Falando sobre conjunto e a aplicação da Teoria dos Conjuntos na resolução de problemas

 Conjuntos
Na Matemática tratamos o conceito de conjunto como conceito  primitivo, portanto sem definição.
Intuitivamente, aceitamos por conjunto uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam o conjunto são chamados  ELEMENTOS do conjunto.
Ex: conjunto das letras do alfabeto.
Conjunto dos números naturais maiores que dois.

Convenções: Os conjuntos são desegnados, geralmente , por  letras maiusculas, A,B,C,...Z.
Os elementos são indicados, geralmente, por letras minusculas, a,b,c,d,...z.

Representação de um conjunto
Podemos representar um conjunto enumerendo os seus elementos entre chaves e separando-os por vírgulas
Ex. Sendo V o conjunto das vogais, representamos:
V= {a,e,i,o,u}
I = {conjunto dos números impares }
Sendo P o conjunto dos numeros pares acima de 2 até 10.
P={ 4,6,8,10}

Uma outra maneira de representarmos um conjunto consiste em enunciarmos uma propriedade característica do conjunto, isto é, uma propriedade comum aos seus elementos e somente a eles
ex   D = {x/ x é dia da semana}            A barra / significa "tal que "
Lê-se " D é o conjunto dos elementos x, tais que x é dia da semana.        
Observe - a letra x representa um elemento genérico e a sentença " x é dia da semana " é a propriedade característica do conjunto .

Quando falamos de conjunto, vem logo a idéia de contém, contido, pertence , não pertence, união intersecção, diagrama de Venn, nome dos conjuntos,assunto esse, que  estudamos desde as primeiras séries do fundamental . Mas o assunto não termina aí, temos ainda que lembrar daqueles números Ir, dos números irracionais, pois , os números racionais não solucionaram muitos problemas envolvendo a Geometria e a Aritmética. Em determinadas figuras, alguns segmentos não têm uma unidade de medida que caiba um nº inteiro de vezes em cada um deles ; são os chamados segmentos incomensuráveis. Os pitagóricos já haviam acusado essa deficiência com relação à diagonal e o quadrado.

Exemplificando, para um quadrado de lado  ( l=1) e diagonal ( d )temos: Quadrado ABCD
 Diagonal AD= d

Aplicando o teorema de Pitágoras no   Triangulo ABC temos
                           d² = 1²+ 1²
                           d² = 2
                           d  = raiz quadrada de 2 =1,4142.......

Fica evidente que nem sempre a raiz de um número racional é um número racional.  Para que a teoria dos números racionais evoluísse foi necessário o avanço dos estudos sobre infinitos e geometria analítica. Foram gastos alguns séculos para que, entre tantas contribuições, chegássemos ao século XIX com Dedekind( J.W.R. Dedekind, 1831-1916) e Cantor ( Georg Cantor, 1845-1918 ) dando um rigor científico a essa teoria.
 O conjunto Ir dos números irracionais é formado por números cujas formas decimais não são exatas e nem periódicas.

Exemplos :
- O número pi = 3,141592......
        resultado da divisão da medida do comprimento de uma circunferência pela medida do seu diâmetro
- O número  ( e ) = 2,718... conhecido como número de Euler ( Leonard Euler -1707-1783)
- Radicais como raiz quadrada de 2, de 3, de 5,...

O conjunto R dos números reais é formado pela reunião do conjunto Q dos números racionais com o número Ir dos números irracionais.

A APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS

1º Exemplo: 
Em uma Universidade são lidos  dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal   A  e  60% , o  jornal  B . Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que lêem ambos


Resolução; O percentual total é de 100% , pois todos os alunos lêem pelo menos um dos jornais

Chamaremos de X a intersecção deles

n( AUB) = n (A) + n(B) - X
100 % =       80% + 60%  - X
X % = 140 % - 100%
X % = 40 %

Percentual dos que lêem os dois jornais  é 40%

2ºModelo - Numa escola de 630 alunos , 350 estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 estudam as duas matérias
a - Quantos alunos estudam apenas matemática ( estudam Matemática MAS NÃO ESTUDAM  FÍSICA.
b- Quantos alunos estudam apenas Física.
c-Quantos alunos estudam Matemática ou Física
d-Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias.


Resolução :
Número total de alunos = 630
Número de alunos que estudam Matemática =350
Número de alunos que estudam Física = 210
A intersecção deles   = X = 90

M= 350-90 = 260
X = 90                                                 
F = 210 - 90= 120
Somando  260 +120 + 90 = 470
630 -470 =160    

a- Se 350 alunos estudam Matemática e 90 estudam Matemática e Física , então o nº de alunos que estudam apenas Matemática é : 350-90=260
b-Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e Física então o número de alunos que estudam apenas física é 210-90 = 120
c-Se 260 alunos estudam apenas Matemática , 120 apenas Física e 90 Matemática e Física , então o numero de alunos que estudam Matematica ou Física é 260+ 120 + 90 = 470
d- Se a escola tem 630 alunos e 470 estudam Matemática ou Física , então os alunos que não estudam nenhuma delas é 630 - 470 = 160.

CONJUNTOS NUMERICOS - 

CONJUNTO DOS NUMEROS NATURAIS
Utilizamos o simbolo N para represntar o conjunto dos números inteiros naturais .
N={ 0,1,2,3,4,5,6,...}

N* = { 1.2.3.4.5.6....}é subconjunto de  N . Utilizamos * para indicar que o zero não pertence a esse conjunto.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Utilizamos o simbolo Z para indicar o conjunto dos números inteiros.

Z= { ...-3,-2,-1,0 , +1, +2, +3... }

Note que os numeros naturais também são inteiros, logo, temos a relação N  C Z.
 Alguns subconjuntos de Z

Z* ={ ...-3,-2,-1,+1,+2,+3,...}Numeros inteiros sem o zero  Z*=Z -{0}

Z+ ={ 0,1,2,3,...} são os numeros inteiros não negativos.
Z-  ={..., -3,-2,-1,0} são os inteiros não positivos.
Z*+ ={ 1,2,3,...} =Z+ - { 0}
Z*- = { ...,-3,-2,-1} = Z-  -{0}

CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS

É racional um número que pode ser escrito na forma de fração.
Logo, 1/2,4,3,0,- 4/5 são exemplos de numeros racionais.

Q= { x/ x=a/b, a pertence a Z, b pertence a Z, b  é diferente de zero.}

Note que um número inteiro é racional, assim , temos a relação N está contido em Z está contido Q.

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Existem números que nãopodem ser escritos em forma de fração exemplo raiz de 2 ,(pi), raiz quadrada de 5, ou seja são as raizes inexatas, as dizimas àperiodicas. Esses números são chamados de números irracionais.

CONJUNTO DOS NUMEROS REAIS

O conjunto dos numeros reais é a reunião do conjunto dos numeros racionais com os irracionais

R= {x / x é racional ou x é irracional }

Isto quer dizer que todo numero natural é numero inteiro,todo numero inteiro é racional e todo numero racional é real

INTERVALOS
Na representação geométrica dos números reais  , a cada ponto da reta numerada corresponde um único número real, e a cada número corresponde um único ponto na reta numeradaocorrendo uma correspondencia biuívoca.
                                                                                                                              R
¬¬¬-3¬¬¬-2¬¬¬¬-1¬¬¬¬¬0¬¬¬¬1¬¬¬¬¬¬2¬¬¬¬¬3¬¬¬¬¬¬4¬¬¬¬¬5¬¬¬¬¬¬¬
Intervalos numericos
Sendo a  e  b  dois números reais , a<b podemos definir alguns subconjuntos de R que denominamos de intervalos numéricos de extremos a  e  b
Notação [a;b]   intervalo fechado
leitura subconjunto de R:{ x E R / a<x<b }
Notação ]a;b[    intervalo aberto
Leitura subconjunto de R : { x E R/ a<x<b}
Intervalo fechado à esquerda [a;b[
Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda ]a;b]            
qualquer número é menor que qualquer número colocado a sua direita.

Intervalos finitos
FECHADO    [2,6]              ¨¨¨¨¨¨*2¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨6*¨¨¨¨¨¨
ABERTO       ]2,6[              ¨¨¨¨¨¨¨o¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨o¨¨¨¨¨¨¨¨¨
FECHADO A ESQUERDA E ABERTO A DIREITA  [2,6[ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨*2¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨o6¨¨¨¨¨¨¨¨

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MEDIDAS DE DISPERSÃO -Desvio médio,Variância, Desvio Padrão

   MEDIDAS DE DISPERSÃO

Ao efetuar os cálculos da média aritmética, mediana e moda, podemos observar que são medidas de tendência central, ou ainda, são valôres em torno dos quais os dados se distribuem.
Vamos agora analizar o número de gols por partida da última rodada de um campeonato de futebol.

Jogos       1        2         3          4            5             6

nº gols     5        0        11         3            4              1

1 2 

M

M
Nessa rodada, a média aritmética de gols por partida foi:

Média aritmética =       (5+0+11+3+4+1)  : 6  = 24 :6 = 4 gols

Observando a tabela de gols, vemos  que os jogos (2) com  0  gols, e (3), com 11 gols, estão bem mais distantes da média  que como vimos é  4,   que os jogos (1) com 5 gols e (4) com 3 gols.
Em Estatistica, podemos ter uma idéia de como esses dados se distribuem em torno da média, ou seja, se estão muito  ou  pouco dispersos
Para tanto, basta calcular as medidas de dispersão  que são: desvio médio, a variância e o desvio padrão.


DESVIO   MÉDIO

Vamos verificar o desvio do valor que representa o número de gols de cada partida em relação
 a média = 4
( A operação é a seguinte : nº de gols da 1ª partida  menos a média aritmética ( 5-4=1)
                                                         da 2ª partida  menos a média                 ( 0-4=-4)e assim todas as partidas até a 6ª partida.

OBS - O desvio médio é calculado pela média aritmética dos valores absolutos dos desvios, portanto
              Jogos     1           2           3             4           5          6
            Desvios  5-4=1     0-4=-4    11-4=7    3-4=-1   4-4=0   1-4=-3
      Como devemos trabalhar com os valores absolutos dos desvios temos:  16:6 = 2,6
          
 Dm =     (1+4+7+1+0+3 ) : 6 = 2,6  


VARIÂNCIA  ( V ar )

A dispersão dos dados  também pode ser calculada considerando-se os quadrados dos desvios médios . A média aritmética desses quadrados chamamos de variância ( Var ).

Var = 1² + (-4)²+7² +(-1)² + 0 ² +( -3 )²  = 76 : 6 = 12,6


DESVIO   PADRÃO (  S  )

S = raiz quadrada da variância   = 3,5

 comentário, ou mande-

 

Frequência -distribuição de frequências;medidas de tendência central,-média -mediana e moda

FREQUÊNCIA - Uma informação útil que podemos extrair de um conjunto de dados numéricos é o numero de vezes que cada um deles aparece.
ex. uma lista de 100 notas obtidas em um teste psicotécnico para futuros motoristas.

Organizando a lista temos:

60
61   61  61  61
62
63  63  63
64  64  64                 9 nº 64
65  65  65                 6 nº 65
66  66  66                10 nº 66
67  67  67                15 nº 67
68  68  68                17 nº 68
69  69  69                12 nº 69
70  70  70                  9 nº 70
71  71  71                  6 nº 71
72  72   72
73
74  74
75

A simples observação dessa lista organizada permite tirar algumas conclusões a respeito dos resultados obtidos no exame.

a maior nota foi 7,5  e a menor  6,0

a nota que mais aparece é 6,8

a nota 7,0 aparece 9 vezes,  etc.
Chamamos de frequência o nº de vezes que um determinado dado aparece em uma lista numérica qualquer.

              EX-       Teste psicotécnico         tabela de frequência

nota -60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75
Fi     - 1    4    1    3    9    6  10  15  17  12    9    6    3    1    2    1

Observe que, nesse caso, temos 16 notas diferentes, cada uma delas associada a uma frequência. A soma de todas as frequências fornece o total de notas da lista


Resumindo: se chamarmos os intervalos de classe e as frequências de classe de fi teremos a seguinte distribuição de frequências para uma coleção de n dados

              CLASSE                        Fi
               a 1- a 2                          f1
               a2-  a3                           f2
                 .
  .        _______                           fi
            ai 1 - ai
               = h
             
MEDIDAS de DE TENDÊCIA CENTRAL:

-MEDIA

Para um determinado conjunto de dados, podemos definir diversos tipos de médias. A Média aritmética é a mais usada.

MÉDIA A PARTIR DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

Para determinar a média a partir de uma  distribuição de frequências, relativa a uma coleção x (i=1,2,3,...n)de n dados, procedemos da seguinte forma :
- determinamos o ponto médio x de cada um dos K intervalos de  classe;
- multiplicamos cada x, pela frequência de classe fi correspondente.


MEDIANA

A mediana é também uma medida de tendência central calculada tomando-se como critério a divisão do conjunto de dados em duas partes , com o mesmo nº de valôres. O cálculo da mediana, portanto, tem como objetivo determinar O VALOR QUE OCUPA A POSIÇÃO CENTRAL em uma coleção de valôres, ordenados de forma crescente

Seja a coleção de 11 valôres a seguir

3  9  11  12  13   14  44   16    19    21    22
                             |

                       mediana = 14
O grupo fica dividido em dois blocos com o mesmo nº de elementos.


Suponha agora que a coleção seja de 8 elementos

118  120  132  140  150  150  162   164
                        140 + 150 : 2
mediana = 145


MODA

Deternminamos a moda de uma coleção pelo elemento que mais aparece na coleção

8   12   12   11   9   6   11   12   13   14   6   8

Como se vê o elemento que mais se repetiu foi o  nº 12 por isso ele é a moda.


Nesta coleção podemos calcular A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA

Classe                        fi            Média  = 5,5
 0-4                            3
 4-8                            6           Mediana = 5,0
 8 -12                         2
12-16                         5         
16-20                         4          Moda =  5,0
20-24                         8                       
24-28                       10
28-32                         5
32-36                         7


Como  pudemos mostrar,a estatística está interessada nos métodos científicos para coleta , organização ,sumarização, apresentação e análize de dados bem como na obtenção de conclusões em tais análises. Em sentido mais restrito, o termo é usado para designar os próprios dados ou numeros deles derivados como,por exemplo a média, a mediana etc como pudemos ver.

POPULAÇÃO E AMOSTRA. ESTATÍSTICA INDUTIVA  e DESCRITIVA
Ao em vez de estudar todo o universo por exemplo toda a produção de parafusos fabricados em determinado espaço, examina uma pequena parte chamada amostra.
Uma população pode ser finita ou infinita. Ex. a população de todos os parafusos produzidos numa fábrica em um dia ( finita ) enquanto que a população constituida de todos os resultados ( cara ou coroa ) em sucessivos lances de uma moeda é infinita.
Essa parte que trata das condições sob as quais essa inferências são válidas chama-se estatística indutiva . Como essas inferencias não pode ser absolutamente certa, a linguagem da probabilidade é muitas vezes usada, no estabelecimento das conclusoes.
A parte da estatística que procura somente descrever e analisar um certo grupo, é chamada estatística dedutiva
VARIÁVEL CONTÍNUA e DISCRETA
Uma variável é um simbolo como X, Y, Z... que pode assumir qualquer valor que lhe é atribuído conjunto esse chamado domínio da variável. Se a variável pode assumir apenas um valor é chamada de constante.
Será contínua quando pode assumir qualquer valor entre dois dados,; de outro modo denomina -se variável discreta.

ARREDONDAMENTO DE DADOS
Para se fazer o arredondamento o mais pratico é por exemplo 72,8 o mais próximo inteiro é 73
outro 72,8146 o aredondamento para centézimo mais proximo é 72,81 o 46 sendo < que 5 fica mais proximo de 81 que de 82. outro  o 72,465 para centézimo deparamoscom um dilema 72,46 dista igualmente  72,47 . Usa-se na prática em tais casos aproximar para o numero par que precede o 5 Assim o 72,465 fica 72,46. o 183,575 fica 183,58  etc...

NOTAÇÃO CIENTÍFICA
 Ao escrever números, especialmente aqueles que comportem muitos zeros , antes ou depois da virgula. é conveniente empregar a notação científica que utiliza potencias  de dez.
Exemplo  10¹ = 10 ; 10² = 100  ...10° = 1  10-¹= 0,1    10¬³ = 0,001 ...
             864000 000 = 8,64 X 10 elevado a 8ª potencia ; 0,00003416 = 3,416 X 10 elevado a -5
OBS - Note que multiplicando a virgula se desloca para `a direita, ( e a portencia é positiva)
             dividindo a virgula se desloca para a esquerda, (e a potencia é negativa )
Muitas vezes emprega-se parenteses ou pontos para indicar a multiplicação de dois ou mais numeros
(5)(4)= 5.4=20 10.10.10 = 1000. Quando se empregam letras para representar os numeros, os parenteses ou os pontos são muitas vezes omitidos.
A notação científica é muitas vezes útil no cálculo, especialmente para localizar a virgula.
10² . 10³ = copia-se a base 10 e somam-se os expoentes 2 e 3.
10 ³ : 10 ² = copia-se a base 10 e subtrai-se os expoentes 3 e 2

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS - Se uma altura foideterminada com precisão como 1,66 m , isto significa que seu valor verdadeiro está compreendido entre 1,655 e 1,665 m. Os algarismos  corretos, separados  dos zeros necessários para a localização da virgula , chamam-se algarismos significativos ou digitos significativos do número.
Exemplos - 1,66 =3 algarismos significativos.
                  4, 5300 = 5 algarismos significativos
                  0,0018 = 1,8 X 10'³ tem 4 algarismos significativos
Os numeros resultantes de numeração ou de contagens, ao contrário dos das medições , são naturalmente exatos e, assim, tem uma quantidade ilimitada de algarismos significativos. Em alguns destes casos, contudo, pode ser difícil decidir quais são os algarismos significativos sem informações adicionais.por ex. o numero 186 000 000 pode ter 3, 4, ... 9 algarismos significativos. Se se souber que ele tem 54 algarismos significativos , será melhor escrever o numero 186,oo milhões ou 1,8600 X 10 a 8ª potencia.

CALCULOS
AO efetuar cálculos que envolvem multiplicação, divisão e extração de raízes de números , o resultado final não pode ter mais algarismos significativos do que o que tem  menor quantidade deles .
Ex. 73,24 X 4,52 = 331           ( 1,648 / 0,023 = 72 )    ( V38,7 = 6,22)       ( 8,416 . 50 ) = 420,8 SE 50 É EXATO.
         
                                      DATA DESTA POSTAGEM     (   23/5/2012)

SERIES OU DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS - série estatística é um nome que se atribui  a um conjunto de dados estatísticos distribuídos segundo as diversas modalidades do fenômeno que representam
por exemplo estatura, distribuição territorial, distribuição específica ...
SERIAÇÃO OU DISTRIBUIÇÃO POR FREQUÊNCIA - Quando os dados são distribuídos de acordo com a sua grandeza em ordem crescente ( ou decrescente) obedecendo gradações convenientes , pois, o tempo, o local, e a categoria permanecem fixos. Nestas séries aparece o importante problema da tabulação , de grande aplicação no campo da Estatística e onde os dados são dispostos em classes oportunas .
               exemplo - COMPOSIÇÃO DEMOGRÁFICA DE    X   CIDADE  2000
                   Idades               Pontos médios               frequência
                 (classes )                 das classes                 ( por 100.000 hb.)

           de  0  a 10 anos                5                              20 208
          de 10  a 20 anos              15                              20 306
          de 20  a 30 anos              25                              21 939
          de 30  a 40 anos              35                              16 588
          de 40  a 50 anos              45                              10 433
          de 50  a 60 anos              55                                6 056
          de 60  a 70 anos              65                                2 996
          de 70  a 80 anos              75                                1 082
          de 80  a 90 anos              85                                   295
          de 90  a100anos              95                                     79
          de 100 a mais                  ---                                     18

              total                                                              100 000


LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO - é a operação que possibilita estudar os universos estatísticos ,determinando a tendência característica de seus dados. As principais fases de um levantamento estatístico são ;  a- coleta de dados    b- Disposição dos dados , tabulação e distribuição por frequência  c- Análise das distribuições por frequência  d - Conclusões sobre os resultados obtidos.
A - COLETA DE DADOS - È o primeiro trabalho que poderá ser feito pelo próprio organizador ou por terceiros , Em qualquer dos casos ( direto ou indireto ) os dados devem ser em totais que possam justificar a divulgação que se queira dar aos resultados ( o tamanho mínimo da amostra representativa deve ser de 10%  do universo que se estuda )
B- DISPOSIÇÃO DOS DADOS , estes  são dispostos num quadro ou tabela inicial denominada tabela primitiva. Em seguida, procura-se imprimir uma certa ordem aos dados que facilite o estudo dos mesmos.
Se os dados foram medidas é comum dispô-lo por ordem de grandeza ( crescente ou decrescente ) constituindo assim uma nova tabela, agora denominada ROL.
Os dados que compõem o rol passam a ser seus termos .
Logo depois vem a fase da tabulação. Tabular significa registrar o numero de vezes que cada termo aparece na tabela primitiva ou rol. Chamando frequência absoluta ou simplesmente frequência ao numero de vezes de cada termo figura no rol , podendo dizer , também , que tabular é registrar a frequência de cada termo no rol.
Com essa finalidade procuramos reunir todos os termos do rol em convenientes grupos denominados classes , a fim de melhor distribuir as frequências.
Cada classe tem por extremo dois números que são denominados limites da classe. O menor limite inferior  l(i) o outro limite superior l(s).
Chama-se amplitude de classe ou intervalo unitário de uma classe a diferença entre os limites superior e inferior dessa classe. ( h )
AMPLITUDE TOTAL ou intervalo total da uma distribuição de frequência é a diferença entre o maior e o menor figurante na distribuição . Isto significa que o l(i) e o l (s) que definem a amplitude total, podem deixar de constar como dados do rol. Indicação ( A ). É  evidente que dividindo o valor da amplitude total ( A ) pelo valor que representa a amplitude de classe ( h ) , comum a todas, obteremos o numero de classes da distribuição. É comum ao formarmos as classes , surgir o valor inferior de uma sendo também o valor superior da outra classe exemplo Digamos que na nossa frequência surjam de 150   a  155, de 155 a 160, de 160 a 165...
Surge então a pergunta : A que classe pertence o dado 155, à primeira ou a segunda classe ?Com a  notação usada podemos  , desde já, situar o valor 155 ( que é limite superior da primeira classe) , na 2º classe como seu limite inferior . Como vimos no exemplo  o  (h) = 5      o   X = 150 a155., 155 a 160 ...
Ponto médio ( P m) é o numero que se obtém quando se soma o limite inferior de uma classe a metade de sua amplitude.     ( 150 + 155) : 2  = 152,5 , 157,5, 162,5 ,...
OUTRO TIPOS DE FREQUÊNCIA - 1) Frequência  ACUMULADA - Acumular frequências  numa distribuição, significa somar cada frequência (absoluta) com a soma das que lhe são anteriores na distribuição. ( Fa)
2- Frequência RELATIVA  é o quociente da divisão de cada frequência ( absoluta ) pela frequência total.indicada por F(r)
Multiplicando-se cada frequência relativa po 100, obteremos a frequência relativa percentual. Indicada por f %.
 Ficando assim por exemplo.
 h =5           X          Pm            F          Fa          Fr              F%
           150 a 155    152,5         6           6          0,150          15,0
           155 a 160    157,5         9          15         0,225          22,5
           160 a 165    162,5       16          31         0,400          40,0
           165 a 170    167,5         5          36         0,125          12,5
           170 a 175    172,5         3          39         0,075            7,5
           175 a 180    177,5         1          40         0,025            2,5
                                 soma F=40                  Fr=1,000   F%=100,0
NOTA - é evidente  que :
1- A soma de todas as frequencias  é igual a unidade
2- A soma de todas as frequências relativas percentuais é = a 100.
 É possível agora responder a pergunta - Quantas pessoas de estatura inferior a 165 existem nesta pesquisa
31 ( entre 160 a 165 há 31 pessoas que representam 40% do total
Que porcentagem representa sobre as demais pessoas ,aquelas pessoas que possuem estaturas superiores a 175? 2,5%
Que porcentagem representam as demais pessoas com menos de 1,70?  90% porque as menores somam 10%   ( 7,5+2,5= 10%).
A MODA =  de 160 a 165 = 16 pessoas
MEDIANA = 10,5
MÉDIA ARITMÉTICA = 161,625 cm    ( soma dos pontos médios X frequência dividido por soma das frequências )   ex. 152,5 X 6  + 157,5 X 9  +  .......  = 6465,0 : 40 = 161,625cm.            

  











                
             

Os gráficos mostram a realidade

       Gráficos e tabelas são extremamente eficazes para a representação das características das informações relativas as mais diversas situações do nosso cotidiano. Os veículos de comunicação têm sistemáticamente utilizado diversos modêlos de gráficos para apresentar essas situaçôes, pois esse  tipo de recurso tem uma grande capacidade de sintetizar os aspectos fundamentais das informações que pretendem transmitir, além de explorar uma linguagem visual e plástica de fácil e imediata compreensão.Assim, é muito importante que você saiba interpretar gráficos para poder se manter sempre bem informado, principalmente ao  ler jornais e revistas.
     Entre os diversos tipos, os mais utilizados são os gráficos de barra :  os verticais ou os horizontais representam variações de grandeza envolvidas   e os gráficos de setores proporcionais às dimensões das grandezas, geralmente expressas em porcentagem

 CRESCIMENTO DA POPULAÇÂO BRASILEIRA   (em milhões de habitantes)
   Os primeiros registros da populaçâo brasileira datam de 1872, quando foi realizado o primeiro censo demográfico . Desde 1890, os recenseamentos têm sido feitos, em média, de dez em dez anos    ,

           1872               9,9
           1890             14,3                    
           1900             17,4
           1920             30,6
           1940             41,2
           1950             51,9
           1960             70,2
           1970             93,1
           1980            121,1
           1991            149,0
           1996            158.0     milhões de habitantes

O Brasil atinge o final do século XX com caractérística típica de um país urbano, apesar de possuir um imenso território. As informações disponíveis em 1996 mostram um percentual de 78 %  de habitantes localizados em cidades, contra 45% no início da década de 60. A região Sudeste mantem a maior concentração de população urbana, provavelmente em função de seus níveis de industrialização  e perfil econômico.

Naturalmente para esses dados o gráfico mais indicado seria o gráfico de barras vertical.

Um exemplo que deveriamos utilizar o grafico de setores

Abastecimento de água                                                                 esgotamento sanitário
       
     Rede 88%                                                                                 rede         50%

    outra forma 12%                                                                        fossas       42% 
                                                                                                     
                                                                                                       outros        8%

88% dos domicílios urbanos no Brasil possuem abastecimento de água canalizada interna ligada à rede geral de água. No entanto, apenas 50% dos domicílios estão ligados à rede de esgoto e 42 % ainda fazem uso, em regiões urbanas  , de fossas sépticas ou rudimentares . Do ponto de vista do saneamento básico, esse é ainda um dado preocupante. Em todas as grandes regiões do país,  o números de domicílios que utilizam fossas é substancialmente maior que os dos que estão ligados à rede de esgoto, exceto na região Sudeste , onde aproximadamente 78% dos domicílios tem rede de esgoto e 18 % ainda usam fossas.

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             .

Razão e proporção- propriedades

.Razão é a correlação de dois números escrito um separado do outro por meio de um traço onde o de cima chama-se antecedente e o de baixo consequente.;
O uso da Razão é muito comum principalmente em escalas ex
Qual a escala utilizada num desenho onde um comprimento real de 10 metros foi representado por um comprimento de 20 cm?
20/1000  =1/50          foi de      1 por 50
Usa-se para indicar velocidade média por ex.
Um trem faz uma viagem de 450 km em 6 horas. Qual foi a sua velocidade média neste percurso?
km/h     450/6=   75km/h

Proporção; Que é proporção?
Proporção é a igualdade entre duas razões.
Os elementos da proporção são antecedente e consequente e a resolução se faz como se fosse uma regra de 3.

ex 2:6::4: 12     6 e 4 são meios
                       2 e 12 são extremos   portanto     6x4 =2x12
2/6::4/12
   
2/6 ::x/12        ou      2/6=x/12    solução     2.12 ;6 = 4      x=4

x+1          5
____  =_____
  4           12         ( x+1).12=4.5
                              12x+12= 20
                              12x = 20 - 12
                              12x= 8
                                  x=8/12   portanto  x=2/3
Os números podem ser diretamente ou inversamente proporcional

Propriedades  das proporções: A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente
ex. Dividir 170  bolinhas entre 3 crianças,de acordo com as sua idades: 2 ,3 e 5 anos . Quantas bolinhas vai receber cada criança?
1700  Criança    A   -  2 anos
          Criança    B   -  3 anos
          Criança    C  -   5 anos

A+B+C¨     A       B      C                    
-------  = ___=    __ =___          
2+3+5       2         3        5

1700/10 = A/2      A= 340 bolinhas
1'700/10 =B/3      B=  510
1700/10=C/5        C= 850

 2- propriedade- A soma de dois primeiros nùmeros está para o primeiro ou para o segundo , assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto número.
Ex A soma de dois números é 30. A razão entre eles é 2/3.
 .Quais  são os números ?

A+B=30
A/B =2/3

A+B/A ::: 2+3/2         A=30 .2 ;5 =12         A=12
A+B/B :: 2+3/3          B=30..3 :5 =18         B=18

3-propriedade- A diferença de dois números é 30 e a razão entre eles é 3/2.Quais são esses números
a diferença entre a 2ª propriedade e a primeira é só subtrair no lugar de somar.

DESAFIO: 
Um pescador se perdeu no mar e notou que seu barco estava furado. A cada 15 min. entrava 180 l de água .
Com um balde ele começou a despejar a água para fora, mas só conseguiu tirar 9 litros a cada 5 minutos.
A lancha de socorro mais próxima estava a 50 km do local e sua velocidade máxima era de 180 km/h
Determine qual deveria ser a velocidade mínima para que a lancha chegasse a tempo, sabendo que o barco afundaria se entrassem 255 litros de água?                                                               Resp.120 km/l

 CONJUNTO DE NUMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos um conjunto de números quaisquer:
{ 1,2,3,4,5,6,7,8.,10}

Se multiplicarmos todos esses números por 3 , vamos obter um novo conjunto.
Podemos dizer que o 1º conjunto e o 2º conjunto são diretamente proporcionais.

Os números que ocupam a mesma posição nos dois conjuntos são chamados de numeros proporcionais e correspondentes.

 Usando os mesmos números dos dois conjuntos teremos razões iguais

Vejamos  1/3 = 2/6= 3/9 = ...

Já os conjuntos A= { 4,5,6,10}  e  B=´{ 30, 24, 20, 12}

4 /30 é diferente    5/24     diferente    6/20      ...

Entretanto , fazendo o produto dos números correspondentes das duas sucessões temos:
4.30 =120            5.24= 120          6.20 = 120

isto é, os produtos formados são iguais.
Dizemos então que esses conjuntos são inversamente proporcionais

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

São inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.


DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dividir 360 em partes diretamente proporcionais a 5, 6, 7.

Seja  A uma das partes  B    a outra  e C a terceira parte.

 360    repartido entre A,B e C
A+B+C = 360 
5+6+7  =    18              360/18 = 20/1       A/5 =20/1           A= 100

20/1=B/6       B=120                   20/1=C/7           C=140

portanto  100+120=140 =360

Dividir 240 em partes inversamante proporcionais  a 2,3,6.
A+B+C = 240
1/2+1/3+1/6 =12             A/6 = 240/12        A=120
                                       B/4 =240/12          B=  80
                                       C/2 = 240/12         C= 40     somando 240.

Dividir  420 em partes diretamente proporcionais a 2,4,6    e inversamente proporcionais a 3,5,7.
A+B+C = 420
2/3 +4/5 +6/7 =  61           A/70 =105/61  =  A=120

B/84=105/61                     B= 144                         C/90=105/61       C=155


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Noções de Estatística: Gráficos e Tabelas ; Média, Moda, Mediana e Desvio Padrão

INTRODUÇÃO
Os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais de seus alunos. Em Estatística a Média é utilizada como medida de posição central, destacando a Média Aritmética como uma das medidas de tendência central

TIPOS DE MÉDIAS -
1- Média aritmética - A média artmética de vários números é obtida pelo quociente da soma desses números pelo número de parcelas.   EX.
Calcular a média aritmética dos números 2; 4 e 6
             Ma.-  2+4+6 = 12 :3= 4
se houvessem 5 nùmeros  dividiria por 5,   se fossem 6 números dividiria por 6....

2- Média Geométrica - A média geométrica de vários números é a raiz de indice igual ao número de fatôres, do produto desses números. EX
Mg de 1 e 0,04
            Mg - Raiz quadrada do produto de 1 por 4/100   = 0,2

3- Média  Ponderada - A média ponderada é obtida pelo quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.
EX.
       Mp - (2.2+3.1+4.2 ) : 5  = 3

4- Média  Harmônica - A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversoa desses números  EX

    Mh -Calcular a média harmônica dos números 2 e 3

      Mh- 1 dividido por (1/2+1/3)dividido por 2

            ( 1/2 +13) =5/6 )     =    (5/6 X 1/2=5/12)     ( 1 : 5/12 = 12/5 )      12:5 = 2,4         Mh=2,4

GRÁFICOS   E   TABELAS

 Ao reunir uma série de dados sobre determinado assunto utilizamos as tabelas para organizar as informações.

ELEMENTOS DE UMA TABELA

TÍTULO-É a indicação que define o tipo de informação que ela contém.

CORPO-é o porte estrutural da TABELA, composto de traços, colunas e cabeçalho,onde colocamos as informações que dispomos

ELEMENTOS COMPLEMENTARES- são fontes, notas e chamadas que são colocadas ao rodapé ( nem sempre é obrigatória )

EX. Um levantamento feito entre os telespectadores numa estação de metrô sobre audiência de programas


Tipo de programa            Audiência  ( f )           Porcentagem ( Fr)
Filmes                                       45                               37,5 %
Jornalismo                                 21                               17,5 %
Telenovelas                               33                               27,5 %
Educativos                                06                                 5,0 %
outros                                       15                               12,5 %
TOTAL                                  120                              100   %

Fonte - Jornal Metronews / janeiro 2002

OBS- Numa tabela a visualização é muito importante.
A coluna da porcentagem de frequência não é obrigatória
f= frequência                fr = frequência relativa
Este tipo de tabela é chamada de única entrada.

EX. de tabela de dupla entrada

Um levantamento o mesmo do anterior só que agora separamos masculino  e feminino

TIPOS DE PROGRAMA    M              F
Filmes                                 23             22
Jornalismo                           15             06
telenovelas                           10             23
Educativos                           01             05                                  ,                                                                                                                                                                                                                                 
outros                                  10             05
TOTAL                               59             61

OBS - Ao somarmos as linhas teremos o total de pessoas
EX   filmes   
23+22= 45       Total     59+61=120

Nesta tabela de frequencia podemos calcular a mediana :
Grúpo M por exemplo   01  10   10    15    23        portanto o nº 10 que é o 3º elemento de um grupo de 5,
considerado separatriz, pois divide a distribuição em dois grupos  2 e 2, é a mediana

Moda  : ainda nessa distribuição notamos que 23 ( fotonovelas ) foi o item que se sobresaiu , este é a moda

Desvio Padrão : é a medida de dispersão mais usada
O desvio padrão é a raiz quadrada DA MÉDIA ARITMÉTICA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS EM TORNO DA MÉDIA ARITMÉTICA.

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 Se encontra neste blog ( distribuição de frequencia ..... medidas de dispersão que complementa este assunto )                                   

Noções de desconto; Desconto racional simples ou desconto por dentro:Desconto comercial simples ou desconto por fora; desconto racional composto,

....e será que vale a pena pechinchar?
Na matemática Financeira, DESCONTO é coisa séria; trabalha com fómulas e números. Costuma-se dizer, que é uma operação inversa ao cálculo de juros
Como todo novo conceito vamos apresentar definições,relações, nomenclatura e fórmulas sobre o DESCONTO.
estudar quer dizer estabelecer relações -estudar é descobrir - estudar é aprender e saber.
Vocabulário;
COMPRA`A VISTA ; - Quem adquire a mercadoria ou bem pago ao vendedor, no ato da compra, o valor integral do mesmo.
COMPRA A PRAZO;-Quem adquire a mercadoruia assume a obrigação de pagá-la no futuro, o que equivale dizer que a mercadoria foi comprada a crédito, usando os seguintes documentos; nota promissória, duplicata, letra de câmbio, etc.
DESCONTO:-Quando o título de crédito é resgatado antecipadamente diz-se que foi obtido um abatimento pelo credor ao emitente em função do pagamento antes do vencimento

DESCONTO-
nomenclatura -(  N ) é o valor nominal do título ( importância a ser paga na data do vencimento) .
                                  É um valor futuro ( VF )
                       ( A ) - é o valor descontado ( ou atualizado)
                                  valor pelo qual o título pode ser resgatado se for pago antecipadamente
                                  É um valor atual ( VA )
Fazendo uma comparação entre Capitalização   e   Desconto

J= Pi    portanto   J/P =S-P/P         D=Nd   portanto d =D/N  = N-A/N
( j=juro) (P= principal) ( S= montante -capital + juro )

Sabendo-se que   Capital = valor atualizado (VA)
                            Montante = valor nominal ou valor futuro ( VF )
Na prática vamos comparar a diferença entre VA    e     VF

i ( taxa) = Vf-Va/Va   = 1000 - 800 : 800= 200/800 = 0,25  ou 25%

d= Vf  -Va/Vf  = 1000-800 : 1000      200/1000 = o,20    ou 20%

Conclusão a taxa de desconto é sempre menor que a taxa de juros

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Isso significa que a taxa de desconto é ilusória, visto que, ao contratar um desconto de 20% , por exemplo, você está efetivamente se comprometendo a arcar com juros de 25%.

CLASSIFICAÇÃO DOS DESCONTOS:

DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU DESCONTO POR DENTRO

Fórmula  - Drs= Nin/ (1+in ) -
Drs   = desconto     N= valor nominal    i= taxa    n=tempo
                               
O Racional é calculado sobre o valor Atual


Calcular o desconto racional simples , a taxa de 120% ao ano, para uma antecipação de dois meses na quitação de um título com valor nominal de C$ 300 000,00 considerando o ano comercial  ( 360 dias e cada mes 30 dias )
Solução A Taxa de 120% a.a está expressa ao ano e o prazo ( 2 meses ) está expresso em meses. Temos que torná-los coerentes para podermos usar a fómula.
120%/12 meses  assim como X esetá para 1 mes

Logo a taxa fica 0,1  ao mes

Considerando os valores das seguintes variáveis
N = 300 000,00       i=0,1 a.m.          n= 2 meses    fica:

300 000,00 X 0,1 X2 = 60 000,00/ 1=0,2 = 60 000,00 : 1.2 temos
Desconto = 50 000,00

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU DESCONTO POR FORA

Este desconto é calculado sobre o  valor nominal do título, isto é  VALOR FUTURO
por isso trata-se, então, da taxa de desconto ( d) e não mais da taxa de juros.(i)

A fórmula fica  Dcs=Ndn

Calcular o desconto comercial simples, a taxa de 120 %.... iden ao problema anterior
Conhecendo os valores das seguintes variáveis

N=300.000,00         d= 0,1         n= 2 meses

Dcs= Ndn
Dcs= 300 000,00 X 0,1 X 2 = 60 000,00
Dcs= 60 000,00

Este desconto é calculado sobre o valor nominal do título, isto é, o valor futuro , a  fim de se obter o valor
do desconto

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Matemática financeira: juros simples e compostos ; taxasde juros nominal efetiva e equivalentes proporcionais,real e aparente.

 JUROS SIMPLES

            Quando emprestamos uma quantia a uma pessoa f isica ou jurídica  recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros
            Chamamos de juros simples a remuneração de um capital ( C) aplicado a uma taxa (i ) , por um período de tempo determinado (  n )
           A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será  expresso em porcentagem  do capital  exemplos:
a) A taxa de juro de 5% a.d.-significa que o valor do juro é igual a 5%  do capital, por dia.
b)A taxa de juros 20% a.m.-significa que o valor do juro é igual a 20% do capital por mês .

CAPITAL (principal ou valor presente):
É a quantia aplicada ou  emprestada por um período de tempo.

PRAZO ( ou tempo):
É o período da aplicação do capital.

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
O regime de capitalização pode ser simples ou composto.

SIMPLES- Neste regime a TAXA de juros incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.

CÁCULO   DOS JUROS SIMPLES E MONTANTE

Seja um capital ( C) aplicado a uma taxa (i ) por período, durante  n  períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.

Os juros formados no final de cada período serão iguais e portanto teremos :

J= Cin

Para o caso de montante teremos  Capital + juros.

TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas são denominadas de proporcionais  quando seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos de tempo reduzidos numa mesma unidade.

Ex. Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a              é 2% ao mês

TAXAS  EQUIVALENTES

Duas taxas são denominadas equivalentes, quando aplicados a um mesmo capital, num mesmo período de tempo , produzem juros iguais

EX Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1000,00
a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses
b) a taxa de 1,5 % a.a. durante, durante 4 anos.

Como os juros são iguais  no 1º e no 2º caso = R$60,00 podemos afirmar que as taxas são equivalentes.

PRAZO MÉDIO

1- Capitais e taxas iguais

Neste caso o prazo médio é calculado pela  média aritmética dos prazos dados

2-Capitais diferentes e taxas iguais

O prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais

3- Capitais e taxas diferentes

O prazo médio é calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do capital por essa referida taxa de aplicação.

TAXA MÉDIA

A taxa média ( i m) é obtida pela soma dos capitais, aplicados a essa taxa e no mesmo prazo, obtendo um total  de rendimentos idênticos as aplicações originais.


JUROS  COMPOSTOS

INTRODUÇÃO - No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte maneira
 Montante no final de  n períodos
Um capital de R$ 2000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 3 meses. Calcular o montante

C=R$ 2000,00
i = 2% a.m
n =3 meses
M = ?

M = 2000,00 ( 1+ 0,02)³
M = 2000,00 . (1,02)³
M = 2000,00 X 1,061208
M = 2122,41

TAXAS  EQUIVALENTES
                   
Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo período de tempo, produzem montantes iguais.

TAXA NOMINAL E EFETIVA

Taxa nominal é a taxa em que o período de capitalização é diferente a que se refere a taxa
 10% a.a. capitalizados trimestralmente

15 % a.a. capitalizado mensalmente

Cáculo de taxa efetiva
 Sendo:         i      taxa  efetiva do período inteiro
                    iK   taxa nominal correspondente a  i
                     K   numero de capitalização no período

                     i=ik/ K

 REAL E APARENTE

Num contexto inflacionário, a taxa aparente de juros, praticadas nos contratos, é formada por uma taxa real de juros e por uma taxa de inflação.
Para termos o ganho real de uma operação fiinanceira, devemos calcular a taxa de juros real

(1+i )= (1+r) . ( 1+ if )

I  =  taxa APARENTE  ( NOMINAL )
R = taxa REAL
IF= taxa DE INFLAÇÃO
Estamos considerando que a taxa nominal e a taxa efetiva estejam relacionadas no mesmo período.


Neste blog são encontrados  os seguintes conteúdos Porcentagem,Noção de desconto..... que complemento este assunto ...

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Porcentagem

Introdução

É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões:
-a cesta básica teve um reajuste de 2,1 %;
-os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,01%;
-10% da população brasileira  são fumantes.

Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma Razão, que denominamos de porcentagem

Elementos do calculo porcentual

Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O PRINCIPAL, que é o número sobre o qual se deve calcular a porcentagem,  a TAXA de porcentagem  que é o número de partes que devem ser tomadas em cada cem partesdo principal e a PORCENTAGEMque é o total das taxas.

Exemplo - Em uma sala há 40 alunos, sendo 15% de meninos. Quantos são os meninos desta sala?
Principal    ( C ).............40
taxa           ( i  )..............15%
porcentagem ( P )   ....... ?       
                                                                                                 
solução    P= c.i/100                     40 x15 : 100 =   6  alunos

Se fosse para achar o capital seria  P.100 : i
Se fosse para achar a taxa seria P . 100  ; c                                           
                                                                                                                          
Outro ex.
1,5% de 1000              1,5 :100 . 1000 = 15
 5 % de 300                  5/100 de 300 =   0,05 x 300 = 15    

- Um objeto que custa R$ 3 700,00 sofre um aumento de 2,5 % .Qual é  o novo preço desse objeto ?
Solução-
Sendo P o preço de compra , temos
P= 3700,00+ 0,025 . 3.700
P=( 1+0,025 ).3700
P=1,025  .  3700
P=3 792,50

  Uma fatura  no valor de R$1000,00, foi quitada com três descontos sucessivos de 1% 1,5% e 2%. Que taxa UNICA daria o mesmo líquido ?

Solução:
Neste caso de de abatimento sucessivo usamos a seguinte f´órmula
i =1-(1-i (1¹) . 1- i (2º) .1-i(3º)
i=1-(1-0,01). (1-0,015) .(1-0,02)
i= 1-(0,99) . (0,985) .(0,98 )
i= 1-0,9556
i=0,0444    ou     i=4,44%

Apos um aumento de 20% um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era:
a)170,00
b)144,0
c)160,00
d)150,00
e)n.r.a.

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