TRIANGULO DE PASCAL- BINÔMIO DE NEWTON

 deterinação dos numeros binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prático chamado  triangulo de Pascal, que é constituido com base na teoria e propriedade dos numeros binomiais ( numeros binomiais estão descritos junto a pestagem de Analise Combinatória ).

Verifique no Triangulo de Pascal as seguintes propriedades:

1ª  - Um cateto e uma hipotenusa do triangulo são formados  por  1
2ª - Em cada linha  os termos equidistantes  dos extremos são iguais.
3ª - A soma de dois elementos consecutivos de uma linha  é igual ao elemento da linha seguinte, imediatamente abaixo da segunda parcela da soma.

4ª- A soma dos elementos de cada linha do triangulo é uma potencia de dois, cujo expoente é o numero da linha.

Comentário - O triangulo de Pascal tem aplicação no desenvolvimento do binomio (x + a ) com o expoente n, que denominamos Binomio de Newton, com    a    pertencente a  R    e    n     pertencente ao grupo dos numeros  Naturais..

(  x+ a )²  = os coeficientes   1   2   1     com   n=2,  portanto, fica   1 x² + 2. ax + 1 a²
( x+ 2 )³      os coeficientes são  1 (1+2)= 3  2+1 = 3   e  1          1  3  3  1   portanto teremos
    1.  (x³) + 3(x².2²)+3(x.2) +1  . 2³
resposta=     x³+12 x² + 6 x +8

                      BINÔMIO DE NEWTON - TERMO GERAL DO BINÔMIO  e LEI DE FORMAÇÂO
                DE PRODUTO DE BINÔMIOS DISTINTOS

Resumo : B inômios distintos com 4 elementos ex:  (x+a) ( x+b)  ( x+c) (x+d )
 Neste caso o 1º termo  é   x a quarta potencia + (a+b+c+d) x³ + (ab +ac+ad+bc+bd)x²+(abc+abd+bcd+acd) x + O termo independente (abcd).

Binomio distinto cao 3 elementos ex ( x+a) (x+b)(x+c)
 O 1 º   termo é   x³+ ( a+b+c )x² + (ab+ac+bd)x + (abc)      que é o termo independente.

Observando esses produtos obtidos, podemos estabelecer a seguinte lei de formação dos seus termos :
1º ) O produto de dois ou mais  desses binômios é um polinômio ordenado e completo em relação a  x
com tantos termos quantos forem os binômios mais um.
2º ) O expoente de x  decresce sucessivamente  de uma unidade em cada termo, a partir do primeiro , que é igual ao numero de binômios , até o último, em que é nulo ( termo independente )
3º) O coeficiente do primeiro termo é a unidade ; o coeficiente do segundo termo é a soma dos segundos termos dos binomioas ; o coeficiente do terceiro termo é a soma das combinaçôes ternárias dos segundos termos dos binômios e assim sucessivamante até o penultimo termo ; o último termo é o produto dos segundos termos.        

Obs- Sempre a soma dos coeficientes do desenvolvimento é uma potencia de  dois .
ex  (x+a ) a 7ª potência = 128  isto é 2 a 7ª potência       (x+a)³ = 2³ = 8

 

 (000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000