CONCEITO GEOMÉTRICO - Existem conceitos geométricos intuitivos ou conceito primitivos, (ponto, reta plano ) que nos foram apresentados intuitivamente , isto é, pelas idéias formadas em nossa mente através de observação e da experiencia. São conceitos sem definição.
Outros conceitos , como ângulo, bissetriz... foram apresentados por meio de uma definição através de conceitos já conhecidos. Ex a idéia de bissetriz de um angulo se forma em nossa mente através dos conceitos já conhecidos : angulo, semi-reta interna, ângulos congruentes ...
POSTULADOS e TEOREMAS - Enunciamos diversas propriedades geométricas. Muitas foram verificadas intuitivamente pela observação e pela experimentação em figuras, como por exemplo
" por dois pontos distintos passa uma e uma só reta ". Propriedades desse tipo chamam-se POSTULADOS ( ou axiomas ).
Existem propriedades desse que são verificadas através de conceitos ou propriedades já conhecidas Essas propriedades recebem o nome de TEOREMAS
Num teorema , há duas partes distintas : a que se supõe conhecida , chamada HIPÓTESE e a que se deve justificar, provar, demonstrar chamada TESE .
Os TEOREMAS em muitos casos vem enunciados ou podem ser enunciados na forma condicional: se. . . então ... A parte entre "se" e "então" constitui a HIPÓTESE com os dados e a parte que vem depois de " então" , a TESE ou que se quer provar.
Exemplo :
" Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes "
imagine, duas retas cruzadas sendo (o ) o ponto de encontro
H { AÔB e CÔD o.p.v
T{AÔB = CÔD
Na demonstração do teorema se utilizam conceitos ou ou propriedades já conhecidas . Neste caso :
AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares = 180°
BÔC e CÔD são adjacentes e suplementares = 180°
Propriedade da igualdade AÔB + BÔC =BÔC + CÔD cancelando na igualdade BÔC temos
AÔB =CÔD ( definição de angulos congruentes , portanto AÔB=CÔD
Em toda demonstração existe um encadeamento de afirmações que recebe o nome de dedução ou raciocínio dedutivo.
PREMISSAS FALSAS - Você já deve ter ouvido frases como :
" SE ESSA GAROTA É BONITA , ENTÃO MINHA AVÓ È UMA BICICLETA "
Esta é uma forma de se negar que a garota é bonita.Se reparar um pouco na sentença , vgerá que se distinguem duas partes. "SE ESSA GAROTA É BONITA..." Essa é a primeira parte e constitui a HIPÓTESE, ou a premissa da sentença toda.Isso quer dizer que a base da afirmação que se quer fazer. " MINHA AVÓ É UMA BICICLETA" Constitui a conclusão ou TESE da sentença. É claro que a conclusão é falsa. A minha avó ou a sua nunca será uma bicicleta.Todavia é uma forma de se dizer que a partir de uma premissa falsa conclui-se qualquer coisa ( verdadeira ou falsa )
Veja outros exemplos - " Se Pelé foi mau futebolista , então o Senhor Silvio Santos é o Presidente da República." Neste caso a hipótese é falsa e a tese ou conclusão também é falsa.
Veja exemplos
a) "Se um triangulo é isósceles( Premissa ou hipótese) , então os angulos da base são congruentes(tese ou conclusão )
b) " Se um triangulo ABC é retangulo em A , então a² = b² + c². ( Pitágoras ).
Ocorre que em Matemática as premissas e as conclusões são sempre verdadeiras , então a sentença final "se p então q" serão sempre verdadeira"Podemos , no entanto fazer alguns exercícios de LÓGICA, semelhantes aos exemplos anteriores , onde a premissa é falsa e a conclusão é verdadeira como a seguir. É claro que o raciocínio entre a premissa e a conclusão é LÓGICO e CORRETO, decorrente da aplicação de propriedades válidas para operações que se realizem.
a- Se 2=4 ( começamos com uma premissa falsa )
Multiplicando ambos os termos por um valor qualquer ( por 5 ), o que é válido em Matemática. obtemos: se 2=4 então 2.5 = 4.5 ou 10 = 20 De uma falsa premissa tiramos uma falsa conclusão.
b- Se 1 = -1 ( premissa falsa )
Elevando-se ambos os termos ao quadrado ( 1)² = (-1) ² fica 1=1.Agora de uma premissa falsa , tiramos uma conclusão verdadeira.
Destes fatos tiramos um resultado importante: de uma premissa falsa conclui-se tanto uma verdade quanto uma falsidade. A Matemática neste nível só admite em seu desenvolvimento e seu raciocínio que se tomem premissas verdadeiras para chegar , através de procedimentos lógicos , a conclusões verdadeiras.
Outros conceitos , como ângulo, bissetriz... foram apresentados por meio de uma definição através de conceitos já conhecidos. Ex a idéia de bissetriz de um angulo se forma em nossa mente através dos conceitos já conhecidos : angulo, semi-reta interna, ângulos congruentes ...
POSTULADOS e TEOREMAS - Enunciamos diversas propriedades geométricas. Muitas foram verificadas intuitivamente pela observação e pela experimentação em figuras, como por exemplo
" por dois pontos distintos passa uma e uma só reta ". Propriedades desse tipo chamam-se POSTULADOS ( ou axiomas ).
Existem propriedades desse que são verificadas através de conceitos ou propriedades já conhecidas Essas propriedades recebem o nome de TEOREMAS
Num teorema , há duas partes distintas : a que se supõe conhecida , chamada HIPÓTESE e a que se deve justificar, provar, demonstrar chamada TESE .
Os TEOREMAS em muitos casos vem enunciados ou podem ser enunciados na forma condicional: se. . . então ... A parte entre "se" e "então" constitui a HIPÓTESE com os dados e a parte que vem depois de " então" , a TESE ou que se quer provar.
Exemplo :
" Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes "
imagine, duas retas cruzadas sendo (o ) o ponto de encontro
H { AÔB e CÔD o.p.v
T{AÔB = CÔD
Na demonstração do teorema se utilizam conceitos ou ou propriedades já conhecidas . Neste caso :
AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares = 180°
BÔC e CÔD são adjacentes e suplementares = 180°
Propriedade da igualdade AÔB + BÔC =BÔC + CÔD cancelando na igualdade BÔC temos
AÔB =CÔD ( definição de angulos congruentes , portanto AÔB=CÔD
Em toda demonstração existe um encadeamento de afirmações que recebe o nome de dedução ou raciocínio dedutivo.
PREMISSAS FALSAS - Você já deve ter ouvido frases como :
" SE ESSA GAROTA É BONITA , ENTÃO MINHA AVÓ È UMA BICICLETA "
Esta é uma forma de se negar que a garota é bonita.Se reparar um pouco na sentença , vgerá que se distinguem duas partes. "SE ESSA GAROTA É BONITA..." Essa é a primeira parte e constitui a HIPÓTESE, ou a premissa da sentença toda.Isso quer dizer que a base da afirmação que se quer fazer. " MINHA AVÓ É UMA BICICLETA" Constitui a conclusão ou TESE da sentença. É claro que a conclusão é falsa. A minha avó ou a sua nunca será uma bicicleta.Todavia é uma forma de se dizer que a partir de uma premissa falsa conclui-se qualquer coisa ( verdadeira ou falsa )
Veja outros exemplos - " Se Pelé foi mau futebolista , então o Senhor Silvio Santos é o Presidente da República." Neste caso a hipótese é falsa e a tese ou conclusão também é falsa.
Veja exemplos
a) "Se um triangulo é isósceles( Premissa ou hipótese) , então os angulos da base são congruentes(tese ou conclusão )
b) " Se um triangulo ABC é retangulo em A , então a² = b² + c². ( Pitágoras ).
Ocorre que em Matemática as premissas e as conclusões são sempre verdadeiras , então a sentença final "se p então q" serão sempre verdadeira"Podemos , no entanto fazer alguns exercícios de LÓGICA, semelhantes aos exemplos anteriores , onde a premissa é falsa e a conclusão é verdadeira como a seguir. É claro que o raciocínio entre a premissa e a conclusão é LÓGICO e CORRETO, decorrente da aplicação de propriedades válidas para operações que se realizem.
a- Se 2=4 ( começamos com uma premissa falsa )
Multiplicando ambos os termos por um valor qualquer ( por 5 ), o que é válido em Matemática. obtemos: se 2=4 então 2.5 = 4.5 ou 10 = 20 De uma falsa premissa tiramos uma falsa conclusão.
b- Se 1 = -1 ( premissa falsa )
Elevando-se ambos os termos ao quadrado ( 1)² = (-1) ² fica 1=1.Agora de uma premissa falsa , tiramos uma conclusão verdadeira.
Destes fatos tiramos um resultado importante: de uma premissa falsa conclui-se tanto uma verdade quanto uma falsidade. A Matemática neste nível só admite em seu desenvolvimento e seu raciocínio que se tomem premissas verdadeiras para chegar , através de procedimentos lógicos , a conclusões verdadeiras.
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