo dos x.
O angulo Ors = Os -)r
portanto tg Ors = tg (Os -Or) = (tg Os - tg Or ) : ( 1 + tg Os . tg Or )
Mas a tg Os = ms , e tg mrs, sendo mr e msr , respectivamente , o coeficiente s angulares de r e s . Então tg Ors = (Ms - Mr) : ( 1 + ms.mr ) é a expressão da tangencia do angulo de 2 retas em f8unção de seus coeficientes angulares.
Se quizermos calcular o angulo Osr teremos
tg Osr= tg( 180° -Ors )= - tg Ors portanto Tg osr= ( mr- ms) : 1 + ms.mr
CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE 2 RETAS - Quando seus dois coeficientes angulares forem iguais
isto é, sejams e r duas retas ´paralelas , porque ORS=0 ou tangente Ors = 0 e , da formula anterior
ms - mr = 0 potanto mr = ms
CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO DE 2 RETAS. Se as retas r e s são perpendiculares
Ors do gráfico acima = Os - Or 0r portanto Os = 90° + O r
Então tg Os = tg ( 90° + Or ) = - Cot Or = - 1 / tg O,
Ms = - 1 / mr
Então 2 retas são perpendiculares quando o coeficiente de uma delas for simétrico do inverso da outra.
Exercícios resolvidos :
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O jovem Descartes, estava disposto a " reformar o mundo", pelo menos no que tangia ao pensamento filosófico da época.
Rejeitava por completo a filosofía existente, pois segundo suas palavras " todas as coisas mais absurdas ou fantásticas tinham já sido enunciadas por um ou por outro filósofo.".
A matemática era a ciência que mais lhe agradava, porque nela ele achava um método dedutivo perfeitamente desenvolvido.
O mundo científico, na época de Descartes se achava em plena expansão; Kleper estudava leis que regem os movimento dos planetas, Galileu desenvolvia a mecânica, William Gilbert publicava os resultados de seus estudos sobre o magnetismo, na Medicina William Harvey descobre a função do coração, como bomba propulsora do sangue.
Fervilhava a Europa em novas idéias - era o " Renascimento" .
Em meio a tamanha explosão de pensamento, Descartes chegou à conclusão de que era necessário uma norma diretiva e disciplinadora.
No inverno do ano de 1619, apresenta uma sua monumental obra : " Discurso Sôbre o Método" , ou seja, Dissertação sôbre o método a se seguir, para o uso acertado da razão e da pesquisa científica da verdade"
Essa obra contém um valioso trabalho matemático, que a nós interessa particularmente - " a Geometria Analítica "
A Geometra Analítica
Na obra de Descasrtes, a Geometria Analítica, foi escrita no último capítulo, cerca de 106 páginas.
Em " La Geometrie" título original em frances, Descartes propunha uma idéia extraordinariamente simples,
mas um tanto fecunda, de que um ponto, terá a sua posição, perfeitamente determinada por meio de um par de Números Reais: um número como medida de uma distância num eixo ( escala orientada) "horizontal", e o outro como medida de uma distância num eixo vertical.( lembramos aqui o que chamamos de pares cartesianos x , y ( a abscissa x e a ordenada y )
Tal sistema não é novo a quem já esteja acostumado a localizar uma cidade em um mapa.
O eixo vertical é o meridiano que passa por Greenwich, e o horizontal é o Equador , o par de números , neste caso é constituído pela latitude e longitude do lugar.
Este sistema de dois eixos , recebeu o nome de "Sistema Cartesiano", em honra a Descartes, que assinava o seu nome em latim como " Cartesius "
O Sistema Cartesiano, estabelece portanto, uma correspondência biunívoca entre os ponto P do pla
no e todos os pares de números reais (x;y)
Geometria Analítica
Definição - A geometria Analítica é o ramo da matemática que tem por finalidade o estudo da Geometria por métodos que se revestem de forma algébrica.
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL- Sabemos que um sistema ortogonal é constituido por duas retas x e y, perpendiculares entre sí.
A reta x é chamada eixo das abscissas
A reta y é chamada eixo das ordenadas
O ponto O, intersecção das retas x e y , é chamado origem
Os dois eixos dividem o plano em 4 regiões chamadas de quadrantes.
Estabelecido o sistema, podemos identificar qualquer ponto do plano por meio de um par ordenado de numeros reais. Assim , dado um ponto P de um plano
- baixamos ou levantamos uma perpendicular ao eixo x, terminando em um ponto M da coordenada a
- baixamos ou levantamos uma perpendicular ao eixo y, terminando num ponto N da coordenada b
Para um ponto pertencente ao 1º quadrante, ele deve ser associado por dois numeros reais de zero a infinito positivo x, e de zero a infinito positivo y
Para ser do 2º quadrante de zero a infinito negativo x e zero a infinito positivo y
Ao 3º quadrante ser de zero infinito negativo x e zero infinito negativo y
Ao 4º quadrante ser de zero infinito positivo x e zero infinito negativo y.
Represente ao plano cartesiano ortogonal, os pontos:
a) A (-1,4) 2º QUADRANTE
b) B (2,-5) 4º QUADRANTE
c)C (3,3) 1º QUADRANTE
d)D (-2,-2) 3º QUADRANTE
e) E ( -3,2) 2º QUADRANTE
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos A (Xa,Ya ) e B (Xb, Yb)
1º caso - AB fica paralelo a abscissa X
d= módulo (Xb - Xa)
2º caso - AB fica paralelo a ordenada Y
d= módulo (Yb - Ya)
3} caso - AB não é paralelo aos eixos
Neste caso AB fica obliqua e então torna-se a hipotenusa do triangulo retangulo onde BC e AC serão os catetos
Em se tratando de um triangulo retangulo aplicamos o teorema de Pitágoras para a solução.
(AB)² = [ (BC)² +(AC)².
Obs- BC = (Yb-Ya) AC= (Xb-Xa)
Ex- Represente os pontos A(7,-6) , e B(2,6)
Sendo0 A ( 7,-6) e B ( 2,6)
A ( Xa,Ya) e B (Yb,Ya)
Substituindo na expressão
d =raiz quadrada de{ ( 2-7)²+[ 6-(-6)]²
d=13
CASO PARTICULAR
Ponto médio- = Xm = (Xb+Xa) ;2 Ym= ( Yb+ Ya) : 2
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
A condição necessária e suficiente para que três pontos A( Xa,Ya), B(XbYb) e C(XcYc)
sejam colineares ( alinhados) é que o determinante seja = 0
Xa Ya 1
D = Xb Yb 1 = 0
Xc Yc 1
Se o determinante for diferente de zero teremos um triangulo (se forem três os pontos)
Exemplo:
Verifique se os pontos A(2,1) , B(3,2), C(5,4) estão alinhados
Determinante = 2 1 1
3 2 1 = -10-8-3+4 +5+12 = 0
5 4 1
Como D=0 , pela condição de alinhamento A,B,C estâo alinhados.
A RETA
- EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Dados dois pontos A(Xa, Ya) e B (Xb,Yb) consideremos o ponto P( x,y)
Se A, B, e P são colineares, então :
X Y 1
Xa Ya 1 =0 ( -XbYa - XYb -XaY+XYa+ XbY + XaYb =0
Xb Yb 1 X(Ya-Yb) + Y(Xb+Xa) + XaYb-XbYa =0
a b c ou
ax + by + c =0
Essa expressão é chamada EQUAÇÃO GERAL DA RETA que passa pelos dois pontos A e B.
Portanto essa equação representa uma reta.
CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DA RETA
1º caso - a=0 by+c =0 y=-c/b
2º caso - b=0 ax +c =0 x= -c/a
3º caso- c=0 ax+by=0 ( 0,0) pertence à reta
Logo a reta passa pela origem
exemplo x-y=0
Resolução que facilitará determinar a equação geral e a segmentária
A equação segmentária É x/p + y/q = 1 sendo p=6 e q=9
Temos os pontos p abscissa do ponto de intersecção da reta r com o eixo X
e q ordenada do ponto de in tersecção da reta r com o eixo Y
Isto significa que Q(0,q ) em Y e
P ( p,0) em X. Equação segmentária = x/p+y/q = 1
Substituindo p e q temos X/6 + Y/9 = 1
e a geral é
O mmc entre 6 e 9 = 18 3x+2y=18 ou 3x+2y - 18 = 0
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAs
As equações que dão as coordenadas (x,y) de um ponto da reta em função de uma terceira variável t são chamadas equações paramétricas da reta.
x= f'' (t) e y= f" (t)
Para escrevermos a equação geral da reta, a partir de suas equações paramétricas, basta isolarmos o parâmetro t em cada uma das equações dadas e igualarmos as expressões obtidas..
Exemplo -
Dadas as equações paramétricas x= 2t-1 e y=t+3, obter a equação geral da reta
x=2t-1 -2t=-x-1 2t= x+1 t= x+1/ 2
y= t+3 -t= -y+3 t= y-3
x+1/2 = y-3 x+1+2(y-3) x+1 =2y-6
x-2y+7=0 ( equação geral )
DISTANCIA DE PONTO A RETA
Dado um ponto P(Xo,Yo ) e uma reta de equação ax+by +c =0
Por P traçamos a reta s perpendicular a r obtendo o ponto M, intersecção de r e s determinamos a distancia entre eles -
Um modo mais prático de calcularmos a distancia ente P e r é com o auxílio da fórmula
Dp,r = AXo + BYo +C dividido por Raiz quadrada de (a² +b²)
OBS o resultado é um módulo por isso não importa que o resultado da divisão seja negativo sempre será considerado positivo como é o caso de seguinte exemplo
-5 = 5
Exemplo -
P(2,-4) Xo =2 e Yo =-4 a equação é 3X +4Y +5=0 sendo a=3 b=4 c=5
Substituindo na expressão temos
d= 3.2+4(-4) +5 = -5
raiz de 3²+4² =5 I -5/5I =- 1 resp. =1
AREA DE UM TRIÂNGULO
Sabemos da Geometria Plana que a ´[area de um triangulo é ( base X altura ) dividido por dois
Em GEOMETRIA ANALÍTICA podemos calcular a área de um triangulo com o auxílio da fórmula
S=1/2 determinante é só conhecer os pontos A(X1Y1),B (X2 Y2) C(X3Y3) Montamos a matriz sempre a terceira colun a =1 e achamos o valor do determinante e dividimos por dois.
A CIRCUNFERENCIA - EQUAÇÃO REDUZIDA
Considere o seguinte problema :
Dada uma circunferêrencia de centro C (a,b) e raio r , determine a equação dessa circunferencia . Da mesma forma que, dada uma reta do ponto cartesiano, a ela fica associada uma equação do tipo ax+by+c=0, queremos determinar uma equação de modo que as coordenadas de todo ponto da circunferencia satisfaçam a essa equação
Sabemos que um ponto genérico P(x, y) do plano cartesiano pertence à circunferência de centro C(a, b) quando a distância entre o ponto e a circunferência é igual ao raio.
Aplicando a fórmula da distancia entre dois ponto teremos R²= (x-a)² + ( y-b)²
essa é a formula reduzida.AQUAÇÃO NORMAL
A equação (x-a)²+ (y-b)²= r², com r> 0, representa o plano cartesiano,como já vimos , uma circunferência de centro C (a, b) e raio r.
Desenvolvendo os quadrados e agrupando os termos da equação ;
x²+y²-2xy -2 by +a²+b² -r² = o ( equação normal) ou
x² +y² -2ax - 2by c = 0 ( onde c= a²+b²-r² )
Observe na equação de circunferencia que:
1) é uma equação do 2ºgrau nas duas variáveis x e y
2) os coeficientes de x² e y² são iguais a 1
3)o termo in dependente na equação normal é c= a²+b² - r²
Um ponto ou uma reta poderá ser uma secante à circunferencia se a distância da reta ou do ponto for < que o r
Será tangente se o ponto pertencer à circunferencia e nesse caso a distancia será = ao ráio
Será exterior se a distancia do ponto ou da reta for maior que o tamanho do raio..
PROBLEMAS CLÁSSICOS DA RETA
1-Equação das retas que passam por um ponto
Seja a reta Ax+By + C = 0 e M (x' , y') um ponto dessa reta
Se a reta passa por M temos :
Ax' + By' + C = 0 Subtraindo membro a membro essas duas equações obtemos : A(x -x') + B (y -y') = 0
que é a equação da reta que passa por M
Se B é diferente de Zero, podemos escrevê -la (y - y') = -A/B ( x - x')
ouy - y' = a ( x - x') que é a equação comumente usada. Exemplo
1º - Escrever a equação do feixe de retas que passam pelo ponto ( 2, 1 )
Temos ( y - 1) = a ( x - 2 )
2º Escrever a equação da reta que passa no ponto M( -1, 2 ) e forma um angulo de 45° com o semi eixo positivo dos x.
A equação do feixe da retas passando por M é ;
y-2 = a ( x+1 ) se a inclinação é de 45° a = tg 45° = 1 e a reta pedida será y - 2 = x + 1 ou y = x + 3
2- Equação das retas que passam por dois pontos:
Seja a equação geral da reta
Ax + By + C = 0
M' ( x',y' ) e M'' ( x" , y" )
A equação das retas que passam por M' é :
y - y' = a ( x - x') (I) Se a reta passa também por M" as coodenadas ( x", y" ) devem satisfazer a equação (I)
y" - y' = a ( x" - x' ) portanto a = Numerador (y" - y') sobre ( x" - x' )
substituindo esse valor de a em (I) , temos y - y' =( y" - y') sobre ( x" - x') multiplicado por ( x - x' )
EXEMPLO - Qual a equação de reta que passa pelos pontos ( 2,3 ) e ( -1, 1 )
y-3 = (1 -3) : ( -1 - 2 ) . ( x - 2 ) ou 2x - 3y +5 = 0
3 - OBSERVAÇÃO
A equação y - y' = ( y" - y ): ( x" - x' ) . ( x - x' ) pode ser escrita também sob forma de determinante assim | x y 1 |
| x' y' 1 | = 0 portanto 2x - 3y + 5 = 0
| x" y" 1 |
REGRA PRÁTICA - ou ainda poderá ser escrita | x x' x" x |
|y y' y" y | = 0
cujo primeiro termo é calculado como foi ensinado no estudo da área do triangulo
Exemplo :
Achar a reta que passa pelos pontos ( 2 , 3 ) e ( -1 , 1 )
| x 2 -1|
| y 3 1 = 0
( 3x + 2 - y ) - ( 2y - 3 + x ) = 2x -3y + 5 = 0
POSIÇÃO RELATIVA A DUAS RETAS. PONTO DE INTERSEÇÃO.
Sejam duas retas representadas por suas equações
Ax + By + C = 0
A'x + B'y + C' = 0
As coodenadas do ponto de interseção dessas retas devem satisfazer simultaneamente, as duas equações, logo é uma solução de (I ).
Se A/ A' diferente de B/B', o sistema ( I ) é determinado : e , se tem uma só solução , as retas dadas tem um só ponto em comum - são incidentes ou concorrentes .
Se A/A' = B/ B'= C/ C', o sistema ( I ) é indetermonado e as retas dadas tem uma infinidade de pontos em comum , são coincidentes.
Se A/A'= B/B' e diferente C/C', o sistema ( I ) é impossível e , se não tem solução , as retas dadas não tem ponto em comum - são paralelas.
CONDIÇÃO PARA QUE TRÊS RETAS SEJAM CONCORRENTES
Sejam as tres retas representadas pelas equações :
|A B C |
|A' B' C'| = 0
|A" B" C''|
EXERCÍCIOS - Diga a posição relativa das retas representadas pelos pares de equações abaixo :
1- 2x -3y + 5 = 0 e 4x + 6 y + 10 = 0
2- 3x - 2 y - 1=0 e 6x - 6 y - 2 = 0
3- 3 x +5 y - 2 =0 e 9 x + 15 y - 5 = 0 1- incidente 2 - coincidentes 3- paralelas.
Achar m para que
4- as retas 3x + 2my - 5 = 0 e y = x + 1 sejam incidentes
5- as retas mx + 12y=6 e 3x + my = 3 sejam paralelas
6- as retas 2x - 5y +7 = 0, 7x -6y + 15 =0 e 3x + 4y +1 = 0 são concorrentes.
( 4-) m diferente de - 3/2 (5-) m = -6 ( 6 -) m= -6 ( 7-) sim
ANGULO DE DUAS RETAS
DEFINIÇÃO -Chama-se ângulo de duas retas oblíquas r e s , de r para s, AO MENOR ANGULO , medido no sentido anti- horário, tendo r como lado inicial e s como lado terminal. Para dar maior destaque à definição indicaremos o angulo por Mrs
O angulo, dessas retas, de s para r será Mrs. = 180 - Mrs exemplo Msr=135° = 180 - 135= 45°
Se as retas forem paralelas o seu angulo é nulo, e se são perpendiculares seu angulo é um dos 4 angulos iguais ( retos)
TANGENTE DO ANGULO DE 2 RETAS- Sejam duas retas oblíquas r e s cujas inclinações são
or e os.e que não são perpendiculares ao eixo dos x.
O angulo Ors = Os -)r
portanto tg Ors = tg (Os -Or) = (tg Os - tg Or ) : ( 1 + tg Os . tg Or )
Mas a tg Os = ms , e tg mrs, sendo mr e msr , respectivamente , o coeficiente s angulares de r e s . Então tg Ors = (Ms - Mr) : ( 1 + ms.mr ) é a expressão da tangencia do angulo de 2 retas em f8unção de seus coeficientes angulares.
Se quizermos calcular o angulo Osr teremos
tg Osr= tg( 180° -Ors )= - tg Ors portanto Tg osr= ( mr- ms) : 1 + ms.mr
isto é, sejams e r duas retas ´paralelas , porque ORS=0 ou tangente Ors = 0 e , da formula anterior
ms - mr = 0 potanto mr = ms
CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO DE 2 RETAS. Se as retas r e s são perpendiculares
Ors do gráfico acima = Os - Or 0r portanto Os = 90° + O r
Então tg Os = tg ( 90° + Or ) = - Cot Or = - 1 / tg O,
Ms = - 1 / mr
Então 2 retas são perpendiculares quando o coeficiente de uma delas for simétrico do inverso da outra.
Exercícios resolvidos :
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