quinta-feira, 6 de janeiro de 2011

Geometria plana : origem e aplicação . Sólidos Geométricos- prisma piramides cone cilindro esfera

         Sabe-se que os babilonios, povo que habitava a Mesopotamia, desenvolveram um considerável conhecimento geometrico desde 2000 a.C
         Também no Egito aproximadamente 1300 anos a.C. a Geometria era desenvolvida: agrimensores usavam-na para medir terrenos, construtores recorriam a ela para suas
 edificações, tanto que as grandes pirâmides próximas ao rio Nilo demonstraram que os egípcios conheciam e sabiam usar muito bem a Geometria.
       Por volta de 600 a.C. filósofos e matemáticos gregos entre os quais podemos incluir  Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época. É voz corrente que a  Geometria, antes dos gregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquer cuidado com os princípios matemáticos que regiam os conhecimentos geométricos. Foram então os gregos os primeiros a introduzir O RACIOCÍNIO DEDUTIVO.
      Porém foi com o matemático grego Euclides que a Geometria realmente se desenvolveu, fazendo da cidade egípcia de Alexandria, onde vivia Euclides, o centro mundial da Geometria por volta de 300 anos a. C.
     Sistematizando os conhecimentos que outros povos antigos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo, Euclides deu ordem lógica a esses conhecimentos, estudando a fundo as propriedades das figuras geométricas,as áreas e  os volumes.
     Para Euclides a  Geometria era uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: OS AXIOMAS ou POSTULADOS. O grande trabalho de Euclides foi reunir 13 volumes, sob o título " ELEMENTOS , " tudo o que se sabia sobre a Geometria em seu tempo. "Elementos " tornou-se um clássico logo após sua publicação .

Tales de Mileto: Demonstrou entre outros trabalhos Semelhança ; Feixe de paralelas e uma transversal

Teorema de Tales:
Um feixe de paralelas determina em duas transversais, quaisquer, seguimentos proporcionais
Teorema da bissetriz interna de um triangulo
Triangulos semelhantes e suas três propriedades

a - Se dois triangulos são semelhantes, então, os lados de um são proporcionais aos lados homólogos do outro.
b- (teorema fundamental de semelhança) Todas as retas paralelas a um lado de um triangulo, e que encontra os outros dois lados em pontos, distintos, determina com esses lados um triangulo semelhante ao primeiro
c- As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.

Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras aplica-se a triângulo retângulo e é utilizado nas relações métricas de um triângulo retângulo
Num triângulo retângulo em A, temos AB cateto (c):   AC cateto (b):   BC  hipotenusa (a), AH altura  relativa a hipotenusa (h)    HC projeção de  b,  HC projeção de c

Para triângulos retângulos são válidadas as relações

c² = a.n   ( n= projeção Bh)
b²= am    ( m= projeção  Hc)
b,c=a.h
h² =m.n
a² = b²+c²

Exemplo - Num triangulo  retângulo seus cstetos medem respectivamente 3 e 4 centímetros. Calcule sua hipotenusa
a² = b²+ c²  portanto         a²= 3² + 4²
                                         a²= 9 + 16
                                         a² = 25
                                         a = 5 cm.

Aplicações importantes do teorema de Pitágoras

Cálculo da diagonal de um quadrado ,  Cálculo da medida da altura de um triângulo equilátero.

Estas duas citações não é tudo em geometria plana, pois nela podemos estudar as áreas , os perimetros da figuras geometricas planas e ainda dos solidos geométricos .

Figuras geométricas planas:   Área
triângulo qualquer   =  sua área é  base X altura dividido por 2.
triângulo equilátero =  sua área   L² vezes raiz de 3 dividido por 4.
quadrado =  L X L
retângulo = bXa
trapézio  (Base maior  +base menor ) : 2  X altura
losango=( diagonal maior   X  diagonal  menor) : 2
Circulo = r² x 3,14 ( pi )

Obs- A área é sempre indicada com medida ao quadrado  ex 5 m²

Perímetro - é sempre a soma dos lados . e indicado  com metro linear, isto é,  m, ou dm, ou cm, etc
A circunferência tem fórmula especial    - Raio X 2  X 3,14 (pi).= comprimento da circunferência

  1 -   SÓLIDOS  GEOMÉTRICOS
 - Denomina-se sólidos geometricos as figuras geometricas do espaço.
Entre os sólidos geométricos, destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos.
São objetos que lembram poliedros :
tijolo, caixa de fósforo,  dado,  lápis sextavado, piramides do Egito,  um cano, o corpo de um funil, uma bola.
 2 = POLIEDROS
- Poliedro é um sólido geométrico limitado por regiões poligonais.
- Os elementos de um poliedro são: faces, arestas, e vértices
- Tipos de poliedros - convexos em relação a qualquer de suas faces, ele está todo situado num mesmo semi-espaço determinado por essa face.
- Quanto ao número de faces temos os seguintes poliedros:
de 4 faces - tetraedro
de 5 faces - pentaedro
de 6 faces - hexaedro
de 8 faces - octaedro
de 20 faces- icosaedro.
- Os poliedros podem se classificar ainda em : regulares e não regulares
Um poliedro diz-se regular quando todas as suas faces são polígonos regulares iguais, e cujos ângulos sólidos são iguais entre sí.
Dentre os polígonos não regulares citaremos o prisma, pirâmide , troncos de prisma e de pírâmides .

 LEMA
-Em toda superfície poliédrica convexa aberta, o número de arestas aumentado de um é igual ao número de faces mais o número dos vertices. Isto é :    A+1= F+V
A igualdade ( 1) é evidentemente satisfeita para uma superfície poliédrica de uma face, pois, nesse caso, temos um polígono plano.
Então FR=1      e  A=V portanto F+V= A+1  ou F+V-A=1

TEOREMA de EULER
- Em todo poliédro convexo , o número de arestas mais dois é igual ao número de faces mais o número de vértices.

Quanto a superfície : As superfícies são classificadas de acôrdo com o seu modo de geração, a qual depende da natureza da geratriz, das suas condições de movimento e do número e da forma da diretriz ou diretrizes em que se apoia  a geratriz.
Dentro dessas idéias  o matemático francês Monge classificou as superfícies em famílias ao conjunto de superfícies, que possuem a mesma geratriz e a mesma lei de geração, diferindo apenas pela diretriz.

Categoria de família de superfície : 1 - Superfície  retilíneas
                                                     2 - Superfície curvilineas

Superfícies   1-retilínea - Desenvolvíveis  que são as cilindricas e as cônicas
                                   - Reversas = Hiperbolóide uma folha, Cone reverso , Cilindróides

                   2 - Curvilíneas - Circulares, parabólica etc
                                             Superfície de revolução = Cilindricas, cônicas, esféricas, tora, elipsóide, hiperbolóide de uma folha, parabolóide de revolução.
Superfície prismática -

PRISMAS
Prisma é um poliedro convexo em que duas faces são polígonos quaisquer iguais e paralelos chamados bases, e todas as outras faces são paralelogramos, chamados faces laterais.

A soma dessas faces laterais, chama-se superfície lateral do prisma e a soma desta com as duas faces chama-se superfície total do prisma.

CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS
:
Um prisma diz-se reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares as bases.
Em todo prisma reto as bases são secções retas, as faces laterais são retangulos ou quadrados e as arestas laterais são iguais a altura.
Dois prismas retos dizem-se iguais quando possuem as bases e as alturas iguais.
Todo prisma reto cujas bases sejam polígonos regulares chama-se prisma regular.

Um prisma regular não é necessariamente um poliedro regular. Em particular , o cubo é o único prisma regular que é também poliedro regular.

Um prisma denomina-se triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal etc. , conforme suas bases sejam triangulo, quadrado etc.
           
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
- Superfície lateral : é formada pelas faces laterais
- ÁREA LATERAL -é a Área da superfície lateral ( Sl)
-Superfície total, é formada pelas bases e pelas faces laterais
- AREA TOTAL - é a área da superfície total   ( St )

Exemplo - Cálculo da AREA DA BASE  (  Sb)
Suponhamos que se trata de um prisma hexagonal
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triangulos equiláteros, de lado igual ao raio da circunferencia

S( triangulo ) = a² raiz de 3 dividido por 4 = 6.raiz de 3 m²

Cálculo da área lateral
Num prisma regular  , sabemos que as faces laterais são retangulos.
Como temos 6 retangulos  são 6X a área do retangulo  ( base 2cm e altura raiz de 3 cm)

Cálculo da área total  = área lateral + 2 vezes a área da base

Se o prisma tinha 2 cm de raio sua área total será  40,8 cm²

VOLUME DO PRISMA = área da base X altura


PARALELEPÍPEDOS

Chama-se paralelepípedo, a todo prisma cujas bases são paralelogramo.
Um paralelepípedo é reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares as bases.

CUBO
Cubo é um poliedro regular de seis faces quadrangulares

Propriedades dos paralelogramos:

1- As faces opostas de um paralelepípedo são iguais e paralelas.
2-   Um paralelepípedo pode ser considerado como um prisma de 3 modos diferentes, tomando por bases duas faces opostas quaisquer.
3- Dois paralelepípedos retangulos de mesmas dimensões são  iguais.
4- Toda secção plana que encontra quatro arestas de um paralelepípedo é um paralelogramo.
5- Um paralelepípedo possui 4 diagonais que se cortam ao meio em um mesmo ponto chamado CENTRO DO PARALELEPÌPEDO.
6- Em um paralelepípedo retangulo as diagonais são  iguais.
7-O quadrado da diagonal de um paralelepípedo retangulo é a soma dos quadrados de suas três dimensões.
8- A diagonal do cubo é igual ao produto da aresta pela raíz de 3, .isto é,
D = aX raiz de 3
9- Dois paralelepípedos de mesmas bases e mesma altura são equivalentes.
10- àrea total de um paralelepípedo = 2 ( ab+ ac+bc )( cujas dimensões são comp.a, largura b , altura c )
11- Volume  = a.b.c
12-No cubo área total = 6a²
13- volume = a³

PIRÂMIDE
- Chamam-se arestas laterais da piramide as arestas que concorrem ao seu vertice. As outras aresta são as arestas da base.
A Soma de todas as faces da pirâmide chama-se superfície lateral da pirâmide.
Chama-se altura de uma piramide a distância do seu vertice ao plano de sua base.
Uma pirâmide diz-se regular quando sua base é um polígono regular e sua altura tem para extremos o vertice da pirâmide e o centro da base.
As faces laterais de uma piramide regular são triângulos isósceles e a altura desses triangulos isósceles é também o apótema da pirâmide.

Área lateral da piramide é a soma das  n  áreas dos triângulos laterais  da pirâmide

àrea total = Área lateral + área da base.

VOLUME da Pirâmide

àrea da base X altura dividido por 3

VOLUME DO TRONCO de uma pirâmide = V = K/3 [ B + ( Raiz quadrada B.b ) +b ]

# B = área da base maior
# b = área da base menor
# K= altura do tronco.

ESTUDO DO CILINDRO

Denomina-se cilindro reto ou de revolução  o solido obtido quando giramos
em torno de uma reta , uma região retangular,
exemplo 0 reco-reco.
Notamos que as bases de um cilindro são regiões circulares congruentes de raio r, o segmento de reta que une os centros das bases chama-se eixo.
A distancia entre as bases chama-se altura do cilindro
Todo segmento paralelo ao eixo que tem suas extremidades nas circunferencias das bases chama-se  GERATRIZ do cilindro.;
OBS- quando o eixo é obliquo à\s bases , o cilindro se diz obliquo

ÁREAS E VOLUME DO CILINDRO

recordemos da geometria plana -
Comprimento de circunferencia- 2.R.(pi)
Área da circunferencia - R² . (pi)


ÁREA LATERAL -(Sl)
A lateral do cilindro é um retangulo ou um quadrado depende da altura. largura = h    comprimento = 2(pi)r
 base . altura = 2(pi)rh.

Área total ( St)
área da base .2 + Sl                 St = 2(pi)rh + 2(pi)r²   ou  St= 2(pi)r {h+r}

VOLUME - = Sb . h       - V= (pi)r².h

 ESTUDO DO CONE-
Definição - denomina-se cone de revolução ou cone reto o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região triangular cujo contorno é um triangulo retangulo.
Descrevendo um cone - tem a forma de uma " piramide" de base redonda
O circulo é a base do cone - o seu raio é chamado raio do cone
A distancia entre o vertice V e o plano é a altura do cone e a sua medida é expressa por   h.
Se o cone é reto essa altura é perpendicular do ponto V ao centro do circulo da base, mas se ele for obliquo a altura é a perpendicular que sai do V a um ponto periférico ao  circulo  e seu eixo tambem é obliquo a base
No cone reto, alem de ser a altura h também é o eixo do cone.
As laterais do cone, isto é, o segmento que vai do ponto V ao ponto P que pertence ao circulo é chamado de geratriz do cone.

g²= h² + r²

ÀREAS   E VOLUME DO CONE CIRCULAR RETO

Área da base - (Sb)- Como a base é um círculo temos : r² . (pi)

Área lateral -( Sl ) - Aberto o cone ele representa g como sendo o raio e o comprimento é o comprimento da circunferencia  pois forma um arco daí termos
Sl = (comprimento X raio) : 2    ou  {2 (pi) rX g} : 2

Área total -
St = Sl + Sb

VOLUME - O volume de um cone circular reto é dado por:
1/3 ( área da base) . ( medida da altura )

1º -Exemplo:
Seja um cone circular reto de raio 8 cm e altura 6cm . Calcular a área lateral , a área total  do cone

Resolução :
dados - h= 6cm
             r= 8cm
Calculo da geratriz (g)
g²=  h²+r²          g²= 6²+8² = 100     g=10

Calculo da área lateral 
Sl=  (pi).r.g        Sl=(pi) .8.10     Sl =151,20 cm²

Cálculo da área da base
Sb= (pi)r²  = 3,14 X 64      200,96 cm²

Cálculo da área total ( St)
St = Sl + Sb            151,20 + 200,96  = 352,16 cm²


2º - Exemplo:
Cáculo do volume

Um cone circular reto cuja geratriz mede 10 cm, e sua altura é igual ao triplo da base. Qual é seu volume.

Dados : g=10 cm
             h= 3r

Cálculo do raio da base e da altura h
g² = h²+r²  10² = (3r)² + r² =100   =9r²+r²  =10r² = 100  
                                                                        r² = 100: 10
                                                                        r²=  10
                                                                        r = 3,16 cm
Como h é 3r temos     h= 9,48

Cálculo do volume
(Área da base  X h ) : 3 = (r² X 3.14 X h) : 3
                                        (10X3.14X9,48) : 3 =99,224

TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO DE BASES PARALELAS

Consideremos um cone circular reto de vertice V e altura h; a uma distância  d  do vertice , traçando um plano paralelo às bases, obtendo uma secção transversal do cone.

Consideremos , agora, o solido constituido pela reunião dos seguintes conjuntos:
a) base do cone
b) secção transversal
c) pontos do cone compreendidos entre a base e a secção transversal.

Esse sólido é denominado  TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS, onde destacamos:
- as bases do tronco são a base do cone e a secção ;
- a distância entre as bases do cone chama-se altura do tronco e sua medida é expressa por  k. e a lateral g ( geratriz do tronco)

ÁREA LATERAL  (Sl) = 3,14 XgX( r + R )

VOLUME  = 3,14.k/3[ r² + r.R+R²]

onde r= medida do raio da base
        R=medida do raio da secção
        k=medida da altura do tronco.

ÁREA total do tronco  do cone é dada por
St=Sl+Sb=SB

ESTUDO DA ESFERA

Superfície esférica e esfera. São dados um ponto O e um nº real r positivo
O conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distancias ao ponto O são iguais a r é denominado superfície esférica de centro O e raio  r.
O sólido limitado por uma superfície esférica chama-se esfera. Desse modo, a esfera de centro O e raio  r, é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a  r

De uma forma bastante simples , podemos dizer que a superfície esférica é " a casca " enquanto a es
fera  é o" miolo".

ÁREA de uma superfície esférica - S = 4 r² X 3,14                                            (3,14=pi)

VOLUME da Esfera - 4/3 r³ X 3,14

POSIÇÔES RELATIVAS DE UMA ESFERA E UM PLANO-
Consideremos uma esfera de centro O e raio   R e seja   d  a distancia do centro O a um plano alfa
Esse plano diz-se exterior, tangente ou secante à esfera de centro  O, conforme se tenha, respectivamente
d>R , d=R ou d<R.
Se o plano é exterior à esfera O d>R,  todos os pontos do plano são exteriores à esfera
Se o plano é tangente à esfera O (d=R), tem um único ponto P chamado de ponto de tangência em comum com a esfera.. Esse ponto pertence ao contorno da esfera e é fácil concluir que o plano tangente a uma esfera é perpendicular  que ao raio une o centro O ao ponto de tangência  P
Se o plano é secante a esfera ele irá cortar a esfera em dois pontos formando um circulo .Se o plano secante tem d=O o plano alfa diz-se  plano diametral.
Se o plano é diametral seu circulo é menor que a esfera e tem o seu raio menor que o raio de esfera.

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