quinta-feira, 25 de novembro de 2010

Falando sobre conjunto e a aplicação da Teoria dos Conjuntos na resolução de problemas

 Conjuntos
Na Matemática tratamos o conceito de conjunto como conceito  primitivo, portanto sem definição.
Intuitivamente, aceitamos por conjunto uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam o conjunto são chamados  ELEMENTOS do conjunto.
Ex: conjunto das letras do alfabeto.
Conjunto dos números naturais maiores que dois.

Convenções: Os conjuntos são desegnados, geralmente , por  letras maiusculas, A,B,C,...Z.
Os elementos são indicados, geralmente, por letras minusculas, a,b,c,d,...z.

Representação de um conjunto
Podemos representar um conjunto enumerendo os seus elementos entre chaves e separando-os por vírgulas
Ex. Sendo V o conjunto das vogais, representamos:
V= {a,e,i,o,u}
I = {conjunto dos números impares }
Sendo P o conjunto dos numeros pares acima de 2 até 10.
P={ 4,6,8,10}

Uma outra maneira de representarmos um conjunto consiste em enunciarmos uma propriedade característica do conjunto, isto é, uma propriedade comum aos seus elementos e somente a eles
ex   D = {x/ x é dia da semana}            A barra / significa "tal que "
Lê-se " D é o conjunto dos elementos x, tais que x é dia da semana.        
Observe - a letra x representa um elemento genérico e a sentença " x é dia da semana " é a propriedade característica do conjunto .

Quando falamos de conjunto, vem logo a idéia de contém, contido, pertence , não pertence, união intersecção, diagrama de Venn, nome dos conjuntos,assunto esse, que  estudamos desde as primeiras séries do fundamental . Mas o assunto não termina aí, temos ainda que lembrar daqueles números Ir, dos números irracionais, pois , os números racionais não solucionaram muitos problemas envolvendo a Geometria e a Aritmética. Em determinadas figuras, alguns segmentos não têm uma unidade de medida que caiba um nº inteiro de vezes em cada um deles ; são os chamados segmentos incomensuráveis. Os pitagóricos já haviam acusado essa deficiência com relação à diagonal e o quadrado.

Exemplificando, para um quadrado de lado  ( l=1) e diagonal ( d )temos: Quadrado ABCD
 Diagonal AD= d

Aplicando o teorema de Pitágoras no   Triangulo ABC temos
                           d² = 1²+ 1²
                           d² = 2
                           d  = raiz quadrada de 2 =1,4142.......

Fica evidente que nem sempre a raiz de um número racional é um número racional.  Para que a teoria dos números racionais evoluísse foi necessário o avanço dos estudos sobre infinitos e geometria analítica. Foram gastos alguns séculos para que, entre tantas contribuições, chegássemos ao século XIX com Dedekind( J.W.R. Dedekind, 1831-1916) e Cantor ( Georg Cantor, 1845-1918 ) dando um rigor científico a essa teoria.
 O conjunto Ir dos números irracionais é formado por números cujas formas decimais não são exatas e nem periódicas.

Exemplos :
- O número pi = 3,141592......
        resultado da divisão da medida do comprimento de uma circunferência pela medida do seu diâmetro
- O número  ( e ) = 2,718... conhecido como número de Euler ( Leonard Euler -1707-1783)
- Radicais como raiz quadrada de 2, de 3, de 5,...

O conjunto R dos números reais é formado pela reunião do conjunto Q dos números racionais com o número Ir dos números irracionais.

A APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS

1º Exemplo: 
Em uma Universidade são lidos  dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal   A  e  60% , o  jornal  B . Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que lêem ambos


Resolução; O percentual total é de 100% , pois todos os alunos lêem pelo menos um dos jornais

Chamaremos de X a intersecção deles

n( AUB) = n (A) + n(B) - X
100 % =       80% + 60%  - X
X % = 140 % - 100%
X % = 40 %

Percentual dos que lêem os dois jornais  é 40%

2ºModelo - Numa escola de 630 alunos , 350 estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 estudam as duas matérias
a - Quantos alunos estudam apenas matemática ( estudam Matemática MAS NÃO ESTUDAM  FÍSICA.
b- Quantos alunos estudam apenas Física.
c-Quantos alunos estudam Matemática ou Física
d-Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias.


Resolução :
Número total de alunos = 630
Número de alunos que estudam Matemática =350
Número de alunos que estudam Física = 210
A intersecção deles   = X = 90

M= 350-90 = 260
X = 90                                                 
F = 210 - 90= 120
Somando  260 +120 + 90 = 470
630 -470 =160    

a- Se 350 alunos estudam Matemática e 90 estudam Matemática e Física , então o nº de alunos que estudam apenas Matemática é : 350-90=260
b-Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e Física então o número de alunos que estudam apenas física é 210-90 = 120
c-Se 260 alunos estudam apenas Matemática , 120 apenas Física e 90 Matemática e Física , então o numero de alunos que estudam Matematica ou Física é 260+ 120 + 90 = 470
d- Se a escola tem 630 alunos e 470 estudam Matemática ou Física , então os alunos que não estudam nenhuma delas é 630 - 470 = 160.

CONJUNTOS NUMERICOS - 

CONJUNTO DOS NUMEROS NATURAIS
Utilizamos o simbolo N para represntar o conjunto dos números inteiros naturais .
N={ 0,1,2,3,4,5,6,...}

N* = { 1.2.3.4.5.6....}é subconjunto de  N . Utilizamos * para indicar que o zero não pertence a esse conjunto.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Utilizamos o simbolo Z para indicar o conjunto dos números inteiros.

Z= { ...-3,-2,-1,0 , +1, +2, +3... }

Note que os numeros naturais também são inteiros, logo, temos a relação N  C Z.
 Alguns subconjuntos de Z

Z* ={ ...-3,-2,-1,+1,+2,+3,...}Numeros inteiros sem o zero  Z*=Z -{0}

Z+ ={ 0,1,2,3,...} são os numeros inteiros não negativos.
Z-  ={..., -3,-2,-1,0} são os inteiros não positivos.
Z*+ ={ 1,2,3,...} =Z+ - { 0}
Z*- = { ...,-3,-2,-1} = Z-  -{0}

CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS

É racional um número que pode ser escrito na forma de fração.
Logo, 1/2,4,3,0,- 4/5 são exemplos de numeros racionais.

Q= { x/ x=a/b, a pertence a Z, b pertence a Z, b  é diferente de zero.}

Note que um número inteiro é racional, assim , temos a relação N está contido em Z está contido Q.

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Existem números que nãopodem ser escritos em forma de fração exemplo raiz de 2 ,(pi), raiz quadrada de 5, ou seja são as raizes inexatas, as dizimas àperiodicas. Esses números são chamados de números irracionais.

CONJUNTO DOS NUMEROS REAIS

O conjunto dos numeros reais é a reunião do conjunto dos numeros racionais com os irracionais

R= {x / x é racional ou x é irracional }

Isto quer dizer que todo numero natural é numero inteiro,todo numero inteiro é racional e todo numero racional é real

INTERVALOS
Na representação geométrica dos números reais  , a cada ponto da reta numerada corresponde um único número real, e a cada número corresponde um único ponto na reta numeradaocorrendo uma correspondencia biuívoca.
                                                                                                                              R
¬¬¬-3¬¬¬-2¬¬¬¬-1¬¬¬¬¬0¬¬¬¬1¬¬¬¬¬¬2¬¬¬¬¬3¬¬¬¬¬¬4¬¬¬¬¬5¬¬¬¬¬¬¬
Intervalos numericos
Sendo a  e  b  dois números reais , a<b podemos definir alguns subconjuntos de R que denominamos de intervalos numéricos de extremos a  e  b
Notação [a;b]   intervalo fechado
leitura subconjunto de R:{ x E R / a<x<b }
Notação ]a;b[    intervalo aberto
Leitura subconjunto de R : { x E R/ a<x<b}
Intervalo fechado à esquerda [a;b[
Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda ]a;b]            
qualquer número é menor que qualquer número colocado a sua direita.

Intervalos finitos
FECHADO    [2,6]              ¨¨¨¨¨¨*2¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨6*¨¨¨¨¨¨
ABERTO       ]2,6[              ¨¨¨¨¨¨¨o¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨o¨¨¨¨¨¨¨¨¨
FECHADO A ESQUERDA E ABERTO A DIREITA  [2,6[ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨*2¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨o6¨¨¨¨¨¨¨¨




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