Antes de chegar ao estudo dos números complexos, estudamos os conjunto os conjuntos N, Z, Q, e R.Cada um, por sua vez resultou de uma ampliação do conjunto anterior. O conjunto C dos números complexos é uma ampliação do conjunto R ( números reais ). Com ele são resolvidos muitos problemas até então sem solução no conjunto dos números reais.Os números impossíveis ou imaginários, como também são conhecidos hoje, inauguraram um extenso de estudos na matemática, em particular nas equações algébricas. Eles permitem, por exemplo, que possamos extrair a raiz quadrada de um número negativo ou resolver equações do tipo x² + a =0 ( a maior que zéro)
A unidade imaginária
Se tivessemos que resolver a equação x²+4=0 por exemplo, diriamos que é impossivel porque número negativo não tem raíz no campo real ,e está certo para o campo Real, para os números complexos basta dar um significado para -1 e teremos a solução. Esta solução foi encontrada pelo cientísta Carl Friedrich Gauss e muito utilizado pelo matemático Leonhard Euler.
Para Eule, este novo número, chamado de unidade imaginária, será representado pela letra i
e a equação x²+4=0 ficará
x²= -4 x=+2i x= -2i
Chamamos de números complexos os números da forma ( a+bi) sendo a e b números reais e i unidade imaginária.
Representação geométricados números complexos
O cientista alemão Carl Friedrich ( 1777 a 1855) foi o primeiro matemático a dar uma interpretação geométrica dos números complexos.
Representamos os números reais sobre a reta na qual fixamos uma orígem e uma unidade.
Como todo ponto da reta corresponde a um número real, fica claro que não podemos representar os números complexos na reta real. Podemos, porém, fazer uma interpretação geométrica, representando os números complexos no plano.
Para tanto,desenhamos um sistema de coordenadas.
Sobre o eixo horizontal dispomos os números reais e sobre o eixo vertical, os números imaginários puros
Este plano é conhecido como plano de Argand-Gaus.
Conjunto dos Numeros Complexos
Dados dois pares ordenados (a,b) e (c,d) do produto Cartesiano RXR = { (x,y) | x E R e y E R}
onde R é o conjunto dos números reais, podemos definir :
# igualdade de pares ordenados : dois pares ordenados (a,b) e (c,d)são iguais se e somente se , a=c, b=d
#Adição de pares ordenados (a,b)+ (c,d) é igual ao par ao par ordenado (a+c),( b+d)
# multiplicação de pares ordenados (a,b) . (c,d ) é o par ordenado (ac-bc,ad+bc).
Considerando as definições acima, chamamos de conjun to dos números complexos C ao conjunto de todos os páres ordenados de numeros reais, para os quais essas definições são válidas.
Forma Algébrica
Sejam m e n números reais quaisquer . Temos :
*(m,0)=(n,0) se, e somente se m = n
*(m,0 ) + ( n,0 )= (m+n,0+o) = ( m + n, 0)
*( m ,0 ) .( n,o ) = (m.n -0.0, m.0 +0.n ) = (m.n.0)
Notamos que nos pares onde o segundo elemento é zero, tanto a igualdade quanto a adiçâo e a multiplicação dependem só dos primeiros elementos , que são numeros reais. Por isso, podemos "identificar" um número ( m,0) com o número real m, ou seja (m,0) = m
Potencia da unidade imaginária
Observe
* i° =1 * i¹ = i * i² = -1 * i³ =-i
Portanto são somente quastro posíveis potencias, porém se encontrarmos por exemplo i elevado a um expoente maior que três resolvemos da seguinte forma por exemplo expoente 95
95 :4=23 com resto3 neste caso sendo o resto =3 faremos i³ =-i
esplicando melhor: A potencia i elevado a K sendo K E Z, é obtida dividindo o expoente K por 4 e considerando o resto r ( 0 < r<4 ) da divisão como o novo expoente de i.
Exemplos = i com expoente 137 = 137 : 4 quociente 34 e resto 1 portanto o número 1 será o expoente de i i¹ = i
Características de um número complexo z= a+bi
O número complexo z= a+bi é denominado :
Real quando b=0 ex . z = 3+0i ou z= 3
Imaginário puro quando a+ 0 e b é diferente de zero ex . z= 0 + 2i ou z= 2i
Operação com número complexo
Adição subtração multiplicação
Na adição e subtração trabalhamos com se fosse na álgebra , isto é, somamos a com a e bi com bi
Exemplo : ( 2 + 3i) + ( 3-4i) = ( 2+3 ) +(3i-4i) = (5+i)
( 2+ 3i ) - (3 - 4i ) = ( 2+3i) + ( -3+4i) = 2-3 e (3+4) i = -1 -7i
Multiplicação -Obteremos o produto aplicando a propriedade distributiva e substituindo os is do produto pelo seus respectivos valores
z1 . z2 z1= (a + bi ) z2 = ( c + di)
(a+bi ). (c+di) = ac+ adi +cbi +bdi² Como i² = -1 teremos
ac+adi+cbi- bd ficando (ac-bd) parte real e (ad +bc)i parte imaginária.
Exemplo : ( 2+3i) (1-4i) = 2 -8i+3i-12i² = 2-8i+3i-12.(-1) = 2+12 -8i+3i = 14 -5i
Conjugado de um número complexo :
Denomina-se conjugado de um número complexo z= a+bi ao número complexo ¨¨z¨ = a-bi
Ex : o conjugado de 2+5i é 2-5i de 1-7i é 1+7i z+3 o conjugado também é 3
Propriedades do Conjugado
O conjugado da soma é igual a soma dos conjugados
O conjugado do produto é igual ao produto do conjugado
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo.
exemplo (a + bi ) . o seu conjugado (a-bi) é o mesmo que o produto da soma pela diferença, isto é,
a² + b² porque a.bi = - abi e bi.a = + abi cancela-se e -b²i² = +b² portanto sobra mesmo a²+b² números positivos E R.
Divisão de números complexos
Para efetuar a divisão basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e substituir as potencias dos is.
exemplo - (2+3i ) : (1+2i)
Forma trigonometrica de um número complexo
Pelo plano de Gauss vimos que sen ô= a/p e o cos de ô = b/p
então a = p . cos de ô e b= p. sen ô substituindo as relações obtidas I e II em z = a+bi obtemos a forma trigonométrica do nº complexo z
z= p.cos ô + i . p sen ô
Z = P.( Cos ô + i Sen ô ) .
a.q.d
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