Triangulo ou trilatero é o polígono de três lados.Pode-se dizer que triangulo é a figura constituida por três seguimentos cujas extremidades são três pontos não alinhados.
Os vértices do triangulo são A B C ou B C A ou C B A .
Os Angulos  , ^B, ^C são ângulos internos do triangulo.
Um triangulo separa os pontos de um plano em duas regiões:
Uma convexa de pontos internos ( isto é ) a parte de dentro do triangulo
Outra convexa de pontos externos do triangulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIANGULOS:
Quanto aos lados ; O triangulo pode ser: escaleno, isósceles e equilátero.
Escaleno - Os três lados tem medidas diferentes .
Isósceles - Tem dois lados de medidas iguais .e a base diferente
Equilátero - os três lados têm medidas iguais
Quanto aos ângulos : acutângulo , obtusângulo, equiângulo retângulo
acutângulo - Os três angulos são agudos
obtusângulo- um angulo obtuso e outros dois agudos
equiângulo - os três ângulos são iguais
retângulo - um angulo reto e os outros dois agudos.
OUTROS ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
MEDIANA - Mediana de um triangulo é o segmento cujas extremidades são um vertice e o ponto médio do lado oposto.
Todas as três medianas do triangulo encontram-se num mesmo ponto O chamado BARICENTRO
P ponto médio de AC = mediana
N ponto médio de BC = mediana
M ponto médio de AB = mediana
ALTURA - A altura é a perpendicular que sai do vértice em direção ao lado oposto formando naturalmente um angulo de 90º ao se interceptar a esse lado ,o triangulo tem 3 alturas e o encontro delas chama-se ortocentro
TRIANGULOS CONGRUENTES - Se dois triangulos ABC e A'B'C' são tais que os lados sejam respectivamente congruentes , dizemos então que os triangulos são congruentes.
Os lados do triangulos possuem respectivamente
medidas iguais. e os angulos internos são res-
pectivamente iguais.
PROPRIEDADES DE CONGRUENCIA -1- Se dois triangulos são congruentes , então , são congruentes os angulos opostos a lados congruentes e os lados opostos a angulos congruentes.
Na figura acima o angulo A é oposto ao lado BC angulo B oposto a AC Angulo C oposto a AB.
2- A congruencia é uma relação de equivalencia , isto é, valem as propriedades : Reflexiva , Simetrica e Transitiva.
Reflexiva - Todo triangulo é congruente a si mesmo.
Simétrica - Se um triangulo é congruente a um segundo , este é congruente ao primeiro.
Transitiva - Se um triangulo é congruente a um segundo e este é congruente a um terceiro, então o primeiro é congruente ao terceiro.
CASOS DE CONGRUENCIA
Nas verificações intuitivas ou racionais ( demonstrações) há necessidade de decidir se dois triangulos são ou não são congruentes, mas não se conhecem as medidas de todos os lados desses triangulos.
vejamos , então , os casos que podem ocorrer .
1° Caso - Se dois triângulos possuem dois lados e angulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes , então , são congruentes - L A L ( lado angulo e lado )
AC congruente a DF AB congruente DE Angulo A e Angulo D compreendidos ....
2º Caso- Se dois triangulos têm um lado e os angulos adjacentes a esses lados respectivamente congruentes, então , são congruentes - A LA ( angulo, lado e angulo )
 congruente a ^D
^B congruente a Ê
Lado AB congruente a DE Portanto
A B C congruente D E F ( A L A )
3º Caso - Se dois triangulos têm um lado , um angulo adjacente e o angulo oposto a esse lado respectivamente congruentes , então , são congruentes. L. A .Ao ( Ao= angulo oposto )
A|PLICAÇÕES DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS-Os angulos da base de um triangulo isosceles são congruentes
Em todo triangulo isósceles , a mediana relativa a base é altura e bissetriz relativa à base.
RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
1- Um angulo,externo de um triangulo é maior que cada um dos angulos internos não adjacentes.
Demonstração Construção auxiliar = Por B traço BE // AC
asserção razão
1- C=x 1.BE //AC e BC transversal , angulos alternos internos
2- b>x 2.BE semi-reta interna ao angulo b como se vê intuitivamente
3- b>C 3.Propriedade transitiva
4-A=y 4.BE ??AC e AB transversal, angulos correspondentes
5-b> y 5. BE é semi-reta interna ao angulo b
6-b>A 6.Consequências de 4 e 5
2- Se num triangulo dois lados são de medidas diferentes, então ao maior lado opõe-se o angulo de maior medida
3- A soma dos angulos internos de um triângulo = 180°
r// AB (A alterno ^x )
(B alterno ^y) sendo,
A=x B=y ( x + C+y = 180°)
r
Portanto A + B + C = 180°
Exemplo em aplicação -
Os vértices do triangulo são A B C ou B C A ou C B A .
Os Angulos  , ^B, ^C são ângulos internos do triangulo.
Um triangulo separa os pontos de um plano em duas regiões:
Uma convexa de pontos internos ( isto é ) a parte de dentro do triangulo
Outra convexa de pontos externos do triangulo.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIANGULOS:
Quanto aos lados ; O triangulo pode ser: escaleno, isósceles e equilátero.
Escaleno - Os três lados tem medidas diferentes .
Isósceles - Tem dois lados de medidas iguais .e a base diferente
Equilátero - os três lados têm medidas iguais
Quanto aos ângulos : acutângulo , obtusângulo, equiângulo retângulo
acutângulo - Os três angulos são agudos
obtusângulo- um angulo obtuso e outros dois agudos
equiângulo - os três ângulos são iguais
retângulo - um angulo reto e os outros dois agudos.
OUTROS ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
MEDIANA - Mediana de um triangulo é o segmento cujas extremidades são um vertice e o ponto médio do lado oposto.
Todas as três medianas do triangulo encontram-se num mesmo ponto O chamado BARICENTROP ponto médio de AC = mediana
N ponto médio de BC = mediana
M ponto médio de AB = mediana
ALTURA - A altura é a perpendicular que sai do vértice em direção ao lado oposto formando naturalmente um angulo de 90º ao se interceptar a esse lado ,o triangulo tem 3 alturas e o encontro delas chama-se ortocentro
Os lados do triangulos possuem respectivamente
medidas iguais. e os angulos internos são res-
pectivamente iguais.
PROPRIEDADES DE CONGRUENCIA -1- Se dois triangulos são congruentes , então , são congruentes os angulos opostos a lados congruentes e os lados opostos a angulos congruentes.
Na figura acima o angulo A é oposto ao lado BC angulo B oposto a AC Angulo C oposto a AB.
2- A congruencia é uma relação de equivalencia , isto é, valem as propriedades : Reflexiva , Simetrica e Transitiva.
Reflexiva - Todo triangulo é congruente a si mesmo.
Simétrica - Se um triangulo é congruente a um segundo , este é congruente ao primeiro.
Transitiva - Se um triangulo é congruente a um segundo e este é congruente a um terceiro, então o primeiro é congruente ao terceiro.
CASOS DE CONGRUENCIA
Nas verificações intuitivas ou racionais ( demonstrações) há necessidade de decidir se dois triangulos são ou não são congruentes, mas não se conhecem as medidas de todos os lados desses triangulos.
vejamos , então , os casos que podem ocorrer .
1° Caso - Se dois triângulos possuem dois lados e angulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes , então , são congruentes - L A L ( lado angulo e lado )
AC congruente a DF AB congruente DE Angulo A e Angulo D compreendidos ....
2º Caso- Se dois triangulos têm um lado e os angulos adjacentes a esses lados respectivamente congruentes, então , são congruentes - A LA ( angulo, lado e angulo )
 congruente a ^D
^B congruente a Ê
Lado AB congruente a DE Portanto
A B C congruente D E F ( A L A )
3º Caso - Se dois triangulos têm um lado , um angulo adjacente e o angulo oposto a esse lado respectivamente congruentes , então , são congruentes. L. A .Ao ( Ao= angulo oposto )
Em todo triangulo isósceles , a mediana relativa a base é altura e bissetriz relativa à base.
RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS DE UM TRIANGULO
1- Um angulo,externo de um triangulo é maior que cada um dos angulos internos não adjacentes.
Demonstração Construção auxiliar = Por B traço BE // AC
asserção razão
1- C=x 1.BE //AC e BC transversal , angulos alternos internos
2- b>x 2.BE semi-reta interna ao angulo b como se vê intuitivamente
3- b>C 3.Propriedade transitiva
4-A=y 4.BE ??AC e AB transversal, angulos correspondentes
5-b> y 5. BE é semi-reta interna ao angulo b
6-b>A 6.Consequências de 4 e 5
3- A soma dos angulos internos de um triângulo = 180°
(B alterno ^y) sendo,
A=x B=y ( x + C+y = 180°)
r
Portanto A + B + C = 180°
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