sábado, 30 de abril de 2011

Funções: estudo das funções, a imagem de uma função, .etc ...

Vamos introduzir agora um dos conceitos mais importantes de toda a matemática : o conceito de relações entre dois conjuntos. A partir daí, contruiremos a definição de função de um conjunto em outro:  este último conceito é simplesmente a viga mestra de toda a chamada matemática moderna.

PARES ORDENADOS

Dados dois elementos  a   e  b  formamos um novo elemmento indicado  por (a : b) e denominado par ordenado , cujo primeiro elemento é a  e o segundo elemento é b. Impomos a seguinte condição de igualdade entre pares oredenados;

( a,b) = (c;d) sendo   a=c  e  b=d

Com a definição de igualdade acima , temos, por exemplo

(1;2)  diferente de   (2:1 );
( 2;3)  igual  (x;y)  onde x=2   e  y=3;
( x;1) igual (o;y) onde x=   e y = 1

Exemplo;
Determinar os valôres de a  e  b  de modo  que os pares ordenados ( 2x+1 ;3) e ( 4x - y; y ) sejam iguais

Solução
2x+1= 4x-y
      y= 3                              2x+ 1 = 4x -3
                                           2x -4x = -3-1            -2x= -4     x=2
portanto x=2  e y= 3

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

A representação gráfica de um par ordenado é um ponto pertencente a um plano ( chamado plano cartesiano )  ex;  ( 2;3 )    o 2 representa o x    o 3 representa o Y. isto é, o 1º elemento do par é sempre representado no eixo Ox     e o 2º, no eixo  Oy

Ox é o eixo das abscissas ,    Oy eixo das ordenadas

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Dados dois conjuntos  A  e   B   e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma aplicação ou  função de A em B, se e sòmente se, a todo elemento x de A está associado a um único elemento y de B tal que ( x ;y ) pertença  a  f.

Para que uma função   fique bem definida é necessário conhecermos os conjuntos A e B e uma lei de associação , que associe a todo elemento x de A  um único elemento y de B.

DOMINIO, IMAGEM , CONTRADOMINIO

A= { 0,1,2}   e B ={ 0,1,2,3,4,5}vamos considerar a função f: A em B definida por y= x+1   ou f(x)= x+1

lei nese caso é x+1 portanto          do conjunto A  0+1=1
                                                                            1+1=2
                                                                            2+ 1=3
                    do conjunto A temos {0,1,2} (dominio) ;  do    conjunto B temos 1,2,3 ( imagem) e ainda
no conjunto B temos o contradominio =  indicado por CD(f) = B

Obs - O dominio de uma função é também chamado CAMPO DE DEFINIÇÃO ou CAMPO DE EXISTÊNCIA.

Estudo do DOMINIO de uma função
Já ficou  esclarecido que para caracterizar uma função, é necessário conhecermos dois conjuntos A e B e uma lei que associe a todo elemento de A um único elemento de B.
Entretanto, é bastante comum definirmos uma função f apenas por uma lei de associação
 sem especificarmos os conjuntos A e B ; nesse caso , vamos admitir que A é um subconjunto de R  e B = R
(esse R  seria o conjunto dos nº racionais)

Surge daí uma pergunta:

Qual será então o domínio da função f ?
Vamos , então, convencionar que o domínio de f será o subconjunto de números reais formado por todos os números reais para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em   R .

EXEMPLOS -
1º - Dar o domínio da função   f(x) = 1/x         neste caso só será possivel se x for diferente de zero
Então  D (f) = R - { 0 } = R*

2º - Dar o domínio da função  f(x) = x/x+3 , neste exemplo ,  no   denominador  ( x+3)
  somente se o x for diferente de -3
Então D(f) = R - {-3}

3º - Dar o domínio da função  f(x) raiz quadrada de x-2
raiz quadrada de x-2 só é possível se  x-2 for maior que zero pois sabemos que em R não podemos extrair raiz quadrada de número negativo

4º - Dar o domínio da função F(x) = 1/ x²-9 + 1/raiz quadrada de x-1

(x²-9)= neste caso  x não pode ser nem 3 nem -3.
  Como,  -3²  ou +3² são iguais a 9 ,  a subtração seria zero.
Como em R não podemos ter fração com denominador zero ,   x deverá ser maior que 3
e na  segunda( x-1),   x deverá ser diferente de 1 e maior que 1

GRAFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO

1º Exemplo
Dados A =  { 0,1,2} e B= { 0,1,2,3,4,5} construir o gráfico da função  f: A em B, no plano cartesiano

x        x+2          ( x,y)
0         2             (0,2)
1         3             (1,3)
2         4             (2,4) 


2º problema

Construir, no plano cartesiano , o gráfico da função f(x) = x²/2;

Obs- como não foi dado o domínio da função , f, vamos considerar como domínio o conjunto de todos os números reais para os quais x²/2  pertençam em R ; logo D(f)=  R

o domínio está sempre no eixo de x
                                                                                        a imagem está sempre no eixo de y
FUNÇÃO SOBREJETORA,INJETORA e BIJETORA

Sobrejetora - é quando todos os elementos de A , dão uma flexada   em todos os elementos de B
A= -2               B= 0                         A ---- B   definida por   y=x²
      -1                     1                       ( -2² =4)
       0                     4                       (-1² = 1)
       1                                              ( 1² =1 )
                                                        (0² =0)
 Injetora neste caso não existe elemento de B que seja imagem de mais de um elemento de A, isto é, em cada elemento de B que é imagem de um elemento de A chega apenas uma  flecha.

Bijetora  é quando ao mesmo tempo que é sobrejetora também é injetora

FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO IMPAR

Qualquer que seja x pertencente D(f) ocorre f(x) = f(-x)
esta é a função par

Para todo x que pertence D(f) ocorre que
                                         f(x) = -f(-x)      esta é impar

Os números x   e  -x  tem imagens opostas
O gráfico é simetrico em relação à origem do sistema cartesiano.


OBS IMPORTANTE- Uma  função cujo gráfico não satisfaz nenhuma das condições acima , não é nem função par nem função impar.

Exemplo de função par -    f: R   em que R definida por y= x²  -4
                    função impar - f: : R definida por f(x) = x/2
                  nem uma nem a outra - f(x) = x²+2x  +1

Quando uma função é crescente - quando o a é positivo   ex.  2x+44
Quando uma função é decrescente   - quando o a é negativo    ex    -4x+4.

FUNÇÃO COMPOSTA                               
observamos que
               * a cada x pertencente a A associa-se um único y pertencente a B tal que y = 2x
               * a cada y associa-se com um único z pertencente a C tal que z = y²
               * a cada x pertencente a A associa-se um único z pertencente C tal que z = y² = (2x)² = 4x²
Então podemos afirmar que vai existir uma função  h de A em C definida por h(x) = 4x² que indicamos por g . f ou g(f(x) ( LÊ-SE G COMPOSTA EM F)

logo :    h(x) = g . f = g(f(x) = (0,0), (1,4). (2,16) ou  h(x)= 4x²

1} exemplo Sendo dados f(x) = x²+2 e  g(x) = 3x calcular  g(f(x).

g((x) = g (x²+2 = 3 ( x²+2)= 3x²+6

2}exemplo : Sendo dados f(x) = x²+2  e g(x) = 5x , calcular  f(g(x).

f(g(x) = f (5x)²+ 2 = 25x² + 2

3} exemplo : Sendo dados f(x) = x² + 2 e g(x) = 5x, calcular f(f(x) e g(g(x)
                                                
f(fx) = f(x²+2)= x² + 2)² + 2 = x a quarta potência + 4x²+4+2 = x a 4ª + 4x² + 6
g(g(x) = g(5x) = 5(5x) = 25x

4} exemplo Determinar a função composta  por f(x)= I x I e g(x) = x - 2

Neste caso, vamos determinar f(g(x) e  g(f(x), então

f(g(x) = f(x- 2= Ix-2I
g(f(x) = g( IxI ) =  Ix I - 2


FUNÇÃO INVERSA  ;  Dada uma função bigetora f: A-----B chama-se função inversa de f a função f elevada a -1 :B----A tal que ( a,b) corresponde também a f: ( b,a) pertencente  a f elevado a -1, essa correspondencia é univoca ,isto é x corresponderá a um unico y

Nem todas as funções tem essa possibilidade , mas as que tem são chamadas funções inversíveis.

PROCESSO  ALGÉBRICO PARA O CÀLCULO DA FUNÇÂO INVERSA

Problema - achar a expressão  que representa a inversa da função   y= x+2

Resolução y= x+2
trocando x por y temos
                x= y+2
            x-2 =y
               y= x-2
y  = x-2 é a expressão que representa a inversa da função y=x+2


CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÂO INVERSA DE UMA FUNÇÃO

Consideremos a função  f(x) = x+2   e sua inversa  f (x) = x-2



Função Constante
Dado um  numero  Real K, chama-se função constante  toda função definida por f(x) = K ou y=k

FUNÇÃO IDENTIDADE

Chama-se função identidade toda  função definida por f(x) =x  ou  y=x para todo  x  real

FUNÇÃO AFIM

A função afim é tambem chamada de função linear.
Os coeficientes da função afim     y= ax+b
*- o número real  a é chamado coeficiente angular ou declive da retas representada no plano cartesiano
*- o numero realo  b é chamado  coeficiente linear da função

assim : na função    y= 2x + 1       o coeficiente angular  é 2    e o coeficiente linear  é 1


FUNÇÂO  CRESCENTE  e  FUNÇÃO DECRESCENTE

- no exemplo acima 2x é o a da função e  como ele é positivo a função é crescente
-3x + 2    neste caso o a   é negativo  então a função é decrescente.

Em outras palavras uma função y = ax+b é crescente , se e somente se , o coeficiente angular for (  a> 0 )
Uma função y= ax+b é decrescente , se e somente se , o coeficiente angular for   negativo ( a<0)

RESOLUÇÃO GRÁFICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Seja resolver o sistema de equações     

      y= x+2
      y=3x - 4
Resolvendo algebricamente o sistema temos   x+2 = 3x - 4
                                                                         x = 3
                                                   y = x+2          y = 5

                                                        S= { 3,5 }     Observe no gráfico que (3,5) é o ponto de encontro
                                                                                                das duas retas.
Para construir o gráfico temos y = x+2       e        y + 3x-4

(  x,y )  =  (  0,2 )                                      ( x,y) = ( 1,-1)                                                                
                ( -1,1)                                                   ( 2,2 )



UM POUCO DE GEOMETRIA ANALÍTICA;  

EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR DOIS PONTOS

Seja a equação da reta que passa pelos pontos ( 1,2) e (-1,3)

Resolução
Como a reta é o gráfico da função do 1º grau, então y= ax+b é a equação procurada; o problema fica resolvido quando determinamos os valores de a  e  b. Para isso devemos;
* fazer x = 1 e y = 2  em y= ax +b e teremos 2= a(1) +b  ou a+b=2
*fazer x= -1 e y=  3  em ty= ax+b e teremos  3= a(-1) +b ou -a+b=3
Resolvendo o sistema temos  a = -1/2       e   b= 5/2


Assim a equação procurada  é     y= - 1/2 x + 5/2

 APLICAÇÃO NA FÍSICA

Em mecanica quando estudamos movimentos retilíneos, a posição de um móvel que se desloca é determinada pela abscissa  s  do ponto em que o móvel se encontra em cada inbstante   t, então,   s  é uma função de  t   ou  s = f(t)

Quando o movimento retilineo é uniforme ,  s  é uma função do 1º grau em t , expressa por

s= s(o)   + vt   com s(o) e   v constantes (  v diferente de zero )

Problema ;
Um móvel se desloca com movimento uniforme descrito pela equação   s= 2t - 3.
Esboce num sistema cartesiano , o gráfico da posição do móvel em função de   t.




ZEROS  DA FUNÇÃO   AFIM

O valor  de x para o qual a função  y= ax+b  se anula { isto é, f(x) =0} chama-se zero da função afim.
Para achar o zero da função  afim, basta resolver a equaçãso do 1º grau ax+b =0
Exemplo     Achar o zero da função  f(x) = 3x-1
                                                                 3x  = 1
                                                                   x = 1/3 então o zero desta função = 1/3 naturalmente voce pode concluir que a função afim  tem um único zero que é o numero real -b/a

Concluindo em estudo dos sinais        Se x = 1/3    a função é = zero
                                                         Se x é maior que 1/3 a função é posituiva      x> 1/3      y> 1/3
                                                         Se  x é menor que 1/3 a função é negativa     x< 1/3      y < 1/3

Esta conclusão é para esse exemplo porque se  o A da equação for negativo a resposta seria outra

Exemplo               -2x-4=0         x= -2

x<-2      y>0                  x> -2     y< -2     No caso -2     é o zero  da função .

Esquema:

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU -   Chama-se de inequação do 1ºgrau a toda  sentença matemática aberta que exprime uma desigualdade e que pode ser colocada das sequintes formas:
ax+b< 0           ax+b >0        ax+b > ou= 0              ax+b <= 0    onde   a,b,pertence  a  R  e  a   é  diferente de zero

Exemplos -

x-1 < 0               2. ( x+1 ) > 0       2x/3  -  1/2 <=0               2. (  x+ 1/3 ) > 0

OBSERVAÇÕES :

* Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto solução ou conjunto verdade .
* Quando o conjunto universo não for mencionado, significará que  a inequação deverá ser resolvida no conjunto dos numeros reais.

Propriedades -
* Adicionando ou  subtraindo os dois membros de uma inequação por um mesmo numero obteremos uma nova inequação, conservando o sentido da primeira.
Ex.  Sendo U =R
x+1<2                x < 2 - 1       x < 1

* Adicionando 2 a  ambos os membros da desigualdade
x+1+2 < 2+2               x+3<4            x<1

*Multiplicando ou dividindo  ambos os membros  de uma desigualdade por um número negativo, essa desigualdade muda  de sentido para continuar verdadeira
x+1 <2 . (-2)
-2x-2>-4
-2 x > -4+2
-2x> -2    (-1)
   x<1

Se dividirmos por -2  o  x continuará < 1

Resolver a inequação : 5x - 1 > 3x +5
                                   5x - 3x > 5 +1
                                           2x > 6
                                             x > 6/2     x>3          
                                                                                               
                Neste exemplo se x = 3          fica   5. 3 -1 > 3.3.+ 5  (  falso)
                                            x< 3           fica    5.2 - 1 > 3.2 +5   ( falso)
                                            x >3           fica    5.4 -1  > 3.4 +5    (verdadeiro  )

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO

Qualquer que seja o sinal de a  temos em relação ao zero da função o seguinte resultado:

         contrario ao sinal de a  para valores menores que o zero da função
         mesmo sinal de a  para valores maiores  que o zero da função
                                                 

exemplo: ---c/a----Zero-----m/a-------


Resolver :       -2x +4 =0             a<0                      -----c/a-----2-----m/a-----
                                                            x=2         y=0
                                                            x=1         y>0
                                                            x=3         y<0
                                I ) x>3 { 4,5,6,7,8,.....}

                              II ) x > -2 {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}
                                             I interseccionada com a  II temos { 4,5,6,7,8,...}

            Inequação- quociente

           Considerando f(x)   e g(x) funções de variável x chamamos de inequação - quociente  uma  desi
           gualdade do tipo {f(x)  : g(x)} > 0 , > ou igual a zero, <0, menor ou igual a zero .  .
          Na resolução de uma inequação quociente o denominado0r deve ser diferente de zero e a regra de   
          sinais é a mesma tanto para produto como para divisão no conjunto dos nº reais



Funções Polinomial do 2º gráu

Função  Quadrática - Chama-se função quadrática  a função f.R - R que associa , a cada número real x, o número real ax² + bx +c, com a,b,c, reais e diferentes de zero
Exemplos : f(x)= 2x² +5x+6 onde a=2  b=5  c=6  

Gráfico da função quadrática

Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva , à qual damos o nome de parábola.
Vamos esboçar o gráfico da seguinte f unção quadrática:
y= x² - 2x - 3

Atribuímos valores para x e obteremos valôres para y , organizando-os com o auxílio de uma tabela
Para  X = 1,2,0,-1 substituindo o x da equação pelos referidos valores temos (x,y)  = (1,-4), (2,-3)
(0, -3), (-1,0) .  O a dessa equação é positivo . A Parábola deve ser U    com valor mínimo.
O vértice  é  Para X = -b/2a =1      Y= -(b²-4ac=16)  -16/4a = -4                V =    ( X,Y ) = (1,-4).        

Temos equações completas e equações incompletas
Ex.  ax²=bx+c =0 (completa)        ax²+bx=0   e   ax²+c =0 são incompletas
A parábola poderá  apresentar seu vertice virado para cima ou para baixo, dependendo do valor de a(ax²)
ou seja a> 0  ( U ) vertice assume valor minimo(cavidade para baixo) y= - delta/4a
            a<0    vertice assume valor máximo ( cavidade para cima) y= - delta/ 4a            (delta= b²-4ac
X = -b/2a       Y= -delta / 4a com essa fórmulas descobriremos o (X,Y) do vértice.

Estudo dos sinais da função quadrática
 Resumo - equação ax²+bx+c= 0
1º caso - A>0   e   delta > 0     Sendo o delta > 0  as raizes x' e x" são reais e diferentes
                                              Y<x' positivo ( m/a) .
                                               quando Y>x' e Y <x" negativo  ( c/a )
                                               quando Y >  x"  Positivo (m/a)
ex-a)     Y= x²-5x +6 =0
         delta =1     x' = 3     e x"=2              ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨2     Ynegativo          3¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
                                                                   Y positivo                                    Y positivo
ex-b)     Y = x²  - 6x +9 = 0
         delta =0      x' = x" = 3                      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨3 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
                                                                             Y positivo       Y=0        Y positivo
ex-c)   Y=x² -x+10
        delta = -39   a equação não possui raizes reais
                                                           O gráfico fica em forma de U mas não toca na abscissa x portanto
                                                             todos os valores dados a Y este sempre será positivo igual o sinal de a, isto é, positivo.  Em todos estes três exemplos o gráfico tem a forma de uma parábolo virada para cima( U ) e o vertice terá valor mínimo.

2º caso é quando o a<0 todos os sinais da comparação serão negativos onde os anteriores eram positivo  e positivos onde os anteriores eram negativos  e a parabola sérá voltada para baixo .Aqui o vertice terá valor máximo .           






















































































































































                

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